6. (荆州中考)为拓宽学生视野，促进书本知识与生活实践的深度融合，荆州市某中学组织八年级全体学生前往某研学基地开展研学活动.在此次活动中，若每位老师带队14名学生，则还剩10名学生没老师带；若每位老师带队15名学生，就有一位老师少带6名学生，现有甲、乙两种大型客车，它们的载客量和租金如表所示:
学校计划此次研学活动的租金总费用不超过3000元，为安全起见，每辆客车上至少要有2名老师.
(1)参加此次研学活动的老师和学生各有多少人?
(2)既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆客车上至少要有2名老师，可知租车总辆数为
(3)学校共有几种租车方案?最少租车费用是多少?
学校计划此次研学活动的租金总费用不超过3000元，为安全起见，每辆客车上至少要有2名老师.
(1)参加此次研学活动的老师和学生各有多少人?
(2)既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆客车上至少要有2名老师，可知租车总辆数为
8
辆.(3)学校共有几种租车方案?最少租车费用是多少?
答案：6. (1) 设参加此次研学活动的老师有 $ x $ 人, 学生有 $ y $ 人, 依题意, 得 $ \begin{cases} 14x + 10 = y, \\ 15x - 6 = y, \end{cases} $ 解得 $ \begin{cases} x = 16, \\ y = 234. \end{cases} $
答: 参加此次研学活动的老师有 16 人, 学生有 234 人.
(2) 8 解析: 因为 $ (234 + 16)÷35 = 7 $ (辆) $ ······5 $ (人), $ 16÷2 = 8 $ (辆), 所以租车总辆数为 8 辆.
(3) 设租甲型客车 $ m $ 辆, 则租乙型客车 $ (8 - m) $ 辆, 依题意, 得 $ \begin{cases} 35m + 30(8 - m) ≥ 234 + 16, \\ 400m + 320(8 - m) ≤ 3000, \end{cases} $ 解得 $ 2 ≤ m ≤ 5\frac{1}{2} $. 因为 $ m $ 为正整数, 所以 $ m = 2, 3, 4, 5 $, 所以共有 4 种租车方案. 设租车总费用为 $ w $ 元, 则 $ w = 400m + 320(8 - m) = 80m + 2560 $.
方案一: 当 $ m = 2 $ 时, $ w = 80m + 2560 = 2720 $ (元). 方案二: 当 $ m = 3 $ 时, $ w = 80m + 2560 = 2800 $ (元). 方案三: 当 $ m = 4 $ 时, $ w = 80m + 2560 = 2880 $ (元). 方案四: 当 $ m = 5 $ 时, $ w = 80m + 2560 = 2960 $ (元). 所以当 $ m = 2 $ 时, $ w $ 取得最小值, 最小值为 2720. 所以学校共有 4 种租车方案, 最少租车费用是 2720 元.
答: 参加此次研学活动的老师有 16 人, 学生有 234 人.
(2) 8 解析: 因为 $ (234 + 16)÷35 = 7 $ (辆) $ ······5 $ (人), $ 16÷2 = 8 $ (辆), 所以租车总辆数为 8 辆.
(3) 设租甲型客车 $ m $ 辆, 则租乙型客车 $ (8 - m) $ 辆, 依题意, 得 $ \begin{cases} 35m + 30(8 - m) ≥ 234 + 16, \\ 400m + 320(8 - m) ≤ 3000, \end{cases} $ 解得 $ 2 ≤ m ≤ 5\frac{1}{2} $. 因为 $ m $ 为正整数, 所以 $ m = 2, 3, 4, 5 $, 所以共有 4 种租车方案. 设租车总费用为 $ w $ 元, 则 $ w = 400m + 320(8 - m) = 80m + 2560 $.
方案一: 当 $ m = 2 $ 时, $ w = 80m + 2560 = 2720 $ (元). 方案二: 当 $ m = 3 $ 时, $ w = 80m + 2560 = 2800 $ (元). 方案三: 当 $ m = 4 $ 时, $ w = 80m + 2560 = 2880 $ (元). 方案四: 当 $ m = 5 $ 时, $ w = 80m + 2560 = 2960 $ (元). 所以当 $ m = 2 $ 时, $ w $ 取得最小值, 最小值为 2720. 所以学校共有 4 种租车方案, 最少租车费用是 2720 元.
7. (2025·合肥期中)如图①，有边长为20cm的甲型正方形板材和长60cm、宽20cm的乙型长方形板材，可用于制作成如图②所示的无盖的横式(需两张甲型和三张乙型)和无盖的竖式(需一张甲型和四张乙型)两种箱子，制作过程中不计损耗.已知购买任何型号板材单价均为每平方厘米0.02元.
(1)购买一张甲型正方形板材需要
(2)若有甲型板材70张，乙型板材182张，用这批板材制作两种类型的箱子共50个，请问可有哪几种制作方案?
(3)若有甲型板材100张，乙型板材m张，做成上述两种箱子，板材恰好用完.已知220＜m＜232.请求出m所有可能的取值.
(1)购买一张甲型正方形板材需要
8
元，制作一个无盖的横式箱子需要花费88
元.(2)若有甲型板材70张，乙型板材182张，用这批板材制作两种类型的箱子共50个，请问可有哪几种制作方案?
(3)若有甲型板材100张，乙型板材m张，做成上述两种箱子，板材恰好用完.已知220＜m＜232.请求出m所有可能的取值.
答案：7. (1) 8 88 解析: 购买一张甲型正方形板材需要 $ 20×20×0.02 = 8 $ (元), 购买一张乙型长方形板材需要 $ 20×60×0.02 = 24 $ (元), 制作一个无盖的横式箱子需要花费 $ 2×8 + 3×24 = 88 $ (元).
(2) 设制作无盖的横式箱子 $ x $ 个, 则制作无盖的竖式箱子 $ (50 - x) $ 个, 根据题意有 $ \begin{cases} 2x + 50 - x ≤ 70, \\ 3x + 4(50 - x) ≤ 182, \end{cases} $ 解得 $ 18 ≤ x ≤ 20 $. 因为 $ x $ 为非负整数, 所以 $ x = 18 $ 或 19 或 20, 所以有以下三种制作方案:
①制作无盖的横式箱子 18 个, 制作无盖的竖式箱子 $ 50 - 18 = 32 $ (个), ②制作无盖的横式箱子 19 个, 制作无盖的竖式箱子 $ 50 - 19 = 31 $ (个), ③制作无盖的横式箱子 20 个, 制作无盖的竖式箱子 $ 50 - 20 = 30 $ (个).
(3) 设制作无盖的横式箱子 $ a $ 个, 制作无盖的竖式箱子 $ b $ 个, 根据题意得 $ \begin{cases} 2a + b = 100, \\ 3a + 4b = m, \end{cases} $ 所以 $ b = 100 - 2a $. 因为 $ 220 ＜ m ＜ 232 $, 所以 $ 220 ＜ 3a + 4(100 - 2a) ＜ 232 $, 整理得 $ 33.6 ＜ a ＜ 36 $. 因为 $ a $ 为非负整数, 所以 $ a = 34 $ 或 35, 当 $ a = 34 $ 时, $ b = 32 $, 则 $ m = 3×34 + 4×32 = 230 $; 当 $ a = 35 $ 时, $ b = 30 $, 则 $ m = 3×35 + 4×30 = 225 $.
所以 $ m $ 所有可能的取值为 225 或 230.
(2) 设制作无盖的横式箱子 $ x $ 个, 则制作无盖的竖式箱子 $ (50 - x) $ 个, 根据题意有 $ \begin{cases} 2x + 50 - x ≤ 70, \\ 3x + 4(50 - x) ≤ 182, \end{cases} $ 解得 $ 18 ≤ x ≤ 20 $. 因为 $ x $ 为非负整数, 所以 $ x = 18 $ 或 19 或 20, 所以有以下三种制作方案:
①制作无盖的横式箱子 18 个, 制作无盖的竖式箱子 $ 50 - 18 = 32 $ (个), ②制作无盖的横式箱子 19 个, 制作无盖的竖式箱子 $ 50 - 19 = 31 $ (个), ③制作无盖的横式箱子 20 个, 制作无盖的竖式箱子 $ 50 - 20 = 30 $ (个).
(3) 设制作无盖的横式箱子 $ a $ 个, 制作无盖的竖式箱子 $ b $ 个, 根据题意得 $ \begin{cases} 2a + b = 100, \\ 3a + 4b = m, \end{cases} $ 所以 $ b = 100 - 2a $. 因为 $ 220 ＜ m ＜ 232 $, 所以 $ 220 ＜ 3a + 4(100 - 2a) ＜ 232 $, 整理得 $ 33.6 ＜ a ＜ 36 $. 因为 $ a $ 为非负整数, 所以 $ a = 34 $ 或 35, 当 $ a = 34 $ 时, $ b = 32 $, 则 $ m = 3×34 + 4×32 = 230 $; 当 $ a = 35 $ 时, $ b = 30 $, 则 $ m = 3×35 + 4×30 = 225 $.
所以 $ m $ 所有可能的取值为 225 或 230.