1. (2024·乐山中考)下列多边形中,内角和最小的是 (
A
)答案：1. A 解析：边数为 $ n $ 的多边形的内角和为 $ (n - 2) × 180^{\circ} $，则三角形的内角和最小，故选 A.
2. 一个多边形的边数从 $ x $ 减少到 $ x - 2(x ＞ 5 $, 且 $ x $ 为正整数), 下列说法正确的是 (
A.内角和、外角和都不变
B.内角和不变、外角和减少 $ 360^{\circ} $
C.内角和减少 $ 360^{\circ} $、外角和不变
D.内角和、外角和都减少 $ 360^{\circ} $
C
)A.内角和、外角和都不变
B.内角和不变、外角和减少 $ 360^{\circ} $
C.内角和减少 $ 360^{\circ} $、外角和不变
D.内角和、外角和都减少 $ 360^{\circ} $
答案：2. C 解析：边数为 $ x $ 的多边形的内角和为 $ (x - 2) × 180^{\circ} $，外角和为 $ 360^{\circ} $，一个多边形的边数从 $ x $ 减少到 $ x - 2(x ＞ 5 $，且 $ x $ 为正整数），则内角和减少 $ 360^{\circ} $，外角和不变，故选 C.
3. (2024·遂宁中考) 佩佩在“黄峨古镇” 研学时学习扎染技术,得到了一个内角和为 $ 1080^{\circ} $的正多边形图案,这个正多边形的每个外角为 (
A.$ 36^{\circ} $
B.$ 40^{\circ} $
C.$ 45^{\circ} $
D.$ 60^{\circ} $
C
)A.$ 36^{\circ} $
B.$ 40^{\circ} $
C.$ 45^{\circ} $
D.$ 60^{\circ} $
答案：3. C 解析：设这个正多边形的边数为 $ n $，则 $ (n - 2) × 180^{\circ} = 1080^{\circ} $，解得 $ n = 8 $，$ \therefore $ 这个正多边形的每个外角为 $ 360^{\circ} ÷ 8 = 45^{\circ} $，故选 C.
4. (1) 若一个四边形的四个内角度数的比为 $ 3:4:5:6 $, 则这个四边形的四个内角的最小角的度数为
(2) 如果 $ n $ 边形的各外角相等, 若它的一个内角与一个外角的比是 $ 3:2 $, 则 $ n = $
(3) (2025·遂宁中考改编) 已知一个凸多边形的内角和是外角和的 $ 4 $ 倍, 则该多边形的边数为
$ 60^{\circ} $
;(2) 如果 $ n $ 边形的各外角相等, 若它的一个内角与一个外角的比是 $ 3:2 $, 则 $ n = $
5
;(3) (2025·遂宁中考改编) 已知一个凸多边形的内角和是外角和的 $ 4 $ 倍, 则该多边形的边数为
10
.答案：4. (1) $ 60^{\circ} $ 解析：设四个内角度数分别是 $ 3x $，$ 4x $，$ 5x $，$ 6x $，由题意得 $ 3x + 4x + 5x + 6x = 180^{\circ} × (4 - 2) $，解得 $ x = 20^{\circ} $，$ 3x = 60^{\circ} $，$ 4x = 80^{\circ} $，$ 5x = 100^{\circ} $，$ 6x = 120^{\circ} $，所以这个四边形的四个内角的最小角的度数为 $ 60^{\circ} $.
(2) 5 解析：设外角为 $ 2x $，则其内角为 $ 3x $，$ \therefore 2x + 3x = 180^{\circ} $，解得 $ x = 36^{\circ} $，$ \therefore $ 外角为 $ 72^{\circ} $. 根据 $ n $ 边形的外角和公式，得 $ 72^{\circ}n = 360^{\circ} $，解得 $ n = 5 $.
(3) 10 解析：设这个多边形的边数为 $ n $，根据题意可得，$ (n - 2) × 180^{\circ} = 4 × 360^{\circ} $，解得 $ n = 10 $，因此该多边形的边数为 10.
(2) 5 解析：设外角为 $ 2x $，则其内角为 $ 3x $，$ \therefore 2x + 3x = 180^{\circ} $，解得 $ x = 36^{\circ} $，$ \therefore $ 外角为 $ 72^{\circ} $. 根据 $ n $ 边形的外角和公式，得 $ 72^{\circ}n = 360^{\circ} $，解得 $ n = 5 $.
(3) 10 解析：设这个多边形的边数为 $ n $，根据题意可得，$ (n - 2) × 180^{\circ} = 4 × 360^{\circ} $，解得 $ n = 10 $，因此该多边形的边数为 10.
5. 如图, 分别以 $ n $ 边形的顶点为圆心, 以 $ 2 $ 为半径画圆, 则图中阴影部分面积之和为
$ 4π $
.答案：5. $ 4π $ 解析：因为多边形的外角和为 $ 360^{\circ} $，所以阴影部分面积的和为 $ π × 2^{2} = 4π $.
解析：
因为多边形的外角和为$360°$，每个阴影部分是半径为$2$的扇形，所以阴影部分面积之和为$\frac{360°}{360°}×π×2^2 = 4π$。
$4π$
$4π$
6. (2025·济南中考) 如图, 两条直线 $ l_1, l_2 $ 分别经过正六边形 $ ABCDEF $ 的顶点 $ B, C $, 且 $ l_1 // l_2 $. 当 $ ∠ 1 = 37^{\circ} $ 时, $ ∠ 2 = \_\_\_\_\_\_^{\circ} $.
答案：
6. 97 解析：如图，正六边形内角和为 $ (6 - 2) × 180^{\circ} = 720^{\circ} $，$ \therefore ∠ ABC = \frac{1}{6} × 720^{\circ} = 120^{\circ} $. $ \because ∠ 1 = 37^{\circ} $，$ \therefore ∠ 3 = ∠ ABC - ∠ 1 = 120^{\circ} - 37^{\circ} = 83^{\circ} $. $ \because l_{1} // l_{2} $，$ \therefore ∠ 3 + ∠ 2 = 180^{\circ} $，$ \therefore ∠ 2 = 180^{\circ} - ∠ 3 = 97^{\circ} $.
6. 97 解析：如图，正六边形内角和为 $ (6 - 2) × 180^{\circ} = 720^{\circ} $，$ \therefore ∠ ABC = \frac{1}{6} × 720^{\circ} = 120^{\circ} $. $ \because ∠ 1 = 37^{\circ} $，$ \therefore ∠ 3 = ∠ ABC - ∠ 1 = 120^{\circ} - 37^{\circ} = 83^{\circ} $. $ \because l_{1} // l_{2} $，$ \therefore ∠ 3 + ∠ 2 = 180^{\circ} $，$ \therefore ∠ 2 = 180^{\circ} - ∠ 3 = 97^{\circ} $.
7. (2025·自贡中考改编) 如图, 正六边形与正方形的两邻边相交, 则 $ α + β = \_\_\_\_\_\_^{\circ} $.
答案：
7. 150 解析：如图，$ \because $ 正六边形与正方形的两邻边相交，$ \therefore ∠ A = 90^{\circ} $，$ ∠ B = 180^{\circ} - \frac{360^{\circ}}{6} = 120^{\circ} $. $ \because ∠ 1 + ∠ 2 + ∠ A + ∠ B = 360^{\circ} $，$ ∠ 1 = α $，$ ∠ 2 = β $，$ \therefore ∠ 1 + ∠ 2 = 360^{\circ} - 90^{\circ} - 120^{\circ} = 150^{\circ} $，$ \therefore α + β = ∠ 1 + ∠ 2 = 150^{\circ} $.
7. 150 解析：如图，$ \because $ 正六边形与正方形的两邻边相交，$ \therefore ∠ A = 90^{\circ} $，$ ∠ B = 180^{\circ} - \frac{360^{\circ}}{6} = 120^{\circ} $. $ \because ∠ 1 + ∠ 2 + ∠ A + ∠ B = 360^{\circ} $，$ ∠ 1 = α $，$ ∠ 2 = β $，$ \therefore ∠ 1 + ∠ 2 = 360^{\circ} - 90^{\circ} - 120^{\circ} = 150^{\circ} $，$ \therefore α + β = ∠ 1 + ∠ 2 = 150^{\circ} $.
8. (1) 若两个多边形的边数之比为 $ 2:3 $, 两个多边形的内角和之和为 $ 1080^{\circ} $, 求这两个多边形的边数;
(2) 小明在求一个多边形的内角和时, 由于疏忽, 把一个内角加了两遍, 而求出的结果为 $ 2004^{\circ} $, 请问这个内角是多少度? 这个多边形是几边形?
(2) 小明在求一个多边形的内角和时, 由于疏忽, 把一个内角加了两遍, 而求出的结果为 $ 2004^{\circ} $, 请问这个内角是多少度? 这个多边形是几边形?
答案：8. (1) 设边数较少的多边形的边数为 $ 2n $，边数较多的多边形的边数为 $ 3n $，则 $ (2n - 2) · 180^{\circ} + (3n - 2) · 180^{\circ} = 1080^{\circ} $，解得 $ n = 2 $，$ 2n = 4 $，$ 3n = 6 $. 故这两个多边形的边数分别为 4，6.
(2) 设这个多边形的边数是 $ n $. 由题意得 $ (n - 2) · 180^{\circ} ＜ 2004^{\circ} $，解得 $ n ＜ 13 \frac{2}{15} $，所以该多边形的边数是 13，该多边形为十三边形. 该多边形的内角和为 $ (13 - 2) × 180^{\circ} = 1980^{\circ} $，$ 2004^{\circ} - 1980^{\circ} = 24^{\circ} $. 故多加的内角是 $ 24^{\circ} $，该多边形为十三边形.
(2) 设这个多边形的边数是 $ n $. 由题意得 $ (n - 2) · 180^{\circ} ＜ 2004^{\circ} $，解得 $ n ＜ 13 \frac{2}{15} $，所以该多边形的边数是 13，该多边形为十三边形. 该多边形的内角和为 $ (13 - 2) × 180^{\circ} = 1980^{\circ} $，$ 2004^{\circ} - 1980^{\circ} = 24^{\circ} $. 故多加的内角是 $ 24^{\circ} $，该多边形为十三边形.