9. (2025·毕节期末) 如图, 小明从点 $ A $ 出发, 前进 $ 10 \mathrm{~m} $ 后向右转 $ 30^{\circ} $, 再前进 $ 10 \mathrm{~m} $ 后又向右转 $ 30^{\circ}, ··· $, 如此反复下去, 直到他第一次回到出发点 $ A $, 他所走的路径构成了一个正多边形.
(1) 求小明一共走了多少米;
(2) 求这个正多边形的内角和.
(1) 求小明一共走了多少米;
(2) 求这个正多边形的内角和.
答案：9. (1) $ \because $ 所经过的路线正好构成一个外角是 $ 30^{\circ} $ 的正多边形，$ \therefore $ 正多边形的边数为 $ 360^{\circ} ÷ 30^{\circ} = 12 $，小明一共走了 $ 12 × 10 = 120(m) $.
(2) 根据题意得这个多边形的内角和是 $ (12 - 2) × 180^{\circ} = 1800^{\circ} $.
(2) 根据题意得这个多边形的内角和是 $ (12 - 2) × 180^{\circ} = 1800^{\circ} $.
10. (2025·淮安期末) 如图, 在五边形 $ ABCDE $ 中, $ AB // CD, ∠ 1, ∠ 2, ∠ 3 $ 分别是 $ ∠ BAE $, $ ∠ AED, ∠ EDC $ 的外角, 则 $ ∠ 1 + ∠ 2 + ∠ 3 $ 等于 (
A.$ 180^{\circ} $
B.$ 90^{\circ} $
C.$ 210^{\circ} $
D.$ 270^{\circ} $
A
)A.$ 180^{\circ} $
B.$ 90^{\circ} $
C.$ 210^{\circ} $
D.$ 270^{\circ} $
答案：
10. A 解析：如图，因为 $ AB // CD $，所以 $ ∠ 4 + ∠ 5 = 180^{\circ} $，根据多边形的外角和定理，得 $ ∠ 1 + ∠ 2 + ∠ 3 + ∠ 4 + ∠ 5 = 360^{\circ} $，所以 $ ∠ 1 + ∠ 2 + ∠ 3 = 360^{\circ} - 180^{\circ} = 180^{\circ} $. 故选 A.
10. A 解析：如图，因为 $ AB // CD $，所以 $ ∠ 4 + ∠ 5 = 180^{\circ} $，根据多边形的外角和定理，得 $ ∠ 1 + ∠ 2 + ∠ 3 + ∠ 4 + ∠ 5 = 360^{\circ} $，所以 $ ∠ 1 + ∠ 2 + ∠ 3 = 360^{\circ} - 180^{\circ} = 180^{\circ} $. 故选 A.
11. 如图, 将四边形纸片 $ ABCD $ 沿 $ MN $ 折叠, 若 $ ∠ 1 + ∠ 2 = 130^{\circ} $, 则 $ ∠ B + ∠ C = $ (
A.$ 115^{\circ} $
B.$ 130^{\circ} $
C.$ 135^{\circ} $
D.$ 150^{\circ} $
A
)A.$ 115^{\circ} $
B.$ 130^{\circ} $
C.$ 135^{\circ} $
D.$ 150^{\circ} $
答案：11. A 解析：因为 $ ∠ 1 + ∠ 2 = 130^{\circ} $，所以 $ ∠ AMN + ∠ DNM = \frac{360^{\circ} - 130^{\circ}}{2} = 115^{\circ} $. 因为 $ ∠ A + ∠ D + (∠ AMN + ∠ DNM) = 360^{\circ} $，$ ∠ A + ∠ D + (∠ B + ∠ C) = 360^{\circ} $，所以 $ ∠ B + ∠ C = ∠ AMN + ∠ DNM = 115^{\circ} $. 故选 A.
12. (2024·威海中考) 如图, 在正六边形 $ ABCDEF $ 中, $ AH // FG, BI ⊥ AH $, 垂足为点 $ I $. 若 $ ∠ EFG = 20^{\circ} $, 则 $ ∠ ABI = $
$ 50^{\circ} $
.答案：12. $ 50^{\circ} $ 解析：$ \because $ 正六边形的内角和 $ = (6 - 2) × 180^{\circ} = 720^{\circ} $，每个内角为 $ 720^{\circ} ÷ 6 = 120^{\circ} $，$ \therefore ∠ EFA = ∠ FAB = 120^{\circ} $. $ \because ∠ EFG = 20^{\circ} $，$ \therefore ∠ GFA = 120^{\circ} - 20^{\circ} = 100^{\circ} $. $ \because AH // FG $，$ \therefore ∠ FAH + ∠ GFA = 180^{\circ} $，$ \therefore ∠ FAH = 180^{\circ} - ∠ GFA = 180^{\circ} - 100^{\circ} = 80^{\circ} $，$ \therefore ∠ HAB = ∠ FAB - ∠ FAH = 120^{\circ} - 80^{\circ} = 40^{\circ} $. $ \because BI ⊥ AH $，$ \therefore ∠ BIA = 90^{\circ} $，$ \therefore ∠ ABI = 90^{\circ} - 40^{\circ} = 50^{\circ} $.
13. (2024·赤峰中考改编) 如图是正 $ n $ 边形纸片的一部分, 其中 $ l, m $ 是正 $ n $ 边形两条边的一部分, 若 $ l, m $ 所在的直线相交形成的锐角为 $ 60^{\circ} $, 则 $ n $ 的值是
6
.答案：
13. 6 解析：如图，直线 $ l $，$ m $ 相交于点 $ A $，则 $ ∠ A = 60^{\circ} $. $ \because $ 正多边形的每个内角相等，$ \therefore $ 正多边形的每个外角也相等，$ \therefore ∠ 1 = ∠ 2 = \frac{180^{\circ} - 60^{\circ}}{2} = 60^{\circ} $，$ \therefore n = \frac{360^{\circ}}{60^{\circ}} = 6 $.
13. 6 解析：如图，直线 $ l $，$ m $ 相交于点 $ A $，则 $ ∠ A = 60^{\circ} $. $ \because $ 正多边形的每个内角相等，$ \therefore $ 正多边形的每个外角也相等，$ \therefore ∠ 1 = ∠ 2 = \frac{180^{\circ} - 60^{\circ}}{2} = 60^{\circ} $，$ \therefore n = \frac{360^{\circ}}{60^{\circ}} = 6 $.
14. 如图, 正 $ n $ 边形 $ A_1A_2A_3··· A_n $ (每条边相等, 每个内角都相等) 坚立于地面, 一边与地面重合, 一束太阳光平行照射在正 $ n $ 边形上, 若 $ ∠ 1 - ∠ 2 = 36^{\circ} $, 则 $ n = $
5
.答案：
14. 5 解析：如图，过 $ A_{2} $ 作 $ A_{2}B // A_{1}A_{n} $，则 $ ∠ 4 = ∠ 3 $，$ ∠ CA_{2}B = ∠ 1 $. 因为 $ ∠ 1 - ∠ 2 = 36^{\circ} $，所以 $ ∠ A_{3}A_{2}B = 36^{\circ} $. 设正多边形的内角为 $ x $，则 $ ∠ 4 = 180^{\circ} - x $，因为 $ x = 36^{\circ} + ∠ 3 $，所以 $ ∠ 3 = x - 36^{\circ} $. 所以 $ 180^{\circ} - x = x - 36^{\circ} $，解得 $ x = 108^{\circ} $，所以 $ ∠ 4 = 72^{\circ} $. 所以这个正多边形的边数为 $ 360^{\circ} ÷ 72^{\circ} = 5 $.
14. 5 解析：如图，过 $ A_{2} $ 作 $ A_{2}B // A_{1}A_{n} $，则 $ ∠ 4 = ∠ 3 $，$ ∠ CA_{2}B = ∠ 1 $. 因为 $ ∠ 1 - ∠ 2 = 36^{\circ} $，所以 $ ∠ A_{3}A_{2}B = 36^{\circ} $. 设正多边形的内角为 $ x $，则 $ ∠ 4 = 180^{\circ} - x $，因为 $ x = 36^{\circ} + ∠ 3 $，所以 $ ∠ 3 = x - 36^{\circ} $. 所以 $ 180^{\circ} - x = x - 36^{\circ} $，解得 $ x = 108^{\circ} $，所以 $ ∠ 4 = 72^{\circ} $. 所以这个正多边形的边数为 $ 360^{\circ} ÷ 72^{\circ} = 5 $.
15. 一题多变 (1) 如图, 一张多边形纸片按如图所示的剪法剪去一个内角后, 内角和将增加
(2) 如果一个正方形被截掉一个角后, 得到一个多边形, 那么这个多边形的内角和是
(3) 一个多边形切去一个角后, 形成的另一个多边形的内角和为 $ 1080^{\circ} $, 那么原多边形的边数为
180
$^{\circ} $, 若得到一个内角和为 $ 2340^{\circ} $ 的新多边形, 则原多边形的边数为14
;(2) 如果一个正方形被截掉一个角后, 得到一个多边形, 那么这个多边形的内角和是
$ 540^{\circ} $ 或 $ 360^{\circ} $ 或 $ 180^{\circ} $
;(3) 一个多边形切去一个角后, 形成的另一个多边形的内角和为 $ 1080^{\circ} $, 那么原多边形的边数为
7 或 8 或 9
.答案：15. (1) 180 14 解析：按如题图所示的剪法剪去一个内角相当于多边形增加一条边，故内角和将增加 $ 180^{\circ} $；当内角和为 $ 2340^{\circ} $ 时，可得边数 $ n $ 满足 $ (n - 2) · 180^{\circ} = 2340^{\circ} $，解得 $ n = 15 $，所以剪去一个内角之前多边形的边数应为 14.
(2) $ 540^{\circ} $ 或 $ 360^{\circ} $ 或 $ 180^{\circ} $ 解析：剪掉一个多边形的一个角，则所得新的多边形的边数可能增加 1，也可能不变，也可能减少 1，正方形的内角和是 $ (4 - 2) × 180^{\circ} $，所得新的多边形的边数增加 1 时，新的多边形的内角和是 $ (4 + 1 - 2) × 180^{\circ} = 540^{\circ} $；所得新的多边形的边数不变时，新的多边形的内角和是 $ (4 - 2) × 180^{\circ} = 360^{\circ} $；所得新的多边形的边数减少 1 时，则新的多边形的内角和是 $ (4 - 1 - 2) × 180^{\circ} = 180^{\circ} $. 因而新多边形的内角和是 $ 540^{\circ} $ 或 $ 360^{\circ} $ 或 $ 180^{\circ} $.
(3) 7 或 8 或 9 解析：设内角和为 $ 1080^{\circ} $ 的多边形的边数是 $ n $，则 $ (n - 2) × 180^{\circ} = 1080^{\circ} $，解得 $ n = 8 $. 则原多边形的边数为 7 或 8 或 9.
(2) $ 540^{\circ} $ 或 $ 360^{\circ} $ 或 $ 180^{\circ} $ 解析：剪掉一个多边形的一个角，则所得新的多边形的边数可能增加 1，也可能不变，也可能减少 1，正方形的内角和是 $ (4 - 2) × 180^{\circ} $，所得新的多边形的边数增加 1 时，新的多边形的内角和是 $ (4 + 1 - 2) × 180^{\circ} = 540^{\circ} $；所得新的多边形的边数不变时，新的多边形的内角和是 $ (4 - 2) × 180^{\circ} = 360^{\circ} $；所得新的多边形的边数减少 1 时，则新的多边形的内角和是 $ (4 - 1 - 2) × 180^{\circ} = 180^{\circ} $. 因而新多边形的内角和是 $ 540^{\circ} $ 或 $ 360^{\circ} $ 或 $ 180^{\circ} $.
(3) 7 或 8 或 9 解析：设内角和为 $ 1080^{\circ} $ 的多边形的边数是 $ n $，则 $ (n - 2) × 180^{\circ} = 1080^{\circ} $，解得 $ n = 8 $. 则原多边形的边数为 7 或 8 或 9.
16. 如图所示, $ ∠ A + ∠ B + ∠ C + ∠ D + ∠ E + ∠ F $ 的度数为
360
$^{\circ} $.答案：16. 360 解析：设 $ AE $ 和 $ CF $ 交于点 $ N $，$ BD $ 和 $ CF $ 交于点 $ M $，因为 $ ∠ A + ∠ C = 180^{\circ} - ∠ ANC = ∠ ENM $，$ ∠ B + ∠ F = 180^{\circ} - ∠ FMB = ∠ DMN $ 且 $ ∠ ENM + ∠ DMN + ∠ D + ∠ E = 360^{\circ} $，所以 $ ∠ A + ∠ C + ∠ B + ∠ F + ∠ D + ∠ E = 360^{\circ} $，即 $ ∠ A + ∠ B + ∠ C + ∠ D + ∠ E + ∠ F = 360^{\circ} $.
解析：
解：设 $ AE $ 和 $ CF $ 交于点 $ N $，$ BD $ 和 $ CF $ 交于点 $ M $。
因为 $ ∠ A + ∠ C = 180° - ∠ ANC = ∠ ENM $，$ ∠ B + ∠ F = 180° - ∠ FMB = ∠ DMN $，
且四边形 $ DMNE $ 的内角和为 $ 360° $，即 $ ∠ ENM + ∠ DMN + ∠ D + ∠ E = 360° $，
所以 $ ∠ A + ∠ B + ∠ C + ∠ D + ∠ E + ∠ F = 360° $。
360
因为 $ ∠ A + ∠ C = 180° - ∠ ANC = ∠ ENM $，$ ∠ B + ∠ F = 180° - ∠ FMB = ∠ DMN $，
且四边形 $ DMNE $ 的内角和为 $ 360° $，即 $ ∠ ENM + ∠ DMN + ∠ D + ∠ E = 360° $，
所以 $ ∠ A + ∠ B + ∠ C + ∠ D + ∠ E + ∠ F = 360° $。
360