17. (1) 如图①, $ ∠ DAB $ 是 $ △ ABC $ 的一个外角, 试探究 $ ∠ DAB, ∠ B $ 与 $ ∠ C $ 之间的数量关系, 并说明理由.
(2) 如图②, 试探究 $ ∠ 1, ∠ 2 $ 与 $ ∠ 3, ∠ 4 $ 之间的数量关系, 并说明理由.
(3) 请你用文字语言描述 (1) (2) 中的关系.
(4) 用你发现的结论解决下列问题:
①如图③, $ AE, DE $ 分别平分四边形 $ ABCD $ 的外角 $ ∠ NAD, ∠ MDA, ∠ B + ∠ C = 240^{\circ} $, 求 $ ∠ E $ 的度数;
②如图④, $ CE $ 是 $ △ ABC $ 的外角 $ ∠ ACD $ 的平分线, 且 $ CE $ 交 $ BA $ 的延长线于点 $ E $. 试说明 $ ∠ BAC = ∠ B + 2 ∠ E $.
(2) 如图②, 试探究 $ ∠ 1, ∠ 2 $ 与 $ ∠ 3, ∠ 4 $ 之间的数量关系, 并说明理由.
(3) 请你用文字语言描述 (1) (2) 中的关系.
(4) 用你发现的结论解决下列问题:
①如图③, $ AE, DE $ 分别平分四边形 $ ABCD $ 的外角 $ ∠ NAD, ∠ MDA, ∠ B + ∠ C = 240^{\circ} $, 求 $ ∠ E $ 的度数;
②如图④, $ CE $ 是 $ △ ABC $ 的外角 $ ∠ ACD $ 的平分线, 且 $ CE $ 交 $ BA $ 的延长线于点 $ E $. 试说明 $ ∠ BAC = ∠ B + 2 ∠ E $.
答案：17. (1) $ ∠ DAB = ∠ B + ∠ C $，理由如下：
解法一：因为 $ ∠ BAC + ∠ B + ∠ C = 180^{\circ} $，$ ∠ BAC + ∠ DAB = 180^{\circ} $，所以 $ ∠ BAC + ∠ B + ∠ C = ∠ BAC + ∠ DAB $，所以 $ ∠ DAB = ∠ B + ∠ C $.
解法二：过点 $ A $ 作 $ AE // BC $（点 $ E $ 在点 $ A $ 的左侧），所以 $ ∠ DAE = ∠ C $，$ ∠ EAB = ∠ B $. 因为 $ ∠ DAB = ∠ EAB + ∠ DAE $，所以 $ ∠ DAB = ∠ B + ∠ C $.
(2) $ ∠ 1 + ∠ 2 = ∠ 3 + ∠ 4 $，理由如下：因为 $ ∠ 3 $，$ ∠ 4 $，$ ∠ 5 $，$ ∠ 6 $ 是四边形的四个内角，所以 $ ∠ 3 + ∠ 4 + ∠ 5 + ∠ 6 = 360^{\circ} $，所以 $ ∠ 3 + ∠ 4 = 360^{\circ} - (∠ 5 + ∠ 6) $. 因为 $ ∠ 1 + ∠ 5 = 180^{\circ} $，$ ∠ 2 + ∠ 6 = 180^{\circ} $，所以 $ ∠ 1 + ∠ 2 = 360^{\circ} - (∠ 5 + ∠ 6) $，所以 $ ∠ 1 + ∠ 2 = ∠ 3 + ∠ 4 $.
(3) 三角形的一个外角等于与其不相邻的两个内角之和；四边形的任意两个外角的和等于与它们不相邻的两个内角的和.
(4) ① 因为 $ ∠ B + ∠ C = 240^{\circ} $，所以 $ ∠ MDA + ∠ NAD = 240^{\circ} $. 因为 $ AE $，$ DE $ 分别是 $ ∠ NAD $，$ ∠ MDA $ 的平分线，所以 $ ∠ ADE = \frac{1}{2} ∠ MDA $，$ ∠ DAE = \frac{1}{2} ∠ NAD $，所以 $ ∠ ADE + ∠ DAE = \frac{1}{2} (∠ MDA + ∠ NAD) = \frac{1}{2} × 240^{\circ} = 120^{\circ} $，所以 $ ∠ E = 180^{\circ} - (∠ ADE + ∠ DAE) = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ} $.
② 因为 $ CE $ 平分 $ ∠ ACD $，所以 $ ∠ ACE = ∠ DCE $. 因为 $ ∠ DCE = ∠ B + ∠ E $，所以 $ ∠ ACE = ∠ B + ∠ E $. 因为 $ ∠ BAC = ∠ ACE + ∠ E $，所以 $ ∠ BAC = ∠ B + ∠ E + ∠ E = ∠ B + 2 ∠ E $.
解法一：因为 $ ∠ BAC + ∠ B + ∠ C = 180^{\circ} $，$ ∠ BAC + ∠ DAB = 180^{\circ} $，所以 $ ∠ BAC + ∠ B + ∠ C = ∠ BAC + ∠ DAB $，所以 $ ∠ DAB = ∠ B + ∠ C $.
解法二：过点 $ A $ 作 $ AE // BC $（点 $ E $ 在点 $ A $ 的左侧），所以 $ ∠ DAE = ∠ C $，$ ∠ EAB = ∠ B $. 因为 $ ∠ DAB = ∠ EAB + ∠ DAE $，所以 $ ∠ DAB = ∠ B + ∠ C $.
(2) $ ∠ 1 + ∠ 2 = ∠ 3 + ∠ 4 $，理由如下：因为 $ ∠ 3 $，$ ∠ 4 $，$ ∠ 5 $，$ ∠ 6 $ 是四边形的四个内角，所以 $ ∠ 3 + ∠ 4 + ∠ 5 + ∠ 6 = 360^{\circ} $，所以 $ ∠ 3 + ∠ 4 = 360^{\circ} - (∠ 5 + ∠ 6) $. 因为 $ ∠ 1 + ∠ 5 = 180^{\circ} $，$ ∠ 2 + ∠ 6 = 180^{\circ} $，所以 $ ∠ 1 + ∠ 2 = 360^{\circ} - (∠ 5 + ∠ 6) $，所以 $ ∠ 1 + ∠ 2 = ∠ 3 + ∠ 4 $.
(3) 三角形的一个外角等于与其不相邻的两个内角之和；四边形的任意两个外角的和等于与它们不相邻的两个内角的和.
(4) ① 因为 $ ∠ B + ∠ C = 240^{\circ} $，所以 $ ∠ MDA + ∠ NAD = 240^{\circ} $. 因为 $ AE $，$ DE $ 分别是 $ ∠ NAD $，$ ∠ MDA $ 的平分线，所以 $ ∠ ADE = \frac{1}{2} ∠ MDA $，$ ∠ DAE = \frac{1}{2} ∠ NAD $，所以 $ ∠ ADE + ∠ DAE = \frac{1}{2} (∠ MDA + ∠ NAD) = \frac{1}{2} × 240^{\circ} = 120^{\circ} $，所以 $ ∠ E = 180^{\circ} - (∠ ADE + ∠ DAE) = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ} $.
② 因为 $ CE $ 平分 $ ∠ ACD $，所以 $ ∠ ACE = ∠ DCE $. 因为 $ ∠ DCE = ∠ B + ∠ E $，所以 $ ∠ ACE = ∠ B + ∠ E $. 因为 $ ∠ BAC = ∠ ACE + ∠ E $，所以 $ ∠ BAC = ∠ B + ∠ E + ∠ E = ∠ B + 2 ∠ E $.
18. 新题型 新定义 (1) 如图①, 在四边形 $ ABCD $ 中, 延长 $ BA, CD $ 交于点 $ E $, 延长 $ AD, BC $ 交于点 $ F $. 当 $ ∠ E = ∠ F = α $ 时, 我们就称四边形 $ ABCD $ 是“完美四边形”. 已知在“完美四边形” $ ABCD $ 中, $ ∠ B = 80^{\circ} $.
①若 $ α = 30^{\circ} $, 则 $ ∠ ADC = \_\_\_\_\_\_^{\circ} $;
②若 $ 10^{\circ} ≤ α ≤ 35^{\circ} $, 则 $ ∠ ADC $ 的取值范围是
(2) 在五边形中, 延长任意不相邻的两边 (如图②), 在相交得到的角中, 如果有四个角相等, 我们就称这个五边形是“完美五边形”. 如图③, 在五边形 $ ABCDE $ 中, $ ∠ BCD = 100^{\circ}, AB // CD $, 该五边形是否为“完美五边形”? 请说明你的理由.
①若 $ α = 30^{\circ} $, 则 $ ∠ ADC = \_\_\_\_\_\_^{\circ} $;
②若 $ 10^{\circ} ≤ α ≤ 35^{\circ} $, 则 $ ∠ ADC $ 的取值范围是
$ 100^{\circ} ≤ ∠ ADC ≤ 150^{\circ} $
.(2) 在五边形中, 延长任意不相邻的两边 (如图②), 在相交得到的角中, 如果有四个角相等, 我们就称这个五边形是“完美五边形”. 如图③, 在五边形 $ ABCDE $ 中, $ ∠ BCD = 100^{\circ}, AB // CD $, 该五边形是否为“完美五边形”? 请说明你的理由.
答案：
18. (1) ① 140 解析：$ \because ∠ B = 80^{\circ} $，$ ∠ E = ∠ F = α = 30^{\circ} $，$ \therefore ∠ BAF = 180^{\circ} - ∠ B - ∠ F = 70^{\circ} $，$ ∠ BCE = 180^{\circ} - ∠ E - ∠ B = 70^{\circ} $，$ \therefore ∠ ADC = 360^{\circ} - ∠ B - ∠ BCE - ∠ BAF = 140^{\circ} $.
② $ 100^{\circ} ≤ ∠ ADC ≤ 150^{\circ} $ 解析：$ \because ∠ B = 80^{\circ} $，$ ∠ E = ∠ F = α $，$ \therefore ∠ BAF = 180^{\circ} - ∠ B - ∠ F = 100^{\circ} - α $，$ ∠ BCE = 180^{\circ} - ∠ E - ∠ B = 100^{\circ} - α $，$ \therefore ∠ ADC = 360^{\circ} - ∠ B - ∠ BCE - ∠ BAF = 80^{\circ} + 2α $. $ \because 10^{\circ} ≤ α ≤ 35^{\circ} $，$ \therefore 100^{\circ} ≤ ∠ ADC ≤ 150^{\circ} $.
(2) 五边形 $ ABCDE $ 不是“完美五边形”. 理由如下：
延长 $ CB $，$ EA $ 交于点 $ F $，延长 $ BA $，$ DE $ 交于点 $ G $，延长 $ CD $，$ AE $ 交于点 $ H $，延长 $ BC $，$ ED $ 交于点 $ K $，如图所示.
因为 $ AB // CD $，所以延长五边形 $ ABCDE $ 任意不相邻的两边，只能得出 4 个角.
假设五边形 $ ABCDE $ 为“完美五边形”，
则有 $ ∠ F = ∠ G = ∠ H = ∠ K $，所以 $ ∠ F + ∠ H = ∠ G + ∠ K $.
因为 $ ∠ BCD = 100^{\circ} $，$ AB // CD $，
所以 $ ∠ GBK = 180^{\circ} - ∠ BCD = 80^{\circ} $.
且在 $ △ FCH $ 中，$ ∠ F + ∠ H = 180^{\circ} - 100^{\circ} = 80^{\circ} $.
因为在 $ △ BGK $ 中，$ ∠ G + ∠ K = 180^{\circ} - 80^{\circ} = 100^{\circ} $，
所以 $ ∠ F + ∠ H ≠ ∠ G + ∠ K $，这与 $ ∠ F + ∠ H = ∠ G + ∠ K $ 矛盾.
所以 $ ∠ F $，$ ∠ H $，$ ∠ G $，$ ∠ K $ 不可能都相等，假设不成立.
所以五边形 $ ABCDE $ 不是“完美五边形”.
18. (1) ① 140 解析：$ \because ∠ B = 80^{\circ} $，$ ∠ E = ∠ F = α = 30^{\circ} $，$ \therefore ∠ BAF = 180^{\circ} - ∠ B - ∠ F = 70^{\circ} $，$ ∠ BCE = 180^{\circ} - ∠ E - ∠ B = 70^{\circ} $，$ \therefore ∠ ADC = 360^{\circ} - ∠ B - ∠ BCE - ∠ BAF = 140^{\circ} $.
② $ 100^{\circ} ≤ ∠ ADC ≤ 150^{\circ} $ 解析：$ \because ∠ B = 80^{\circ} $，$ ∠ E = ∠ F = α $，$ \therefore ∠ BAF = 180^{\circ} - ∠ B - ∠ F = 100^{\circ} - α $，$ ∠ BCE = 180^{\circ} - ∠ E - ∠ B = 100^{\circ} - α $，$ \therefore ∠ ADC = 360^{\circ} - ∠ B - ∠ BCE - ∠ BAF = 80^{\circ} + 2α $. $ \because 10^{\circ} ≤ α ≤ 35^{\circ} $，$ \therefore 100^{\circ} ≤ ∠ ADC ≤ 150^{\circ} $.
(2) 五边形 $ ABCDE $ 不是“完美五边形”. 理由如下：
延长 $ CB $，$ EA $ 交于点 $ F $，延长 $ BA $，$ DE $ 交于点 $ G $，延长 $ CD $，$ AE $ 交于点 $ H $，延长 $ BC $，$ ED $ 交于点 $ K $，如图所示.
因为 $ AB // CD $，所以延长五边形 $ ABCDE $ 任意不相邻的两边，只能得出 4 个角.
假设五边形 $ ABCDE $ 为“完美五边形”，
则有 $ ∠ F = ∠ G = ∠ H = ∠ K $，所以 $ ∠ F + ∠ H = ∠ G + ∠ K $.
因为 $ ∠ BCD = 100^{\circ} $，$ AB // CD $，
所以 $ ∠ GBK = 180^{\circ} - ∠ BCD = 80^{\circ} $.
且在 $ △ FCH $ 中，$ ∠ F + ∠ H = 180^{\circ} - 100^{\circ} = 80^{\circ} $.
因为在 $ △ BGK $ 中，$ ∠ G + ∠ K = 180^{\circ} - 80^{\circ} = 100^{\circ} $，
所以 $ ∠ F + ∠ H ≠ ∠ G + ∠ K $，这与 $ ∠ F + ∠ H = ∠ G + ∠ K $ 矛盾.
所以 $ ∠ F $，$ ∠ H $，$ ∠ G $，$ ∠ K $ 不可能都相等，假设不成立.
所以五边形 $ ABCDE $ 不是“完美五边形”.