1. (武汉中考)计算$(-a^{2})^{3}$的结果是(
A.$-a^{6}$
B.$a^{6}$
C.$-a^{5}$
D.$a^{5}$
A
)A.$-a^{6}$
B.$a^{6}$
C.$-a^{5}$
D.$a^{5}$
答案：1. A 解析：$(-a^{2})^{3}=-a^{6}$，故选 A.
2. 若$(x^{3})^{m}=x^{4}· x^{m}$，则$m$的值为(
A.1
B.2
C.3
D.4
B
)A.1
B.2
C.3
D.4
答案：2. B 解析：因为$(x^{3})^{m}=x^{4}· x^{m}$，所以$x^{3m}=x^{4+m}$，所以$3m=4+m$，得$m=2$。故选 B.
3. 下列各式：①$-(-a^{3})^{4}=a^{12}$；②$(-a^{n})^{2}=(-a^{2})^{n}$；③$(-a - b)^{3}=(a + b)^{3}$；④$(a - b)^{4}=(-a + b)^{4}$。其中正确的个数是(
A.1
B.2
C.3
D.4
A
)A.1
B.2
C.3
D.4
答案：3. A 解析：①$-(-a^{3})^{4}=-a^{12}$，原式计算错误；②当$n$为偶数时$(-a^{n})^{2}=(-a^{2})^{n}=a^{2n}$，当$n$为奇数时$(-a^{n})^{2}≠ (-a^{2})^{n}$，原式计算错误；③$(-a - b)^{3}=-(a + b)^{3}$，原式计算错误；④$(a - b)^{4}=[-(a - b)]^{4}=(-a + b)^{4}$，原式计算正确。正确的个数是 1，故选 A.
4. (1)(宜昌中考)$(a^{2})^{5}-a^{3}· a^{7}=$
(2)$(-x^{5})· (x^{2})^{3}=$
0
；(2)$(-x^{5})· (x^{2})^{3}=$
$-x^{11}$
。答案：4. (1) 0 解析：原式$=a^{10}-a^{10}=0$。
(2) $-x^{11}$ 解析：原式$=-x^{5}· x^{6}=-x^{11}$。
(2) $-x^{11}$ 解析：原式$=-x^{5}· x^{6}=-x^{11}$。
5. 教材变式 填空：
(1)$16^{3}=4^{( )}=2^{(\_\_\_\_\_\_ )}=2^{8}× 2^{( )}$；
(2)$2^{3}× 8^{9}=2^{3}× 2^{( )}=2^{(\_\_\_\_\_\_ )}$；
(3)$a^{3}· (-a)^{( )}=-a^{3}·\_\_\_\_\_\_( )^{3}=a^{9}$。
(1)$16^{3}=4^{( )}=2^{(\_\_\_\_\_\_ )}=2^{8}× 2^{( )}$；
(2)$2^{3}× 8^{9}=2^{3}× 2^{( )}=2^{(\_\_\_\_\_\_ )}$；
(3)$a^{3}· (-a)^{( )}=-a^{3}·\_\_\_\_\_\_( )^{3}=a^{9}$。
答案：5. (1) 6 12 4 (2) 27 30 (3) 6 $-a^{2}$
6. (1)若$a^{m}=2$，则$a^{4m}$的值为
(2)若$x^{m}=-3$，$x^{n}=2$，则$x^{3m + n}=$
(3)若$x^{m}=8$，$x^{2n + m}=128$，则$x^{n}$的值是
16
；(2)若$x^{m}=-3$，$x^{n}=2$，则$x^{3m + n}=$
$-54$
；(3)若$x^{m}=8$，$x^{2n + m}=128$，则$x^{n}$的值是
$\pm 4$
。答案：6. (1) 16 解析：$a^{4m}=(a^{m})^{4}=2^{4}=16$。
(2) $-54$ 解析：因为$x^{m}=-3$，$x^{n}=2$，所以$x^{3m + n}=x^{3m}· x^{n}=(x^{m})^{3}· x^{n}=(-3)^{3}× 2=-27× 2=-54$。
(3) $\pm 4$ 解析：因为$x^{m}=8$，$x^{2n + m}=128$，所以$x^{2n + m}=x^{2n}· x^{m}=(x^{n})^{2}· x^{m}=(x^{n})^{2}· 8=128$，所以$(x^{n})^{2}=16$，所以$x^{n}=\pm 4$。
(2) $-54$ 解析：因为$x^{m}=-3$，$x^{n}=2$，所以$x^{3m + n}=x^{3m}· x^{n}=(x^{m})^{3}· x^{n}=(-3)^{3}× 2=-27× 2=-54$。
(3) $\pm 4$ 解析：因为$x^{m}=8$，$x^{2n + m}=128$，所以$x^{2n + m}=x^{2n}· x^{m}=(x^{n})^{2}· x^{m}=(x^{n})^{2}· 8=128$，所以$(x^{n})^{2}=16$，所以$x^{n}=\pm 4$。
7. (1)已知$x^{3}=m$，$x^{5}=n$，用含有$m$，$n$的代数式表示$x^{14}$，则$x^{14}=$
(2)若$3^{m}=2$，$3^{n}=5$，$3^{x}=40$，用含有$m$，$n$的代数式表示$x$，则$x=$
$m^{3}n$
；(2)若$3^{m}=2$，$3^{n}=5$，$3^{x}=40$，用含有$m$，$n$的代数式表示$x$，则$x=$
$3m + n$
。答案：7. (1) $m^{3}n$（答案不唯一） 解析：$x^{14}=(x^{3})^{3}· x^{5}=m^{3}n$。
技法点拨 除上述的基础解法外，本题还有其他扩展思路：
①因为$x^{3}=m$，所以$x^{3}=(m^{\frac{1}{3}})^{3}$，所以$x = m^{\frac{1}{3}}$。因为$x^{5}=n$，所以$x^{5}=(n^{\frac{1}{5}})^{5}$，所以$x = n^{\frac{1}{5}}$。此时利用同底数幂的乘法公式，$x^{14}$可以有很多种含$m$，$n$的表示方法，如：$x^{14}=x· x^{13}=m^{\frac{1}{3}}n^{\frac{13}{5}}$；②利用 7.3 同底数幂的除法中将要学习的知识，$\frac{n}{m}=x^{5}÷ x^{3}=x^{5 - 3}=x^{2}$，则$x^{14}=(x^{2})^{7}=(\frac{n}{m})^{7}=\frac{n^{7}}{m^{7}}$（结合扩展思路①，我们也可以从次数作差中寻找到更多方法）。
(2) $3m + n$ 解析：因为$40 = 5× 8 = 5× 2^{3}$，所以$3^{x}=3^{n}× (3^{m})^{3}$，即$3^{x}=3^{n}× 3^{3m}=3^{3m + n}$，所以$x = 3m + n$。
技法点拨 除上述的基础解法外，本题还有其他扩展思路：
①因为$x^{3}=m$，所以$x^{3}=(m^{\frac{1}{3}})^{3}$，所以$x = m^{\frac{1}{3}}$。因为$x^{5}=n$，所以$x^{5}=(n^{\frac{1}{5}})^{5}$，所以$x = n^{\frac{1}{5}}$。此时利用同底数幂的乘法公式，$x^{14}$可以有很多种含$m$，$n$的表示方法，如：$x^{14}=x· x^{13}=m^{\frac{1}{3}}n^{\frac{13}{5}}$；②利用 7.3 同底数幂的除法中将要学习的知识，$\frac{n}{m}=x^{5}÷ x^{3}=x^{5 - 3}=x^{2}$，则$x^{14}=(x^{2})^{7}=(\frac{n}{m})^{7}=\frac{n^{7}}{m^{7}}$（结合扩展思路①，我们也可以从次数作差中寻找到更多方法）。
(2) $3m + n$ 解析：因为$40 = 5× 8 = 5× 2^{3}$，所以$3^{x}=3^{n}× (3^{m})^{3}$，即$3^{x}=3^{n}× 3^{3m}=3^{3m + n}$，所以$x = 3m + n$。
8. 计算：
(1)$5^{10}× 25^{10}$；
(2)$[-(a - b)^{3}]^{4}$；
(3)$[(-x)^{2}]^{3}· (-x)^{3}$；
(4)$(-x^{n})^{4}· x^{2n}+(-x^{2n})^{3}$。
(1)$5^{10}× 25^{10}$；
(2)$[-(a - b)^{3}]^{4}$；
(3)$[(-x)^{2}]^{3}· (-x)^{3}$；
(4)$(-x^{n})^{4}· x^{2n}+(-x^{2n})^{3}$。
答案：8. (1) 原式$=5^{10}× (5^{2})^{10}=5^{10}× 5^{20}=5^{30}$。
(2) 原式$=[(a - b)^{3}]^{4}=(a - b)^{12}$。
(3) 原式$=x^{6}· (-x)^{3}=-x^{9}$。
(4) 原式$=x^{4n}· x^{2n}-x^{6n}=0$。
(2) 原式$=[(a - b)^{3}]^{4}=(a - b)^{12}$。
(3) 原式$=x^{6}· (-x)^{3}=-x^{9}$。
(4) 原式$=x^{4n}· x^{2n}-x^{6n}=0$。
9. 已知$n$为正整数，且$x^{2n}=4$。求：
(1)$x^{n - 3}· x^{3(n + 1)}$的值；
(2)$9(x^{3n})^{2}-13(x^{2})^{2n}$的值。
(1)$x^{n - 3}· x^{3(n + 1)}$的值；
(2)$9(x^{3n})^{2}-13(x^{2})^{2n}$的值。
答案：9. (1) 因为$x^{2n}=4$，所以$x^{n - 3}· x^{3(n + 1)}=x^{n - 3}· x^{3n + 3}=x^{4n}=(x^{2n})^{2}=4^{2}=16$。
(2) 因为$x^{2n}=4$，所以$9(x^{3n})^{2}-13(x^{2})^{2n}=9x^{6n}-13x^{4n}=9(x^{2n})^{3}-13(x^{2n})^{2}=9× 4^{3}-13× 4^{2}=576 - 208 = 368$。
(2) 因为$x^{2n}=4$，所以$9(x^{3n})^{2}-13(x^{2})^{2n}=9x^{6n}-13x^{4n}=9(x^{2n})^{3}-13(x^{2n})^{2}=9× 4^{3}-13× 4^{2}=576 - 208 = 368$。
10. (1)若$3^{m}=9^{n}=2$，则$3^{m + 2n}=$
(2)已知$2× 8^{n}× 16^{n}=2^{36}$，则$n=$
(3)已知$6^{a}=12$，$36^{b}=18$，求$\frac{1}{2}a + b + 2$的值。
4
；(2)已知$2× 8^{n}× 16^{n}=2^{36}$，则$n=$
5
；(3)已知$6^{a}=12$，$36^{b}=18$，求$\frac{1}{2}a + b + 2$的值。
答案：10. (1) 4 解析：因为$3^{m}=9^{n}=2$，所以$3^{2n}=2$，所以$3^{m + 2n}=3^{m}× 3^{2n}=4$。
(2) 5 解析：因为$2× 8^{n}× 16^{n}=2× 2^{3n}× 2^{4n}=2^{36}$，所以$1 + 3n + 4n = 36$，所以$n = 5$。
(3) 因为$6^{a}× 36^{b}=6^{a}× 6^{2b}=6^{a + 2b}=12× 18 = 6^{3}$，所以$a + 2b = 3$，所以$\frac{1}{2}a + b + 2=\frac{1}{2}(a + 2b)+2=\frac{3}{2}+2=\frac{7}{2}$。
(2) 5 解析：因为$2× 8^{n}× 16^{n}=2× 2^{3n}× 2^{4n}=2^{36}$，所以$1 + 3n + 4n = 36$，所以$n = 5$。
(3) 因为$6^{a}× 36^{b}=6^{a}× 6^{2b}=6^{a + 2b}=12× 18 = 6^{3}$，所以$a + 2b = 3$，所以$\frac{1}{2}a + b + 2=\frac{1}{2}(a + 2b)+2=\frac{3}{2}+2=\frac{7}{2}$。
11. 阅读下列材料，然后解答问题：
试比较$3^{55}$，$4^{44}$，$5^{33}$的大小。
解：$3^{55}=3^{11× 5}=(3^{5})^{11}=( )^{11}$，
同理：$4^{44}=( )^{11}$，$5^{33}=( )^{11}$。
指数相同的情况下，可通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小，故
问题：(1)完成上面的填空。
(2)比较$2^{125}$，$3^{100}$，$4^{75}$的大小。
(3)类比上述过程，底数相同的情况下，我们可通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小。试比较$81^{31}$，$27^{41}$，$9^{61}$的大小。
试比较$3^{55}$，$4^{44}$，$5^{33}$的大小。
解：$3^{55}=3^{11× 5}=(3^{5})^{11}=( )^{11}$，
同理：$4^{44}=( )^{11}$，$5^{33}=( )^{11}$。
指数相同的情况下，可通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小，故
$5^{33}$
＜$3^{55}$
＜$4^{44}$
。问题：(1)完成上面的填空。
(2)比较$2^{125}$，$3^{100}$，$4^{75}$的大小。
(3)类比上述过程，底数相同的情况下，我们可通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小。试比较$81^{31}$，$27^{41}$，$9^{61}$的大小。
答案：11. (1) 243 256 125 $5^{33}$ $3^{55}$ $4^{44}$ 解析：$3^{55}=3^{11× 5}=(3^{5})^{11}=(243)^{11}$，$4^{44}=(4^{4})^{11}=(256)^{11}$，$5^{33}=(5^{3})^{11}=(125)^{11}$，因为$125＜ 243＜ 256$，所以$(125)^{11}＜ (243)^{11}＜ (256)^{11}$，所以$5^{33}＜ 3^{55}＜ 4^{44}$。
(2) 因为$2^{125}=(2^{5})^{25}=32^{25}$，$3^{100}=(3^{4})^{25}=81^{25}$，$4^{75}=(4^{3})^{25}=64^{25}$，且$32＜ 64＜ 81$，所以$32^{25}＜ 64^{25}＜ 81^{25}$，所以$2^{125}＜ 4^{75}＜ 3^{100}$。
(3) 因为$81^{31}=(3^{4})^{31}=3^{124}$，$27^{41}=(3^{3})^{41}=3^{123}$，$9^{61}=(3^{2})^{61}=3^{122}$，且$124＞ 123＞ 122$，所以$3^{124}＞ 3^{123}＞ 3^{122}$，即$81^{31}＞ 27^{41}＞ 9^{61}$。
(2) 因为$2^{125}=(2^{5})^{25}=32^{25}$，$3^{100}=(3^{4})^{25}=81^{25}$，$4^{75}=(4^{3})^{25}=64^{25}$，且$32＜ 64＜ 81$，所以$32^{25}＜ 64^{25}＜ 81^{25}$，所以$2^{125}＜ 4^{75}＜ 3^{100}$。
(3) 因为$81^{31}=(3^{4})^{31}=3^{124}$，$27^{41}=(3^{3})^{41}=3^{123}$，$9^{61}=(3^{2})^{61}=3^{122}$，且$124＞ 123＞ 122$，所以$3^{124}＞ 3^{123}＞ 3^{122}$，即$81^{31}＞ 27^{41}＞ 9^{61}$。