11. 某遥感卫星每秒向地面站传回的数据量为 $ 4 × 10^{12} $ 比特. 后续发射升级型号的卫星，数据传输速率是原遥感卫星的 25 倍，则升级型号的卫星在 $ 2 × 10^{3} $ 秒内最多向地面站传回的数据量为
$2× 10^{17}$
比特. (结果用科学记数法表示)答案：11. $2× 10^{17}$ 解析：$4× 10^{12}× 25× 2× 10^{3}=2× 10^{2}× 10^{12}× 10^{3}=2× 10^{17}$.
解析：
$4×10^{12}×25×2×10^{3}=2×10^{2}×10^{12}×10^{3}=2×10^{17}$
12. (1) 若 $ a + b + c = 1 $，则 $ (-2)^{a - 1} × (-2)^{3b + 2} × (-2)^{2a + 3c} $ 的值为
(2) 已知 $ 2^{a} = 5 $，$ 2^{b} = 3.2 $，$ 2^{c} = 6.4 $，$ 2^{d} = 10 $，则 $ a + b + c + d $ 的值为
16
；(2) 已知 $ 2^{a} = 5 $，$ 2^{b} = 3.2 $，$ 2^{c} = 6.4 $，$ 2^{d} = 10 $，则 $ a + b + c + d $ 的值为
10
.答案：12. (1)16 解析：因为$a + b + c = 1$，所以$(-2)^{a - 1}× (-2)^{3b + 2}× (-2)^{2a + 3c}=(-2)^{a - 1 + 3b + 2 + 2a + 3c}=(-2)^{3(a + b + c)+1}=16$.
(2)10 解析：因为$2^{a}=5$，$2^{b}=3.2$，$2^{c}=6.4$，$2^{d}=10$，所以$2^{a}× 2^{b}× 2^{c}× 2^{d}=2^{a + b + c + d}=5× 3.2× 6.4× 10 = 2^{10}$，所以$a + b + c + d = 10$.
(2)10 解析：因为$2^{a}=5$，$2^{b}=3.2$，$2^{c}=6.4$，$2^{d}=10$，所以$2^{a}× 2^{b}× 2^{c}× 2^{d}=2^{a + b + c + d}=5× 3.2× 6.4× 10 = 2^{10}$，所以$a + b + c + d = 10$.
13. (1) 若 $ 4 × 5^{x + 3} = n $，则用含 $ n $ 的式子表示 $ 5^{x} $ 为
(2) (2025·镇江校级月考)已知 $ x = 2^{m} + 1 $，$ y = 3 + 2^{m + 1} $，若用含 $ x $ 的代数式表示 $ y $，则 $ y =$
$\frac{n}{500}$
；(2) (2025·镇江校级月考)已知 $ x = 2^{m} + 1 $，$ y = 3 + 2^{m + 1} $，若用含 $ x $ 的代数式表示 $ y $，则 $ y =$
$2x + 1$
.答案：13. (1)$\frac{n}{500}$ 解析：因为$4× 5^{x + 3}=n$可变形为$4× 5^{x}× 5^{3}=n$，所以$5^{x}=\frac{n}{500}$.
(2)$2x + 1$ 解析：因为$x = 2^{m} + 1$，所以$2^{m}=x - 1$.因为$2^{m + 1}=2× 2^{m}$，所以$2^{m + 1}=2(x - 1)$，所以$y = 3 + 2^{m + 1}=3 + 2(x - 1)=2x + 1$.
(2)$2x + 1$ 解析：因为$x = 2^{m} + 1$，所以$2^{m}=x - 1$.因为$2^{m + 1}=2× 2^{m}$，所以$2^{m + 1}=2(x - 1)$，所以$y = 3 + 2^{m + 1}=3 + 2(x - 1)=2x + 1$.
14. 计算：
(1) $ (-2)^{n} × (-2)^{n + 1} × 2^{n + 2} $ ( $ n $ 为正整数)；
(2) $ (a + b - c)^{2} · (c - a - b)^{3} · (a + b - c)^{5} $；
(3) $ (a - b)^{m + 3} · (b - a)^{2} + (a - b)^{m} · (b - a)^{5} $.
(1) $ (-2)^{n} × (-2)^{n + 1} × 2^{n + 2} $ ( $ n $ 为正整数)；
(2) $ (a + b - c)^{2} · (c - a - b)^{3} · (a + b - c)^{5} $；
(3) $ (a - b)^{m + 3} · (b - a)^{2} + (a - b)^{m} · (b - a)^{5} $.
答案：14. (1)原式$=(-2)^{2n + 1}× 2^{n + 2}=-2^{2n + 1}× 2^{n + 2}=-2^{3n + 3}$.
(2)原式$=-(a + b - c)^{2}· (a + b - c)^{3}· (a + b - c)^{5}=-(a + b - c)^{10}$.
(3)原式$=(a - b)^{m + 3}· (a - b)^{2}-(a - b)^{m}· (a - b)^{5}=(a - b)^{m + 5}-(a - b)^{m + 5}=0$.
(2)原式$=-(a + b - c)^{2}· (a + b - c)^{3}· (a + b - c)^{5}=-(a + b - c)^{10}$.
(3)原式$=(a - b)^{m + 3}· (a - b)^{2}-(a - b)^{m}· (a - b)^{5}=(a - b)^{m + 5}-(a - b)^{m + 5}=0$.
15. (1) 已知 $ 2^{2x - 1} - 2^{2x - 3} = 96 $，求 $ x $ 的值；
(2) 若 $ x = 2^{n} + 2^{n + 2} $，$ y = 2^{n - 1} + 2^{n - 3} $，其中各项的次数都是正整数，试判断 $ x $ 与 $ y $ 的数量关系.
(2) 若 $ x = 2^{n} + 2^{n + 2} $，$ y = 2^{n - 1} + 2^{n - 3} $，其中各项的次数都是正整数，试判断 $ x $ 与 $ y $ 的数量关系.
答案：15. (1)因为$2^{2x - 1}-2^{2x - 3}=96$，所以$2^{2}· 2^{2x - 3}-2^{2x - 3}=96$，所以$3× 2^{2x - 3}=96$，所以$2^{2x - 3}=32 = 2^{5}$，所以$2x - 3 = 5$，解得$x = 4$.
(2)因为$2^{3}× (2^{n - 1} + 2^{n - 3})=2^{n} + 2^{n + 2}=x$，所以$x = 8y$.
(2)因为$2^{3}× (2^{n - 1} + 2^{n - 3})=2^{n} + 2^{n + 2}=x$，所以$x = 8y$.
16. 新趋势 代数推理 已知 $ 2^{m} + 3^{n} $ 能被 19 整除，请你判断 $ 2^{m + 3} + 3^{n + 3} $ 能否被 19 整除？并说明理由.
答案：16. $2^{m + 3} + 3^{n + 3}$能被19整除.理由如下：$2^{m + 3} + 3^{n + 3}=8× 2^{m} + 27× 3^{n}=8× (2^{m} + 3^{n}) + 19× 3^{n}$，因为$2^{m} + 3^{n}$能被19整除，$19× 3^{n}$能被19整除，所以$2^{m + 3} + 3^{n + 3}$能被19整除.
17. 新题型 新运算 阅读下列材料：
一般地，$ n $ 个相同的因数 $ a $ 相乘：$ a · a · a · a · ··· · a $ 记作 $ a^{n} $，如 $ 2 × 2 × 2 = 2^{3} = 8 $，此时，3 叫作以 2 为底 8 的对数，记为 $ \log_{2}8 $ (即 $ \log_{2}8 = 3 $). 一般地，若 $ a^{n} = b $，则 $ n $ 叫作以 $ a $ 为底 $ b $ 的对数，记为 $ \log_{a}b = n $.
(1) 求下列各对数的值：$ \log_{2}4 =$
(2) 观察(1)中三个数 4，16，64 之间满足怎样的关系式，写出 $ \log_{2}4 $，$ \log_{2}16 $，$ \log_{2}64 $ 满足的关系式：
(3) 由(2)的结果，请你归纳出一个一般性的结论：$ \log_{a}M + \log_{a}N =$
(4) 根据上述结论解决下列问题：已知 $ \log_{a}2 = 0.3 $，求 $ \log_{a}4 $ 和 $ \log_{a}8 $ 的值 ($ a ＞ 0 $ 且 $ a ≠ 1 $).
一般地，$ n $ 个相同的因数 $ a $ 相乘：$ a · a · a · a · ··· · a $ 记作 $ a^{n} $，如 $ 2 × 2 × 2 = 2^{3} = 8 $，此时，3 叫作以 2 为底 8 的对数，记为 $ \log_{2}8 $ (即 $ \log_{2}8 = 3 $). 一般地，若 $ a^{n} = b $，则 $ n $ 叫作以 $ a $ 为底 $ b $ 的对数，记为 $ \log_{a}b = n $.
(1) 求下列各对数的值：$ \log_{2}4 =$
2
，$ \log_{2}16 =$4
，$ \log_{2}64 =$6
；(2) 观察(1)中三个数 4，16，64 之间满足怎样的关系式，写出 $ \log_{2}4 $，$ \log_{2}16 $，$ \log_{2}64 $ 满足的关系式：
$\log_{2}4 + \log_{2}16 = \log_{2}64$
；(3) 由(2)的结果，请你归纳出一个一般性的结论：$ \log_{a}M + \log_{a}N =$
$\log_{a}(MN)$
($ a ＞ 0 $ 且 $ a ≠ 1 $，$ M ＞ 0 $，$ N ＞ 0 $)；(4) 根据上述结论解决下列问题：已知 $ \log_{a}2 = 0.3 $，求 $ \log_{a}4 $ 和 $ \log_{a}8 $ 的值 ($ a ＞ 0 $ 且 $ a ≠ 1 $).
答案：17. (1)2 4 6 解析：因为$2^{2}=4$，$2^{4}=16$，$2^{6}=64$，所以$\log_{2}4 = 2$，$\log_{2}16 = 4$，$\log_{2}64 = 6$.
(2)$\log_{2}4 + \log_{2}16 = \log_{2}64$ 解析：观察(1)可得$2 + 4 = 6$，即$\log_{2}4 + \log_{2}16 = \log_{2}64$.
(3)$\log_{a}(MN)$ 解析：观察(2)可得$4× 16 = 64$，则$\log_{a}M + \log_{a}N = \log_{a}(MN)$.
(4)$\log_{a}4 = \log_{a}2 + \log_{a}2 = 0.3 + 0.3 = 0.6$，$\log_{a}8 = \log_{a}2 + \log_{a}4 = 0.3 + 0.6 = 0.9$.
知识拓展 对数
“对数”是高中数学的重点内容之一，同样也会在初中数学中作为探究性题目出现.其可以将乘法运算转化为加法运算，熟悉之后能够使得复杂的数学计算变得简单.
(2)$\log_{2}4 + \log_{2}16 = \log_{2}64$ 解析：观察(1)可得$2 + 4 = 6$，即$\log_{2}4 + \log_{2}16 = \log_{2}64$.
(3)$\log_{a}(MN)$ 解析：观察(2)可得$4× 16 = 64$，则$\log_{a}M + \log_{a}N = \log_{a}(MN)$.
(4)$\log_{a}4 = \log_{a}2 + \log_{a}2 = 0.3 + 0.3 = 0.6$，$\log_{a}8 = \log_{a}2 + \log_{a}4 = 0.3 + 0.6 = 0.9$.
知识拓展 对数
“对数”是高中数学的重点内容之一，同样也会在初中数学中作为探究性题目出现.其可以将乘法运算转化为加法运算，熟悉之后能够使得复杂的数学计算变得简单.