1. (2025·南京校级月考)计算 $ m^{3} · (-m)^{2} $ 的结果为 (
A.$-m$
B.$m$
C.$-m^{5}$
D.$m^{5}$
D
)A.$-m$
B.$m$
C.$-m^{5}$
D.$m^{5}$
答案：1. D 解析：$m^{3}· (-m)^{2}=m^{3}· m^{2}=m^{5}$，故选 D.
2. 下列运算结果为 $ x^{5} $ 的是 (
A.$(-x) · (-x)^{4}$
B.$(-x)^{2} · (-x)^{3}$
C.$(-x^{2}) · (-x)^{3}$
D.$(-x^{2}) · x^{3}$
C
)A.$(-x) · (-x)^{4}$
B.$(-x)^{2} · (-x)^{3}$
C.$(-x^{2}) · (-x)^{3}$
D.$(-x^{2}) · x^{3}$
答案：2. C 解析：A. $(-x)· (-x)^{4}=(-x)^{1+4}=(-x)^{5}=-x^{5}$，不符合题意；B. $(-x)^{2}· (-x)^{3}=(-x)^{2+3}=(-x)^{5}=-x^{5}$，不符合题意；C. $(-x^{2})· (-x)^{3}=-x^{2}· (-x^{3})=x^{5}$，符合题意；D. $(-x^{2})· x^{3}=-x^{2}· x^{3}=-x^{5}$，不符合题意.故选 C.
3. 若 $(b - a) · (b - a)^{3} · (a - b)^{m} = (a - b)^{11}$，则 $ m $ 的值为 (
A.5
B.6
C.7
D.8
C
)A.5
B.6
C.7
D.8
答案：3. C 解析：$(b - a)· (b - a)^{3}· (a - b)^{m}=(b - a)^{4}· (a - b)^{m}=(a - b)^{m + 4}$，由题意得$m + 4 = 11$，解得$m = 7$，故选 C.
技法点拨 当$n$为正整数时，$(a - b)^{2n}=(b - a)^{2n}$（次数为偶数），$(a - b)^{2n - 1}=-(b - a)^{2n - 1}$（次数为奇数）.
技法点拨 当$n$为正整数时，$(a - b)^{2n}=(b - a)^{2n}$（次数为偶数），$(a - b)^{2n - 1}=-(b - a)^{2n - 1}$（次数为奇数）.
4. 计算：
(1) $( \dfrac{1}{2} )^{3} × 0.5^{2} =$
(2) $-a^{4} · (-a)^{4} =$
(3) (
(4) $(a - 2)^{3} · (2 - a)^{4} =$
(5) $(a + 6)^{n + 1} ·$
(1) $( \dfrac{1}{2} )^{3} × 0.5^{2} =$
$\frac{1}{32}$
；(2) $-a^{4} · (-a)^{4} =$
$-a^{8}$
；(3) (
$-x$
) $· x^{2} · (-x)^{6} = -x^{9}$；(4) $(a - 2)^{3} · (2 - a)^{4} =$
$(a - 2)^{7}$
；(5) $(a + 6)^{n + 1} ·$
$(a + 6)^{2n - 5}$
$= (a + 6)^{3n - 4}$ ( $ n $ 是大于 2 的整数).答案：4. (1)$\frac{1}{32}$ 解析：原式$=(\frac{1}{2})^{3}× (\frac{1}{2})^{2}=(\frac{1}{2})^{5}=\frac{1}{32}$.
(2)$-a^{8}$ 解析：原式$=-a^{4}· a^{4}=-a^{8}$.
(3)$-x$ 解析：$x^{2}· (-x)^{6}=x^{8}$，$-x· x^{8}=-x^{9}$，故要使得等式成立，故应填$-x$.
(4)$(a - 2)^{7}$ 解析：原式$=(a - 2)^{3}· (a - 2)^{4}=(a - 2)^{7}$.
(5)$(a + 6)^{2n - 5}$ 解析：$(a + 6)^{n + 1}· (a + 6)^{2n - 5}=(a + 6)^{n + 1 + 2n - 5}=(a + 6)^{3n - 4}$，故应填$(a + 6)^{2n - 5}$.
(2)$-a^{8}$ 解析：原式$=-a^{4}· a^{4}=-a^{8}$.
(3)$-x$ 解析：$x^{2}· (-x)^{6}=x^{8}$，$-x· x^{8}=-x^{9}$，故要使得等式成立，故应填$-x$.
(4)$(a - 2)^{7}$ 解析：原式$=(a - 2)^{3}· (a - 2)^{4}=(a - 2)^{7}$.
(5)$(a + 6)^{2n - 5}$ 解析：$(a + 6)^{n + 1}· (a + 6)^{2n - 5}=(a + 6)^{n + 1 + 2n - 5}=(a + 6)^{3n - 4}$，故应填$(a + 6)^{2n - 5}$.
5. (1) (2025·苏州期末)若 $ a^{m} = 2 $，$ a^{n} = 8 $，则 $ a^{m + n} =$
(2) 已知 $ 2^{m} × 2^{m} × 8 = 2^{11} $，则 $ m =$
16
；(2) 已知 $ 2^{m} × 2^{m} × 8 = 2^{11} $，则 $ m =$
4
.答案：5. (1)16 解析：$a^{m + n}=a^{m}· a^{n}=2× 8 = 16$.
(2)4 解析：$2^{m}× 2^{m}× 8=2^{m}× 2^{m}× 2^{3}=2^{2m + 3}=2^{11}$，所以$2m + 3 = 11$，所以$m = 4$.
(2)4 解析：$2^{m}× 2^{m}× 8=2^{m}× 2^{m}× 2^{3}=2^{2m + 3}=2^{11}$，所以$2m + 3 = 11$，所以$m = 4$.
6. 教材变式 长度单位有 $ \mathrm{km} $，$ \mathrm{m} $，$ \mathrm{mm} $，$ μ \mathrm{m} $，$ \mathrm{nm} $，$···$，它们之间的关系为 $ 1 \mathrm{ km} = 10^{3} \mathrm{ m} $，$ 1 \mathrm{ m} = 10^{3} \mathrm{ mm} $，$ 1 \mathrm{ mm} = 10^{3} μ \mathrm{m} $，$ 1 μ \mathrm{m} = 10^{3} \mathrm{ nm} $，则 $ 1 \mathrm{ km} =$
$10^{12}$
$ \mathrm{nm} $.答案：6. $10^{12}$ 解析：$1\mathrm{~km}=10^{3}× 10^{3}× 10^{3}× 10^{3}\mathrm{~nm}=10^{12}\mathrm{~nm}$.
知识拓展 单位的表示
本题中长度单位的表示形式也同样可以应用在一些其他单位中，如物质质量的单位$kg$，$g$，$mg$，$μ g$，$ng$，时间的单位$ks$，$s$，$ms$，$μ s$，$ns$等等.
知识拓展 单位的表示
本题中长度单位的表示形式也同样可以应用在一些其他单位中，如物质质量的单位$kg$，$g$，$mg$，$μ g$，$ng$，时间的单位$ks$，$s$，$ms$，$μ s$，$ns$等等.
7. 计算：
(1) $ 2^{2} × 2 × 2^{2025} $；
(2) $ -(-m^{2}) · (-m)^{3} · (-m) $；
(3) $ a^{5} · (-a)^{3} - (-a)^{7} · a $；
(4) $ (x - y) · (y - x)^{2} · (y - x)^{3} - (y - x)^{6} $.
(1) $ 2^{2} × 2 × 2^{2025} $；
(2) $ -(-m^{2}) · (-m)^{3} · (-m) $；
(3) $ a^{5} · (-a)^{3} - (-a)^{7} · a $；
(4) $ (x - y) · (y - x)^{2} · (y - x)^{3} - (y - x)^{6} $.
答案：7. (1)原式$=2^{2 + 1 + 2025}=2^{2028}$.
(2)原式$=m^{2}· m^{3}· m = m^{6}$.
(3)原式$=-a^{5}· a^{3} + a^{7}· a=-a^{8} + a^{8}=0$.
(4)原式$=-(x - y)^{6}-(x - y)^{6}=-2(x - y)^{6}$.
(2)原式$=m^{2}· m^{3}· m = m^{6}$.
(3)原式$=-a^{5}· a^{3} + a^{7}· a=-a^{8} + a^{8}=0$.
(4)原式$=-(x - y)^{6}-(x - y)^{6}=-2(x - y)^{6}$.
8. (2024·河北中考)若 $ a $，$ b $ 是正整数，且满足 $\underbrace{2^{a} + 2^{a} + ··· + 2^{a}}_{8个2^{a}相加} = \underbrace{2^{b} × 2^{b} × ··· × 2^{b}}_{8个2^{b}相乘}$，则 $ a $ 与 $ b $ 的关系正确的是 (
A.$ a + 3 = 8b $
B.$ 3a = 8b $
C.$ a + 3 = b^{8} $
D.$ 3a = 8 + b $
A
)A.$ a + 3 = 8b $
B.$ 3a = 8b $
C.$ a + 3 = b^{8} $
D.$ 3a = 8 + b $
答案：8. A 解析：8个$2^{a}$相加为$8× 2^{a}=2^{3}× 2^{a}=2^{3 + a}$，8个$2^{b}$相乘为$2^{8b}$，所以$3 + a = 8b$，故选 A.
9. 规定 $ a * b = 2^{a} × 2^{b} $，例如：$ 1 * 2 = 2^{1} × 2^{2} = 2^{3} = 8 $，若 $ 2 * (x + 1) = 32 $，则 $ x $ 的值为 (
A.29
B.4
C.3
D.2
D
)A.29
B.4
C.3
D.2
答案：9. D 解析：根据题意得$2^{2}× 2^{x + 1}=32$，即$2^{2}× 2^{x + 1}=2^{5}$，所以$2 + x + 1 = 5$，解得$x = 2$.故选 D.
10. (1) (2025·宿迁期中)已知 $ x + y - 3 = 0 $，则 $ 2^{x} × 2^{y} $ 的值为
(2) 若 $ 2^{2y} × 2^{x - 2} = 4 $，则 $ x + 2y $ 的值为
8
；(2) 若 $ 2^{2y} × 2^{x - 2} = 4 $，则 $ x + 2y $ 的值为
4
.答案：10. (1)8 解析：因为$x + y - 3 = 0$，所以$x + y = 3$，所以$2^{x}× 2^{y}=2^{x + y}=2^{3}=8$.
(2)4 解析：因为$2^{2y}× 2^{x - 2}=2^{2y + x - 2}=4$，所以$2y + x - 2 = 2$，$x + 2y = 4$.
(2)4 解析：因为$2^{2y}× 2^{x - 2}=2^{2y + x - 2}=4$，所以$2y + x - 2 = 2$，$x + 2y = 4$.