7. 用乘法公式计算：
（1）$2001^2$；
（2）$500^2 - 498×502$。
（1）$2001^2$；
（2）$500^2 - 498×502$。
答案：（1）4004001
解析：$2001^2=(2000 + 1)^2=2000^2 + 2×2000×1 + 1^2 = 4000000 + 4000 + 1=4004001$
（2）4
解析：$500^2 - 498×502=500^2-(500 - 2)(500 + 2)=500^2-(500^2 - 2^2)=500^2 - 500^2 + 4=4$
解析：$2001^2=(2000 + 1)^2=2000^2 + 2×2000×1 + 1^2 = 4000000 + 4000 + 1=4004001$
（2）4
解析：$500^2 - 498×502=500^2-(500 - 2)(500 + 2)=500^2-(500^2 - 2^2)=500^2 - 500^2 + 4=4$
8. 已知$(a + b)^2 = 7$，$(a - b)^2 = 3$。求$a^2 + b^2$，$ab$的值。
答案：$a^2 + b^2 = 5$，$ab = 1$
解析：$(a + b)^2=a^2 + 2ab + b^2 = 7$，$(a - b)^2=a^2 - 2ab + b^2 = 3$，两式相加得$2(a^2 + b^2)=10$，则$a^2 + b^2 = 5$；两式相减得$4ab = 4$，则$ab = 1$。
解析：$(a + b)^2=a^2 + 2ab + b^2 = 7$，$(a - b)^2=a^2 - 2ab + b^2 = 3$，两式相加得$2(a^2 + b^2)=10$，则$a^2 + b^2 = 5$；两式相减得$4ab = 4$，则$ab = 1$。
9. 观察下列式子：
$2×4 + 1 = 9$，
$4×6 + 1 = 25$，
$6×8 + 1 = 49$，
…
探索以上式子的规律，试写出第$n$个等式，并说明第$n$个等式成立。
$2×4 + 1 = 9$，
$4×6 + 1 = 25$，
$6×8 + 1 = 49$，
…
探索以上式子的规律，试写出第$n$个等式，并说明第$n$个等式成立。
答案：第$n$个等式为$2n(2n + 2)+1=(2n + 1)^2$
解析：左边$=2n(2n + 2)+1 = 4n^2 + 4n + 1$，右边$=(2n + 1)^2 = 4n^2 + 4n + 1$，左边 = 右边，所以等式成立。
解析：左边$=2n(2n + 2)+1 = 4n^2 + 4n + 1$，右边$=(2n + 1)^2 = 4n^2 + 4n + 1$，左边 = 右边，所以等式成立。
10. （1）通过计算，探索规律：
$15^2 = 225$，可写成$100×1×(1 + 1)+25$，
$25^2 = 625$，可写成$100×2×(2 + 1)+25$，
$35^2 = 1225$，可写成$100×3×(3 + 1)+25$，
$45^2 = 2025$，可写成$100×4×(4 + 1)+25$，
…
$75^2 = 5625$，可写成__________；
$85^2 = 7225$，可写成__________；
（2）说明任意一个个位数是5的整数平方后一定可以被25整除。
$15^2 = 225$，可写成$100×1×(1 + 1)+25$，
$25^2 = 625$，可写成$100×2×(2 + 1)+25$，
$35^2 = 1225$，可写成$100×3×(3 + 1)+25$，
$45^2 = 2025$，可写成$100×4×(4 + 1)+25$，
…
$75^2 = 5625$，可写成__________；
$85^2 = 7225$，可写成__________；
（2）说明任意一个个位数是5的整数平方后一定可以被25整除。
答案：（1）$100×7×(7 + 1)+25$；$100×8×(8 + 1)+25$
（2）设个位数是5的整数为$10n + 5$（$n$为整数），则$(10n + 5)^2 = 100n^2 + 100n + 25 = 25(4n^2 + 4n + 1)$，因为$4n^2 + 4n + 1$是整数，所以$25(4n^2 + 4n + 1)$能被25整除，即任意一个个位数是5的整数平方后一定可以被25整除。
（2）设个位数是5的整数为$10n + 5$（$n$为整数），则$(10n + 5)^2 = 100n^2 + 100n + 25 = 25(4n^2 + 4n + 1)$，因为$4n^2 + 4n + 1$是整数，所以$25(4n^2 + 4n + 1)$能被25整除，即任意一个个位数是5的整数平方后一定可以被25整除。
11. 两个连续奇数的平方差一定是8的倍数吗？为什么？
答案：一定是8的倍数
解析：设两个连续奇数分别为$2n + 1$和$2n - 1$（$n$为整数），则它们的平方差为$(2n + 1)^2-(2n - 1)^2=(4n^2 + 4n + 1)-(4n^2 - 4n + 1)=8n$，因为$n$是整数，所以$8n$是8的倍数，即两个连续奇数的平方差一定是8的倍数。
解析：设两个连续奇数分别为$2n + 1$和$2n - 1$（$n$为整数），则它们的平方差为$(2n + 1)^2-(2n - 1)^2=(4n^2 + 4n + 1)-(4n^2 - 4n + 1)=8n$，因为$n$是整数，所以$8n$是8的倍数，即两个连续奇数的平方差一定是8的倍数。
12. 如何用图形的面积表示$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$？
答案：画一个边长为$a$的大正方形，在大正方形中剪去一个边长为$b$的小正方形（靠右上角），再将右上角剪下的长为$a$、宽为$b$的长方形沿虚线剪下，拼到下方，得到一个长为$(a - b)$、宽为$a$的长方形和一个长为$(a - b)$、宽为$b$的长方形，剩余部分是边长为$(a - b)$的正方形，其面积为$(a - b)^2$。大正方形面积为$a^2$，减去两个长为$a$、宽为$b$的长方形面积$2ab$，再加上多减的边长为$b$的小正方形面积$b^2$，即$a^2 - 2ab + b^2$，所以$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$。