12. 有没有这样的多边形，它的内角和是它的外角和的3倍？如果有，指出它是几边形，并说明理由．
答案：有，八边形
解析：设这个多边形是n边形，多边形外角和为$360^{\circ}$，内角和为$(n - 2)×180^{\circ}$。
由题意得$(n - 2)×180^{\circ}=3×360^{\circ}$，$n - 2 = 6$，$n = 8$，所以是八边形。
解析：设这个多边形是n边形，多边形外角和为$360^{\circ}$，内角和为$(n - 2)×180^{\circ}$。
由题意得$(n - 2)×180^{\circ}=3×360^{\circ}$，$n - 2 = 6$，$n = 8$，所以是八边形。
13. 如图，在四边形ABCD中，$\angle A+\angle C = 180^{\circ}$，$\angle ABE$是四边形ABCD的一个外角．$\angle ABE$与$\angle D$相等吗？证明你的结论．
答案：相等
证明：四边形内角和为$360^{\circ}$，$\because \angle A+\angle C = 180^{\circ}$，$\therefore \angle ABC+\angle D=360^{\circ}-(\angle A+\angle C)=180^{\circ}$。
$\because \angle ABE+\angle ABC = 180^{\circ}$（邻补角定义），$\therefore \angle ABE=\angle D$（同角的补角相等）。
证明：四边形内角和为$360^{\circ}$，$\because \angle A+\angle C = 180^{\circ}$，$\therefore \angle ABC+\angle D=360^{\circ}-(\angle A+\angle C)=180^{\circ}$。
$\because \angle ABE+\angle ABC = 180^{\circ}$（邻补角定义），$\therefore \angle ABE=\angle D$（同角的补角相等）。
14. 如图，在五角星ABCDE中，$\angle A$，$\angle B$，$\angle C$，$\angle D$，$\angle E$的和等于多少度？证明你的结论．
答案：$180^{\circ}$
证明：由三角形外角性质，$\angle 1=\angle B+\angle E$，$\angle 2=\angle A+\angle D$。
在$\triangle CFG$中（F，G为五角星中交点），$\angle 1+\angle 2+\angle C=180^{\circ}$，$\therefore \angle A+\angle B+\angle C+\angle D+\angle E=180^{\circ}$。
证明：由三角形外角性质，$\angle 1=\angle B+\angle E$，$\angle 2=\angle A+\angle D$。
在$\triangle CFG$中（F，G为五角星中交点），$\angle 1+\angle 2+\angle C=180^{\circ}$，$\therefore \angle A+\angle B+\angle C+\angle D+\angle E=180^{\circ}$。
15. 已知：正整数n能被3整除，也能被7整除．求证：n能被21整除．
答案：证明：$\because n$能被3整除，$\therefore n = 3k$（k为正整数）。
$\because n$能被7整除，$\therefore 3k$能被7整除，$\because 3$和7互质，$\therefore k$能被7整除，设$k = 7m$（m为正整数），$\therefore n=3×7m = 21m$，$\therefore n$能被21整除。
$\because n$能被7整除，$\therefore 3k$能被7整除，$\because 3$和7互质，$\therefore k$能被7整除，设$k = 7m$（m为正整数），$\therefore n=3×7m = 21m$，$\therefore n$能被21整除。
16. 证明：如果一个数的平方的个位数不是5，那么这个数的个位数也不是5．
答案：证明：假设这个数的个位数是5，设这个数为$10a + 5$（a为整数），则$(10a + 5)^{2}=100a^{2}+100a + 25=100(a^{2}+a)+25$，其个位数是5，这与已知“这个数的平方的个位数不是5”矛盾，故假设不成立，所以这个数的个位数也不是5。
17. （1）如图（1），$AB// CD$，试用不同方法证明$\angle B+\angle D=\angle E$．
（2）如图（2），$AB// CD$，$\angle B$，$\angle D$，$\angle E$之间有怎样的数量关系？证明你的结论．
（2）如图（2），$AB// CD$，$\angle B$，$\angle D$，$\angle E$之间有怎样的数量关系？证明你的结论．
答案：（1）方法一：过点E作$EF// AB$，$\because AB// CD$，$\therefore EF// CD$，$\angle B=\angle BEF$，$\angle D=\angle DEF$，$\angle BED=\angle BEF+\angle DEF=\angle B+\angle D$。
方法二：延长BE交CD于点F，$\because AB// CD$，$\angle B=\angle BFD$，$\angle BED=\angle BFD+\angle D=\angle B+\angle D$（三角形外角性质）。
（2）$\angle B-\angle D=\angle E$
证明：过点E作$EF// AB$，$\because AB// CD$，$\therefore EF// CD$，$\angle B=\angle BEF$，$\angle D=\angle DEF$，$\angle BED=\angle BEF-\angle DEF=\angle B-\angle D$。
方法二：延长BE交CD于点F，$\because AB// CD$，$\angle B=\angle BFD$，$\angle BED=\angle BFD+\angle D=\angle B+\angle D$（三角形外角性质）。
（2）$\angle B-\angle D=\angle E$
证明：过点E作$EF// AB$，$\because AB// CD$，$\therefore EF// CD$，$\angle B=\angle BEF$，$\angle D=\angle DEF$，$\angle BED=\angle BEF-\angle DEF=\angle B-\angle D$。
18. 任意画$\angle A$，在$\angle A$的两条边上分别取点B，C，在$\angle A$的内部取一点P，连接PB，PC．探索$\angle BPC$与$\angle A$，$\angle ABP$，$\angle ACP$之间的数量关系，并证明你的结论．
答案：当点P在$\triangle ABC$内部时，$\angle BPC=\angle A+\angle ABP+\angle ACP$；
证明：连接AP并延长交BC于点D，$\angle BPD=\angle BAP+\angle ABP$，$\angle CPD=\angle CAP+\angle ACP$，$\angle BPC=\angle BPD+\angle CPD=\angle BAP+\angle CAP+\angle ABP+\angle ACP=\angle A+\angle ABP+\angle ACP$。
当点P在$\triangle ABC$边BC上时，$\angle BPC = 180^{\circ}$，$\angle A+\angle ABP+\angle ACP=180^{\circ}$，$\angle BPC=\angle A+\angle ABP+\angle ACP$。
当点P在$\triangle ABC$外部时，$\angle BPC+\angle A+\angle ABP+\angle ACP=360^{\circ}$。
证明：连接AP并延长交BC于点D，$\angle BPD=\angle BAP+\angle ABP$，$\angle CPD=\angle CAP+\angle ACP$，$\angle BPC=\angle BPD+\angle CPD=\angle BAP+\angle CAP+\angle ABP+\angle ACP=\angle A+\angle ABP+\angle ACP$。
当点P在$\triangle ABC$边BC上时，$\angle BPC = 180^{\circ}$，$\angle A+\angle ABP+\angle ACP=180^{\circ}$，$\angle BPC=\angle A+\angle ABP+\angle ACP$。
当点P在$\triangle ABC$外部时，$\angle BPC+\angle A+\angle ABP+\angle ACP=360^{\circ}$。