15. 若关于 $x,y$ 的方程组 $\begin{cases}2x+3y=m-2, \\ 2x-3y=5m\end{cases}$ 的解是一对负数，则 $|2m+1|-|-6m+2|=$ ______ .
答案：15. $ 8 m - 1 $ 解析：解方程组得 $ \{ \begin{array} { l } { x = \frac { 3 } { 2 } m - \frac { 1 } { 2 } }, \\ { y = - \frac { 2 } { 3 } m - \frac { 1 } { 3 } }. \end{array} $ 因为关于 $ x $，$ y $ 的方程组 $ \{ \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = m - 2 }, \\ { 2 x - 3 y = 5 m } \end{array} $ 的解是一对负数，所以 $ \{ \begin{array} { l } { \frac { 3 } { 2 } m - \frac { 1 } { 2 } ＜ 0 }, \\ { - \frac { 2 } { 3 } m - \frac { 1 } { 3 } ＜ 0 }, \end{array} $ 解得 $ - \frac { 1 } { 2 } ＜ m ＜ \frac { 1 } { 3 } $，则 $ 2 m + 1 ＞ 0 $，$ - 6 m + 2 ＞ 0 $，所以 $ | 2 m + 1 | - | - 6 m + 2 | = 2 m + 1 - ( - 6 m + 2 ) = 2 m + 1 + 6 m - 2 = 8 m - 1 $.
解析：
解：解方程组$\begin{cases}2x + 3y = m - 2 \\ 2x - 3y = 5m\end{cases}$，
两式相加得：$4x = 6m - 2$，解得$x = \frac{3m - 1}{2}$；
两式相减得：$6y = -4m - 2$，解得$y = \frac{-2m - 1}{3}$。
因为解是一对负数，所以$\begin{cases}\frac{3m - 1}{2} ＜ 0 \\ \frac{-2m - 1}{3} ＜ 0\end{cases}$，
解$\frac{3m - 1}{2} ＜ 0$得$3m - 1 ＜ 0$，$m ＜ \frac{1}{3}$；
解$\frac{-2m - 1}{3} ＜ 0$得$-2m - 1 ＜ 0$，$-2m ＜ 1$，$m ＞ -\frac{1}{2}$。
所以$-\frac{1}{2} ＜ m ＜ \frac{1}{3}$。
则$2m + 1 ＞ 0$，$-6m + 2 ＞ 0$，
$|2m + 1| - |-6m + 2| = (2m + 1) - (-6m + 2) = 2m + 1 + 6m - 2 = 8m - 1$。
$8m - 1$
两式相加得：$4x = 6m - 2$，解得$x = \frac{3m - 1}{2}$；
两式相减得：$6y = -4m - 2$，解得$y = \frac{-2m - 1}{3}$。
因为解是一对负数，所以$\begin{cases}\frac{3m - 1}{2} ＜ 0 \\ \frac{-2m - 1}{3} ＜ 0\end{cases}$，
解$\frac{3m - 1}{2} ＜ 0$得$3m - 1 ＜ 0$，$m ＜ \frac{1}{3}$；
解$\frac{-2m - 1}{3} ＜ 0$得$-2m - 1 ＜ 0$，$-2m ＜ 1$，$m ＞ -\frac{1}{2}$。
所以$-\frac{1}{2} ＜ m ＜ \frac{1}{3}$。
则$2m + 1 ＞ 0$，$-6m + 2 ＞ 0$，
$|2m + 1| - |-6m + 2| = (2m + 1) - (-6m + 2) = 2m + 1 + 6m - 2 = 8m - 1$。
$8m - 1$
16. (2025·苏州校级月考)如图，这是李强同学设计的一个计算机程序，规定从“输入一个 $x$ 值”到判断“结果是否 $≥ 15$”为一次运行过程，如果程序运行两次就停止，那么 $x$ 的取值范围是
$3 ≤ x ＜ 7$
.答案：16. $ 3 ≤ x ＜ 7 $ 解析：由题意可得，$ \{ \begin{array} { l } { 2 x + 1 ＜ 15 }, \\ { 2 ( 2 x + 1 ) + 1 ≥ 15 }, \end{array} $ 解得 $ 3 ≤ x ＜ 7 $.
解析：
解：由题意可得，
$\begin{cases}2x + 1 ＜ 15 \\2(2x + 1) + 1 ≥ 15\end{cases}$
解第一个不等式：$2x + 1 ＜ 15$，得$2x ＜ 14$，$x ＜ 7$。
解第二个不等式：$2(2x + 1) + 1 ≥ 15$，$4x + 2 + 1 ≥ 15$，$4x + 3 ≥ 15$，$4x ≥ 12$，$x ≥ 3$。
综上，$3 ≤ x ＜ 7$。
$\begin{cases}2x + 1 ＜ 15 \\2(2x + 1) + 1 ≥ 15\end{cases}$
解第一个不等式：$2x + 1 ＜ 15$，得$2x ＜ 14$，$x ＜ 7$。
解第二个不等式：$2(2x + 1) + 1 ≥ 15$，$4x + 2 + 1 ≥ 15$，$4x + 3 ≥ 15$，$4x ≥ 12$，$x ≥ 3$。
综上，$3 ≤ x ＜ 7$。
17. 已知关于 $x$ 的方程 $|x|=ax+1$ 只有一个负数解，则 $a$ 的取值范围是
$a ≥ 1$
.答案：17. $ a ≥ 1 $ 解析：①当 $ x = 0 $ 时，等式不成立，故 $ x = 0 $ 不是方程的解；②当 $ x ＜ 0 $ 时，即 $ | x | = - x $，所以 $ - x = a x + 1 $，所以 $ x = \frac { - 1 } { a + 1 } $，因为方程只有一个负数解，所以 $ a + 1 ＞ 0 $，即 $ a ＞ - 1 $；③当 $ x ＞ 0 $ 时，即 $ | x | = x $，所以 $ x = a x + 1 $，当 $ a = 1 $ 时，方程无解，即无正数解；当 $ a ≠ 1 $ 时，$ x = \frac { 1 } { 1 - a } $，因为方程没有正数解，所以 $ 1 - a ＜ 0 $，即 $ a ＞ 1 $，所以当 $ a ≥ 1 $ 时方程无正数解。综上，要使得方程只有一个负数解，$ a $ 的取值范围是 $ a ≥ 1 $.
解析：
①当$x=0$时，$0=0+1$不成立，故$x=0$不是方程的解；
②当$x＜0$时，$|x|=-x$，方程化为$-x=ax+1$，解得$x=\frac{-1}{a+1}$，要使此负数解存在，则$a+1＞0$，即$a＞-1$；
③当$x＞0$时，$|x|=x$，方程化为$x=ax+1$，即$(1 - a)x=1$。当$a=1$时，方程无解；当$a≠1$时，$x=\frac{1}{1 - a}$，要使方程无正数解，则$\frac{1}{1 - a}≤0$，即$1 - a＜0$，得$a＞1$。综上，当$a≥1$时方程无正数解。
所以$a$的取值范围是$a≥1$。
②当$x＜0$时，$|x|=-x$，方程化为$-x=ax+1$，解得$x=\frac{-1}{a+1}$，要使此负数解存在，则$a+1＞0$，即$a＞-1$；
③当$x＞0$时，$|x|=x$，方程化为$x=ax+1$，即$(1 - a)x=1$。当$a=1$时，方程无解；当$a≠1$时，$x=\frac{1}{1 - a}$，要使方程无正数解，则$\frac{1}{1 - a}≤0$，即$1 - a＜0$，得$a＞1$。综上，当$a≥1$时方程无正数解。
所以$a$的取值范围是$a≥1$。
18. 新题型 新运算 新定义一个运算：$a· b=\begin{cases}a^2-2b\,(a＞b), \\ -a^2+2b\,(a≤ b),\end{cases}$ 例如 $2· 1=2^2-2× 1=2$，$1· 2=-1^2+2× 2=3$。用 $＜m＞$ 表示大于 $m$ 的最小整数，例如 $＜1＞=2$，$＜3.2＞=4$，$＜-3＞=-2$。按照上述规定，如果整数 $x$ 满足 $＜-2· 3＞=-2＜1· x＞+11$，则 $x$ 的值是 ______ .
答案：18. -1或2 解析：因为 $ - 2 ＜ 3 $，所以 $ - 2 · 3 = - ( - 2 ) ^ { 2 } + 2 × 3 = - 4 + 6 = 2 $，则 $ ＜ - 2 · 3 ＞ = 3 $，因为 $ ＜ - 2 · 3 ＞ = - 2 ＜ 1 · x ＞ + 11 $，所以 $ 3 = - 2 ＜ 1 · x ＞ + 11 $，整理得 $ ＜ 1 · x ＞ = 4 $，当 $ x ＜ 1 $ 时，$ 1 · x = 1 - 2 x $，则 $ 3 ≤ 1 - 2 x ＜ 4 $，解得 $ - \frac { 3 } { 2 } ＜ x ≤ - 1 $。因为 $ x $ 为整数，所以 $ x = - 1 $；当 $ x ≥ 1 $ 时，$ 1 · x = - 1 + 2 x $，则 $ 3 ≤ - 1 + 2 x ＜ 4 $，解得 $ 2 ≤ x ＜ \frac { 5 } { 2 } $。因为 $ x $ 为整数，所以 $ x = 2 $。综上，$ x $ 的值是-1或2.
三、解答题（共 46 分）
19. （8 分）解下面的不等式（组），并把它们的解集在数轴上表示出来.
（1）$\dfrac{x+1}{6}＞\dfrac{2x-5}{4}+1$；
（2）$\begin{cases} x-3(x-2)≥ -2, \\ \dfrac{x-1}{2}＜\dfrac{2x-1}{3}. \end{cases}$
19. （8 分）解下面的不等式（组），并把它们的解集在数轴上表示出来.
（1）$\dfrac{x+1}{6}＞\dfrac{2x-5}{4}+1$；
（2）$\begin{cases} x-3(x-2)≥ -2, \\ \dfrac{x-1}{2}＜\dfrac{2x-1}{3}. \end{cases}$
答案：
19. (1)去分母，得 $ 2 ( x + 1 ) ＞ 3 ( 2 x - 5 ) + 12 $，去括号，得 $ 2 x + 2 ＞ 6 x - 15 + 12 $，移项，得 $ 2 x - 6 x ＞ - 15 + 12 - 2 $，合并同类项，得 $ - 4 x ＞ - 5 $，系数化为1，得 $ x ＜ \frac { 5 } { 4 } $，在数轴上表示如图.
(2)$ \{ \begin{array} { l } { x - 3 ( x - 2 ) ≥ - 2 }, \quad ① \\ { \frac { x - 1 } { 2 } ＜ \frac { 2 x - 1 } { 3 } }, \quad ② \end{array} $ 由①得 $ x ≤ 4 $，由②得 $ x ＞ - 1 $，所以不等式组的解集是 $ - 1 ＜ x ≤ 4 $，在数轴上表示如图.
19. (1)去分母，得 $ 2 ( x + 1 ) ＞ 3 ( 2 x - 5 ) + 12 $，去括号，得 $ 2 x + 2 ＞ 6 x - 15 + 12 $，移项，得 $ 2 x - 6 x ＞ - 15 + 12 - 2 $，合并同类项，得 $ - 4 x ＞ - 5 $，系数化为1，得 $ x ＜ \frac { 5 } { 4 } $，在数轴上表示如图.
(2)$ \{ \begin{array} { l } { x - 3 ( x - 2 ) ≥ - 2 }, \quad ① \\ { \frac { x - 1 } { 2 } ＜ \frac { 2 x - 1 } { 3 } }, \quad ② \end{array} $ 由①得 $ x ≤ 4 $，由②得 $ x ＞ - 1 $，所以不等式组的解集是 $ - 1 ＜ x ≤ 4 $，在数轴上表示如图.
20. （8 分）若 $m$ 是不等式组 $\begin{cases} 2(1-x)≤ x+8, \\ \dfrac{3x-2}{6}＜\dfrac{x-1}{3} \end{cases}$ 的最大整数解，求 $1+m+m^2+···+m^{1000}$ 的值.
答案：20. $ \{ \begin{array} { l } { 2 ( 1 - x ) ≤ x + 8 }, \quad ① \\ { \frac { 3 x - 2 } { 6 } ＜ \frac { x - 1 } { 3 } }, \quad ② \end{array} $ 由不等式①，得 $ x ≥ - 2 $，由不等式②，得 $ x ＜ 0 $，所以不等式组的解集为 $ - 2 ≤ x ＜ 0 $，解集中最大的整数解为-1，则 $ m = - 1 $，所以 $ 1 + m + m ^ { 2 } + ··· + m ^ { 1000 } = 1 + ( - 1 ) + ( - 1 ) ^ { 2 } + ··· + ( - 1 ) ^ { 1000 } = 1 - 1 + 1 - 1 + ··· + 1 = 1 $.
解析：
解不等式组$\begin{cases} 2(1 - x) ≤ x + 8, \\ \dfrac{3x - 2}{6} ＜ \dfrac{x - 1}{3} \end{cases}$
解不等式①：$2(1 - x) ≤ x + 8$
$2 - 2x ≤ x + 8$
$-2x - x ≤ 8 - 2$
$-3x ≤ 6$
$x ≥ -2$
解不等式②：$\dfrac{3x - 2}{6} ＜ \dfrac{x - 1}{3}$
$3x - 2 ＜ 2(x - 1)$
$3x - 2 ＜ 2x - 2$
$3x - 2x ＜ -2 + 2$
$x ＜ 0$
所以不等式组的解集为$-2 ≤ x ＜ 0$，最大整数解$m = -1$
则$1 + m + m^2 + ··· + m^{1000} = 1 + (-1) + (-1)^2 + ··· + (-1)^{1000}$
$=1 - 1 + 1 - 1 + ··· + 1$（共1001项，两两一组和为0，余最后一项1）
$=1$
答案：$1$
解不等式①：$2(1 - x) ≤ x + 8$
$2 - 2x ≤ x + 8$
$-2x - x ≤ 8 - 2$
$-3x ≤ 6$
$x ≥ -2$
解不等式②：$\dfrac{3x - 2}{6} ＜ \dfrac{x - 1}{3}$
$3x - 2 ＜ 2(x - 1)$
$3x - 2 ＜ 2x - 2$
$3x - 2x ＜ -2 + 2$
$x ＜ 0$
所以不等式组的解集为$-2 ≤ x ＜ 0$，最大整数解$m = -1$
则$1 + m + m^2 + ··· + m^{1000} = 1 + (-1) + (-1)^2 + ··· + (-1)^{1000}$
$=1 - 1 + 1 - 1 + ··· + 1$（共1001项，两两一组和为0，余最后一项1）
$=1$
答案：$1$
21. (8 分)对于有理数对 $(a,b)$，定义偏左数为 $P_m=\dfrac{2a+b}{3}$，偏右数为 $P_n=\dfrac{a+2b}{3}$，对于有理数对 $(2x+4,3-x)$：
(1)若 $x=1$，则 $P_m+P_n=$
(2)若 $P_m+P_n≤ 1$，求 $x$ 的取值范围.
(1)若 $x=1$，则 $P_m+P_n=$
8
；(2)若 $P_m+P_n≤ 1$，求 $x$ 的取值范围.
答案：21. (1)8 解析：因为对于有理数对 $ ( a , b ) $，定义偏左数为 $ P m = \frac { 2 a + b } { 3 } $，偏右数为 $ P n = \frac { a + 2 b } { 3 } $，所以对于有理数对 $ ( 2 x + 4 , 3 - x ) $，$ P m = \frac { 2 ( 2 x + 4 ) + 3 - x } { 3 } = \frac { 3 x + 11 } { 3 } $，$ P n = \frac { 2 x + 4 + 2 ( 3 - x ) } { 3 } = \frac { 10 } { 3 } $，所以 $ P m + P n = \frac { 3 x + 11 } { 3 } + \frac { 10 } { 3 } = x + 7 $，所以当 $ x = 1 $ 时，$ P m + P n = 1 + 7 = 8 $.
(2)由(1)得 $ P m + P n = x + 7 $，因为 $ P m + P n ≤ 1 $，所以 $ x + 7 ≤ 1 $，解得 $ x ≤ - 6 $.
(2)由(1)得 $ P m + P n = x + 7 $，因为 $ P m + P n ≤ 1 $，所以 $ x + 7 ≤ 1 $，解得 $ x ≤ - 6 $.