例1 证明：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。
已知：如图12-6，∠ACD是△ABC的一个外角，∠A，∠B是与它不相邻的两个内角。
求证：∠ACD=∠A+∠B。
已知：如图12-6，∠ACD是△ABC的一个外角，∠A，∠B是与它不相邻的两个内角。
求证：∠ACD=∠A+∠B。
答案：证明：∵∠ACD+∠ACB=180°（平角的定义），
∠A+∠B+∠ACB=180°（三角形内角和定理），
∴∠ACD=180°-∠ACB，
∠A+∠B=180°-∠ACB（等式的性质），
∴∠ACD=∠A+∠B（等量代换）。
∠A+∠B+∠ACB=180°（三角形内角和定理），
∴∠ACD=180°-∠ACB，
∠A+∠B=180°-∠ACB（等式的性质），
∴∠ACD=∠A+∠B（等量代换）。
1. 已知：如图，AC，BD相交于点O。
求证：∠A+∠B=∠C+∠D。
求证：∠A+∠B=∠C+∠D。
答案：证明：在△AOB中，∠A+∠B+∠AOB=180°（三角形三个内角的和等于180°），
∴∠A+∠B=180°-∠AOB（等式性质）。
在△COD中，同理可得∠C+∠D=180°-∠COD。
∵∠AOB=∠COD（对顶角相等），
∴∠A+∠B=∠C+∠D（等量代换）。
∴∠A+∠B=180°-∠AOB（等式性质）。
在△COD中，同理可得∠C+∠D=180°-∠COD。
∵∠AOB=∠COD（对顶角相等），
∴∠A+∠B=∠C+∠D（等量代换）。
2. 写出“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题，判断真假并给出证明。
答案：逆命题：有两个锐角互余的三角形是直角三角形。
该逆命题是真命题。
证明：已知在△ABC中，∠A+∠C=90°，
∵∠A+∠B+∠C=180°（三角形内角和定理），
∴∠B=180°-（∠A+∠C）=180°-90°=90°，
∴△ABC是直角三角形。
该逆命题是真命题。
证明：已知在△ABC中，∠A+∠C=90°，
∵∠A+∠B+∠C=180°（三角形内角和定理），
∴∠B=180°-（∠A+∠C）=180°-90°=90°，
∴△ABC是直角三角形。