1. 下列命题可作为定理的有(
①两直线平行，同旁内角互补；
②相等的角是内错角；
③等角的补角相等；
④垂线段最短。
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
C
)①两直线平行，同旁内角互补；
②相等的角是内错角；
③等角的补角相等；
④垂线段最短。
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案：1. C 解析:经过证明的真命题称为定理,相等的角是内错角是假命题,所以②不能作为定理.其余3个都正确,即可作为定理的有3个.故选C.
2. (2024·西藏中考)如图，已知直线$l_{1}// l_{2}$，$AB⊥ CD$于点$D$，$∠ 1 = 50^{\circ}$，则$∠ 2$的度数是(
A.$40^{\circ}$
B.$45^{\circ}$
C.$50^{\circ}$
D.$60^{\circ}$
A
)A.$40^{\circ}$
B.$45^{\circ}$
C.$50^{\circ}$
D.$60^{\circ}$
答案：2. A 解析:
∵l₁//l₂,∠1 = 50°,
∴∠ABC = ∠1 = 50°.
∵AB⊥CD,
∴∠BDC = 90°,
∴∠2 = 180° - 90° - 50° = 40°.故选A.
∵l₁//l₂,∠1 = 50°,
∴∠ABC = ∠1 = 50°.
∵AB⊥CD,
∴∠BDC = 90°,
∴∠2 = 180° - 90° - 50° = 40°.故选A.
3. (陕西中考)如图，点$D$，$E$分别在线段$BC$，$AC$上，连接$AD$，$BE$。若$∠ A = 35^{\circ}$，$∠ B = 25^{\circ}$，$∠ C = 50^{\circ}$，则$∠ 1$的大小为(
A.$60^{\circ}$
B.$70^{\circ}$
C.$75^{\circ}$
D.$85^{\circ}$
B
)A.$60^{\circ}$
B.$70^{\circ}$
C.$75^{\circ}$
D.$85^{\circ}$
答案：3. B 解析:
∵∠1 = 180° - (∠B + ∠ADB),∠ADB = ∠A + ∠C,
∴∠1 = 180° - (∠B + ∠A + ∠C)=180° - (25° + 35° + 50°)=180° - 110° = 70°.故选B.
∵∠1 = 180° - (∠B + ∠ADB),∠ADB = ∠A + ∠C,
∴∠1 = 180° - (∠B + ∠A + ∠C)=180° - (25° + 35° + 50°)=180° - 110° = 70°.故选B.
4. 在$△ ABC$中：
(1)若$∠ A:∠ B:∠ C = 2:3:5$，则此三角形是
(2)若$∠ A = ∠ B = ∠ C$，则此三角形是
(3)若$∠ A - ∠ B = ∠ C$，则此三角形是
(1)若$∠ A:∠ B:∠ C = 2:3:5$，则此三角形是
直角
三角形(按角分类)；(2)若$∠ A = ∠ B = ∠ C$，则此三角形是
锐角
三角形(按角分类)；(3)若$∠ A - ∠ B = ∠ C$，则此三角形是
直角
三角形(按角分类)。答案：4. (1)直角 解析:设三角形的三个内角分别为2k,3k,5k,由题意得,2k + 3k + 5k = 180°,解得k = 18°,所以5k = 5×18° = 90°,所以此三角形是直角三角形.
(2)锐角 解析:设三角形的三个内角均为k,由题意得,3k = 180°,解得k = 60°,所以该三角形三个内角均为60°,所以此三角形是锐角三角形.
(3)直角 解析:因为∠A - ∠B = ∠C,所以∠A = ∠B + ∠C,所以∠A + ∠B + ∠C = 2∠A = 180°,得∠A = 90°,所以此三角形是直角三角形.
(2)锐角 解析:设三角形的三个内角均为k,由题意得,3k = 180°,解得k = 60°,所以该三角形三个内角均为60°,所以此三角形是锐角三角形.
(3)直角 解析:因为∠A - ∠B = ∠C,所以∠A = ∠B + ∠C,所以∠A + ∠B + ∠C = 2∠A = 180°,得∠A = 90°,所以此三角形是直角三角形.
5. (1)在$△ ABC$中，$∠ A + ∠ B = 100^{\circ}$，且$∠ C - ∠ B = 60^{\circ}$，与$∠ B$相邻的外角的度数是
(2)在$△ ABC$中，$∠ A:∠ B = 2:3$，$∠ C - ∠ A = 40^{\circ}$，与$∠ A$相邻的外角的度数是
160°
；(2)在$△ ABC$中，$∠ A:∠ B = 2:3$，$∠ C - ∠ A = 40^{\circ}$，与$∠ A$相邻的外角的度数是
140°
。答案：5. (1)160° 解析:
∵∠A + ∠B + ∠C = 180°,∠A + ∠B = 100°,
∴∠C = 80°.
∵∠C - ∠B = 60°,
∴∠B = 20°,
∴与∠B相邻的外角的度数是160°.
(2)140° 解析:
∵∠C - ∠A = 40°,
∴∠C = 40° + ∠A.
∵∠A:∠B = 2:3,
∴∠B = $\frac{3}{2}$∠A.
∵∠A + ∠B + ∠C = 180°,
∴∠A + $\frac{3}{2}$∠A + 40° + ∠A = 180°,解得∠A = 40°,
∴与∠A相邻的外角的度数是140°.
∵∠A + ∠B + ∠C = 180°,∠A + ∠B = 100°,
∴∠C = 80°.
∵∠C - ∠B = 60°,
∴∠B = 20°,
∴与∠B相邻的外角的度数是160°.
(2)140° 解析:
∵∠C - ∠A = 40°,
∴∠C = 40° + ∠A.
∵∠A:∠B = 2:3,
∴∠B = $\frac{3}{2}$∠A.
∵∠A + ∠B + ∠C = 180°,
∴∠A + $\frac{3}{2}$∠A + 40° + ∠A = 180°,解得∠A = 40°,
∴与∠A相邻的外角的度数是140°.
6. (徐州中考)如图，在$△ ABC$中，若$DE// BC$，$FG// AC$，$∠ BDE = 120^{\circ}$，$∠ DFG = 115^{\circ}$，则$∠ C=\_\_\_\_\_\_^{\circ}$。
答案：6. 55 解析:
∵DE//BC,∠BDE = 120°,
∴∠B = 180° - 120° = 60°.
∵FG//AC,∠DFG = 115°,
∴∠C = ∠BGF = ∠DFG - ∠B = 115° - 60° = 55°.
∵DE//BC,∠BDE = 120°,
∴∠B = 180° - 120° = 60°.
∵FG//AC,∠DFG = 115°,
∴∠C = ∠BGF = ∠DFG - ∠B = 115° - 60° = 55°.
7. (1)(盐城中考改编)将一副三角尺按如图①所示的方式重叠，则$∠ 1$的度数为
(2)(泰州中考)如图②，将分别含有$30^{\circ}$，$45^{\circ}$角的一副三角尺重叠，使直角顶点重合，若两直角重叠形成的角为$65^{\circ}$，则图中$∠ α$的度数为
75°
；(2)(泰州中考)如图②，将分别含有$30^{\circ}$，$45^{\circ}$角的一副三角尺重叠，使直角顶点重合，若两直角重叠形成的角为$65^{\circ}$，则图中$∠ α$的度数为
140°
。答案：
7. (1)75° 解析:如图①,∠ABC = ∠ACB = 45°,∠DBC = 30°,
∴∠1 = ∠DBC + ∠ACB = 30° + 45° = 75°.
(2)140° 解析:如图②,
∵∠B = 30°,∠DCB = 65°,
∴∠DFB = ∠B + ∠DCB = 30° + 65° = 95°,
∴∠α = ∠D + ∠DFB = 45° + 95° = 140°.
7. (1)75° 解析:如图①,∠ABC = ∠ACB = 45°,∠DBC = 30°,
∴∠1 = ∠DBC + ∠ACB = 30° + 45° = 75°.
(2)140° 解析:如图②,
∵∠B = 30°,∠DCB = 65°,
∴∠DFB = ∠B + ∠DCB = 30° + 65° = 95°,
∴∠α = ∠D + ∠DFB = 45° + 95° = 140°.
8. 如图，在$△ ABC$中，$∠ ABC = 36^{\circ}$，$∠ C = 64^{\circ}$，$AD$平分$∠ BAC$，交$BC$于点$D$，$BE⊥ AC$，交$AD$，$AC$于点$H$，$E$，且$DF// BE$。求$∠ FDC$和$∠ AHB$的度数。
答案：8.
∵BE⊥AC,
∴∠BEC = 90°.
∵DF//BE,
∴∠DFC = ∠BEC = 90°.
∵∠C = 64°,
∴∠FDC = 180° - (∠DFC + ∠C)=180° - (90° + 64°)=26°.
∵∠ABC = 36°,∠C = 64°,
∴∠BAC = 180° - ∠ABC - ∠C = 180° - 36° - 64° = 80°.
∵AD平分∠BAC,
∴∠DAC = $\frac{1}{2}$∠BAC = $\frac{1}{2}$×80° = 40°.在△AHE中,∠AHE = 180° - (∠DAC + ∠BEA)=50°,
∴∠AHB = 180° - ∠AHE = 130°.
∵BE⊥AC,
∴∠BEC = 90°.
∵DF//BE,
∴∠DFC = ∠BEC = 90°.
∵∠C = 64°,
∴∠FDC = 180° - (∠DFC + ∠C)=180° - (90° + 64°)=26°.
∵∠ABC = 36°,∠C = 64°,
∴∠BAC = 180° - ∠ABC - ∠C = 180° - 36° - 64° = 80°.
∵AD平分∠BAC,
∴∠DAC = $\frac{1}{2}$∠BAC = $\frac{1}{2}$×80° = 40°.在△AHE中,∠AHE = 180° - (∠DAC + ∠BEA)=50°,
∴∠AHB = 180° - ∠AHE = 130°.