20. 将$4$张长为$a$、宽为$b(a ＞ b)$的长方形纸片按如图所示的方式拼成一个边长为$a + b$的正方形，图中空白部分的面积为$S_{1}$，涂色部分的面积为$S_{2}$。若$S_{1}=2S_{2}$，则$a$，$b$满足(
A.$2a = 5b$
B.$2a = 3b$
C.$a = 3b$
D.$a = 2b$
D
)A.$2a = 5b$
B.$2a = 3b$
C.$a = 3b$
D.$a = 2b$
答案：20. D
21. (易错题)已知$a$，$b$满足$a + b = 2$，$ab=\frac{3}{4}$，则$a - b$的值为
$\pm 1$
。答案：21. $\pm 1$ [易错分析]错答1，错因是考虑问题不全面,造成漏解.
解析：
$(a - b)^2 = (a + b)^2 - 4ab$
$= 2^2 - 4×\frac{3}{4}$
$= 4 - 3$
$= 1$
$a - b = \pm\sqrt{1} = \pm 1$
$= 2^2 - 4×\frac{3}{4}$
$= 4 - 3$
$= 1$
$a - b = \pm\sqrt{1} = \pm 1$
22. (2025·新疆)对多项式$A$，$B$，定义新运算“$\oplus$”：$A\oplus B = 2A + B$，等式右侧为通常的混合运算；对正整数$k$和多项式$A$，定义新运算“$\otimes$”：$k\otimes A=\underbrace{A\oplus A\oplus A\oplus···\oplus A}_{k个A}$(按从左到右的顺序依次进行“$\oplus$”运算)。已知正整数$m$，$n$为常数，记$M = m\otimes(x^{2}+31xy)$，$N = n\otimes(y^{2}-14xy)$。若$M\oplus N$的运算结果中不含$xy$项，则$mn=$
15
。答案：22. 15 解析：因为$k \otimes A = A \oplus A \oplus A \oplus ··· \oplus A$，所以当$k = 1$时，$1 \otimes A = A = (2^{1} - 1)A$；当$k = 2$时，$2 \otimes A = A \oplus A = 2A +A = 3A = (2^{2} - 1)A$；当$k = 3$时，$3 \otimes A = A \oplus A \oplus A = 3A \oplus A =2 × 3A + A = 7A = (2^{3} - 1)A$；当$k = 4$时，$4 \otimes A = A \oplus A \oplus A \oplus A = 7A \oplus A = 2 × 7 A + A = 1 5A = (2^{4} - 1)A$；$···$，所以当$k = m$时，$m \otimes A = (2^{m} - 1)A$，当$k = n$时，$n \otimes A = (2^{n} - 1)A$，所以$M = m \otimes (x^{2} + 31xy) = (2^{m} - 1)(x^{2} + 31xy)$，$N = n \otimes (y^{2} -14xy) = (2^{n} - 1)(y^{2} - 14xy)$，所以$M \oplus N = 2M + N = 2(2^{m} -1)(x^{2} + 31xy) + (2^{n} - 1)(y^{2} - 14xy) = (2^{m + 1} - 2)x^{2} + (2^{n} -1)y^{2} + [62(2^{m} - 1) - 14(2^{n} - 1)]xy$.因为$M \oplus N$的运算结果中不含$xy$项，所以$62(2^{m} - 1) - 14(2^{n} - 1) = 0$，所以$31(2^{m} - 1) -7(2^{n} - 1) = 0$.设$2^{m} = a$，$2^{n} = b$，则$31(a - 1) - 7(b - 1) = 0$，$31a - 7b = 24$，所以$b = \frac{31a - 24}{7}$.因为$a$，$b$均为$2$的整数幂，为偶数，所以$\begin{cases} a = 8, \\ b = 32, \end{cases}$所以$2^{m} = 8$，$2^{n} = 32$，所以$\begin{cases} m = 3, \\ n = 5, \end{cases}$所以$mn = 15$.
23. (新情境·数学游戏)“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中，现将数字$1～9$填入如图所示的“幻方”中，使得每个圆圈上的四个数字的和都等于$21$，若将每个圆圈上的四个数字的平方和分别记为$A$，$B$，$C$，且$A + B + C = 411$，将交点处的三个圆圈填入的数字分别记为$x$，$y$，$x + y$，则$x + y=$
]
9
，$xy=$18
。]
答案：23. 9 18 解析：因为每个圆圈上的四个数字的和都等于21，所以三个圆圈上的数字之和为$21 × 3 = 63$.因为数字1～9的和为$1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45$，所以$45 + x + y + x + y =63$，所以$x + y = 9$.因为$A + B + C = 411$，$1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + 4^{2} + 5^{2} +6^{2} + 7^{2} + 8^{2} + 9^{2} = 285$，所以$285 + (x + y)^{2} + x^{2} + y^{2} = 411$，所以$(x + y)^{2} + x^{2} + y^{2} = 126$，所以$2(x + y)^{2} - 2xy = 126$，所以$2 ×9^{2} - 2xy = 126$，所以$xy = 18$.
解析：
因为每个圆圈上的四个数字的和都等于21，所以三个圆圈上的数字之和为$21×3 = 63$。
数字1～9的和为$1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9=45$，由于交点处的数字$x$，$y$，$x + y$被重复计算，所以$45 + x + y+(x + y)=63$，即$45 + 2(x + y)=63$，解得$x + y=9$。
$1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+5^{2}+6^{2}+7^{2}+8^{2}+9^{2}=285$，因为$A + B + C = 411$，且交点处数字的平方被重复计算，所以$285+x^{2}+y^{2}+(x + y)^{2}=411$。
将$x + y = 9$代入，得$285+x^{2}+y^{2}+81 = 411$，即$x^{2}+y^{2}=45$。
又因为$(x + y)^{2}=x^{2}+2xy + y^{2}$，所以$81=45 + 2xy$，解得$xy = 18$。
$x + y=9$，$xy = 18$。
数字1～9的和为$1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9=45$，由于交点处的数字$x$，$y$，$x + y$被重复计算，所以$45 + x + y+(x + y)=63$，即$45 + 2(x + y)=63$，解得$x + y=9$。
$1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+5^{2}+6^{2}+7^{2}+8^{2}+9^{2}=285$，因为$A + B + C = 411$，且交点处数字的平方被重复计算，所以$285+x^{2}+y^{2}+(x + y)^{2}=411$。
将$x + y = 9$代入，得$285+x^{2}+y^{2}+81 = 411$，即$x^{2}+y^{2}=45$。
又因为$(x + y)^{2}=x^{2}+2xy + y^{2}$，所以$81=45 + 2xy$，解得$xy = 18$。
$x + y=9$，$xy = 18$。
24. 试比较$2(3x^{2}+x + 1)$与$(x + 1)(5x - 3)$的大小，并说明理由。
答案：24. $2(3x^{2} + x + 1) ＞ (x + 1)(5x - 3)$ 理由：$2(3x^{2} + x + 1) -(x + 1)(5x - 3) = 6x^{2} + 2x + 2 - (5x^{2} - 3x + 5x - 3) = 6x^{2} +2x + 2 - (5x^{2} + 2x - 3) = 6x^{2} + 2x + 2 - 5x^{2} - 2x + 3 = x^{2} + 5 ＞0$，所以$2(3x^{2} + x + 1) ＞ (x + 1)(5x - 3)$.
25. 某校有一块长为$(2a + 6b)$米、宽为$(2a + b)$米的长方形草坪，经该校校委会研究决定：在原基础上长增加$(3a + b)$米，宽减少$a$米，改造后得到一个新的长方形草坪，其中$a ＞ b ＞ 0$。
(1) 请你求出新的长方形草坪的面积（要求把结果化简展开）。
(2) 草坪改造后与改造前相比面积是增加了还是减少了？请通过计算说明理由。
(1) 请你求出新的长方形草坪的面积（要求把结果化简展开）。
(2) 草坪改造后与改造前相比面积是增加了还是减少了？请通过计算说明理由。
答案：25. (1) 新的长方形草坪的面积为$[(2a + 6b) + (3a + b)] ·[(2a + b) - a] = (2a + 6b + 3a + b)(2a + b - a) = (5a + 7b)(a +b) = (5a^{2} + 12ab + 7b^{2})$平方米 (2) 草坪改造后与改造前相比面积增加了 理由：由(1)，得新的长方形草坪的面积为$(5a^{2} +12ab + 7b^{2})$平方米.又因为原长方形草坪的面积为$(2a +6b)(2a + b) = (4a^{2} + 14ab + 6b^{2})$平方米，所以$(5a^{2} + 12ab +7b^{2}) - (4a^{2} + 14ab + 6b^{2}) = 5a^{2} + 12ab + 7b^{2} - 4a^{2} - 14ab -6b^{2} = a^{2} - 2ab + b^{2} = (a - b)^{2}$.又因为$a ＞ b ＞ 0$，所以$(a - b)^{2} ＞0$，所以草坪改造后与改造前相比面积增加了.
解析：
(1) 新长方形草坪的长为$(2a + 6b) + (3a + b) = 5a + 7b$米，宽为$(2a + b) - a = a + b$米，面积为$(5a + 7b)(a + b)$，展开得：
$\begin{aligned}&(5a + 7b)(a + b)\\=&5a · a + 5a · b + 7b · a + 7b · b\\=&5a^{2} + 5ab + 7ab + 7b^{2}\\=&5a^{2} + 12ab + 7b^{2}\end{aligned}$
故新长方形草坪的面积为$(5a^{2} + 12ab + 7b^{2})$平方米。
(2) 原长方形草坪面积为$(2a + 6b)(2a + b)$，展开得：
$\begin{aligned}&(2a + 6b)(2a + b)\\=&2a · 2a + 2a · b + 6b · 2a + 6b · b\\=&4a^{2} + 2ab + 12ab + 6b^{2}\\=&4a^{2} + 14ab + 6b^{2}\end{aligned}$
改造后与改造前面积差为：
$\begin{aligned}&(5a^{2} + 12ab + 7b^{2}) - (4a^{2} + 14ab + 6b^{2})\\=&5a^{2} + 12ab + 7b^{2} - 4a^{2} - 14ab - 6b^{2}\\=&a^{2} - 2ab + b^{2}\\=&(a - b)^{2}\end{aligned}$
因为$a ＞ b ＞ 0$，所以$(a - b)^{2} ＞ 0$，即面积增加了。
$\begin{aligned}&(5a + 7b)(a + b)\\=&5a · a + 5a · b + 7b · a + 7b · b\\=&5a^{2} + 5ab + 7ab + 7b^{2}\\=&5a^{2} + 12ab + 7b^{2}\end{aligned}$
故新长方形草坪的面积为$(5a^{2} + 12ab + 7b^{2})$平方米。
(2) 原长方形草坪面积为$(2a + 6b)(2a + b)$，展开得：
$\begin{aligned}&(2a + 6b)(2a + b)\\=&2a · 2a + 2a · b + 6b · 2a + 6b · b\\=&4a^{2} + 2ab + 12ab + 6b^{2}\\=&4a^{2} + 14ab + 6b^{2}\end{aligned}$
改造后与改造前面积差为：
$\begin{aligned}&(5a^{2} + 12ab + 7b^{2}) - (4a^{2} + 14ab + 6b^{2})\\=&5a^{2} + 12ab + 7b^{2} - 4a^{2} - 14ab - 6b^{2}\\=&a^{2} - 2ab + b^{2}\\=&(a - b)^{2}\end{aligned}$
因为$a ＞ b ＞ 0$，所以$(a - b)^{2} ＞ 0$，即面积增加了。