1. (2025·石家庄期末)如图①,直线$l$与$△ ABC$的边$AC$,$AB$分别相交于点$D$,$E$(都不与点$A$重合).
(1)若$∠A = 64^{\circ}$,
①$∠1 + ∠2$的度数为
②如图②,直线$m$与边$AB$,$AC$相交得到$∠3$和$∠4$,则$∠3 + ∠4$的度数为
(2)如图③,在四边形$BCDE$中,点$M$,$N$分别是线段$DC$,$BE$上的点,$NG$,$MG$分别平分$∠BNM$和$∠CMN$,直接写出$∠NGM$与$∠E$,$∠D$的关系.
(1)若$∠A = 64^{\circ}$,
①$∠1 + ∠2$的度数为
244
$^{\circ}$;②如图②,直线$m$与边$AB$,$AC$相交得到$∠3$和$∠4$,则$∠3 + ∠4$的度数为
244
$^{\circ}$.(2)如图③,在四边形$BCDE$中,点$M$,$N$分别是线段$DC$,$BE$上的点,$NG$,$MG$分别平分$∠BNM$和$∠CMN$,直接写出$∠NGM$与$∠E$,$∠D$的关系.
答案：1.(1)①244 解析:
∵∠1=∠A+∠ADE,∠2=∠A+∠AED,
∴∠1+∠2=∠A+∠ADE+∠A+∠AED.
∵∠A+∠ADE+∠AED=180°,∠A=64°,
∴∠1+∠2=∠A+180°=64°+180°=244°.
②244 解析:由①中思路可得∠3+∠4=∠1+∠2=244°.
(2)2∠NGM+∠E+∠D=360°. 解析:延长BE,CD后由(1)中思路可得∠BNM+∠CMN=∠BED+∠CDE.
∵NG,MG分别平分∠BNM和∠CMN,
∴∠BNG=∠MNG=$\frac{1}{2}$∠BNM,∠CMG=∠NMG=$\frac{1}{2}$∠CMN,
∴∠NGM=180°−(∠MNG+∠NMG)=180°−$\frac{1}{2}$(∠BNM+∠CMN)=180°−$\frac{1}{2}$(∠BED+∠CDE),
∴2∠NGM+∠BED+∠CDE=360°.
∵∠1=∠A+∠ADE,∠2=∠A+∠AED,
∴∠1+∠2=∠A+∠ADE+∠A+∠AED.
∵∠A+∠ADE+∠AED=180°,∠A=64°,
∴∠1+∠2=∠A+180°=64°+180°=244°.
②244 解析:由①中思路可得∠3+∠4=∠1+∠2=244°.
(2)2∠NGM+∠E+∠D=360°. 解析:延长BE,CD后由(1)中思路可得∠BNM+∠CMN=∠BED+∠CDE.
∵NG,MG分别平分∠BNM和∠CMN,
∴∠BNG=∠MNG=$\frac{1}{2}$∠BNM,∠CMG=∠NMG=$\frac{1}{2}$∠CMN,
∴∠NGM=180°−(∠MNG+∠NMG)=180°−$\frac{1}{2}$(∠BNM+∠CMN)=180°−$\frac{1}{2}$(∠BED+∠CDE),
∴2∠NGM+∠BED+∠CDE=360°.
2. 如图①,已知线段$AB$,$CD$相交于点$O$,连接$AC$,$BD$,我们把形如这样的图形称为“8 字型”.
(1)求证:$∠A + ∠C = ∠B + ∠D$;
(2)如图②,若$∠CAB$和$∠BDC$的平分线$AP$,$DP$相交于点$P$,且与$CD$,$AB$分别相交于点$M$,$N$.
①以线段$AC$为边的“8 字型”有
②若$∠B = 100^{\circ}$,$∠C = 120^{\circ}$,则$∠P$的度数为
③若角平分线中角的关系改为$∠CAP = \frac{1}{3}∠CAB$,$∠CDP = \frac{1}{3}∠CDB$,试探究$∠P$与$∠B$,$∠C$之间存在的数量关系,并说明理由.
(1)求证:$∠A + ∠C = ∠B + ∠D$;
(2)如图②,若$∠CAB$和$∠BDC$的平分线$AP$,$DP$相交于点$P$,且与$CD$,$AB$分别相交于点$M$,$N$.
①以线段$AC$为边的“8 字型”有
3
个,以点$O$为交点的“8 字型”有4
个;②若$∠B = 100^{\circ}$,$∠C = 120^{\circ}$,则$∠P$的度数为
110°
;③若角平分线中角的关系改为$∠CAP = \frac{1}{3}∠CAB$,$∠CDP = \frac{1}{3}∠CDB$,试探究$∠P$与$∠B$,$∠C$之间存在的数量关系,并说明理由.
答案：2.(1)
∵∠A+∠C=180°−∠AOC,∠B+∠D=180°−∠BOD,∠AOC=∠BOD,
∴∠A+∠C=∠B+∠D.
(2)①3 4 解析:以线段AC为边的“8字型”有:以△ACM和△MDP共点M组成的图形;以△AOC和△DON共点O组成的图形;以△AOC和△BOD共点O组成的图形,共有3个;以点O为交点的“8字型”有:以△AOC和△DON共点O组成的图形;以△AOC和△BOD共点O组成的图形;以△AOM和△BOD共点O组成的图形;以△AOM和△DON共点O组成的图形，共有4个.
②110° 解析:以点M为交点的“8字型”中,有∠P+∠CDP=∠C+∠CAP,以点N为交点的“8字型”中,有∠P+∠BAP=∠B+∠BDP,
∴2∠P+∠BAP+∠CDP=∠B+∠C+∠CAP+∠BDP.
∵AP,DP分别平分∠CAB和∠BDC,
∴∠BAP=∠CAP,∠CDP=∠BDP,
∴2∠P=∠B+∠C.
∵∠B=100°,∠C=120°,
∴∠P=$\frac{1}{2}$(∠B+∠C)=$\frac{1}{2}$×(100°+120°)=110°.
③3∠P=∠B+2∠C.理由如下:
∵∠CAP=$\frac{1}{3}$∠CAB,∠CDP=$\frac{1}{3}$∠CDB,
∴∠BAP=$\frac{2}{3}$∠CAB,∠BDP=$\frac{2}{3}$∠CDB.以点M为交点的“8字型”中,有∠P+∠CDP=∠C+∠CAP,以点N为交点的“8字型”中,有∠P+∠BAP=∠B+∠BDP,
∴∠C−∠P=∠CDP−∠CAP=$\frac{1}{3}$(∠CDB−∠CAB),∠P−∠B=∠BDP−∠BAP=$\frac{2}{3}$(∠CDB−∠CAB),
∴2(∠C−∠P)=∠P−∠B,
∴3∠P=∠B+2∠C.
∵∠A+∠C=180°−∠AOC,∠B+∠D=180°−∠BOD,∠AOC=∠BOD,
∴∠A+∠C=∠B+∠D.
(2)①3 4 解析:以线段AC为边的“8字型”有:以△ACM和△MDP共点M组成的图形;以△AOC和△DON共点O组成的图形;以△AOC和△BOD共点O组成的图形,共有3个;以点O为交点的“8字型”有:以△AOC和△DON共点O组成的图形;以△AOC和△BOD共点O组成的图形;以△AOM和△BOD共点O组成的图形;以△AOM和△DON共点O组成的图形，共有4个.
②110° 解析:以点M为交点的“8字型”中,有∠P+∠CDP=∠C+∠CAP,以点N为交点的“8字型”中,有∠P+∠BAP=∠B+∠BDP,
∴2∠P+∠BAP+∠CDP=∠B+∠C+∠CAP+∠BDP.
∵AP,DP分别平分∠CAB和∠BDC,
∴∠BAP=∠CAP,∠CDP=∠BDP,
∴2∠P=∠B+∠C.
∵∠B=100°,∠C=120°,
∴∠P=$\frac{1}{2}$(∠B+∠C)=$\frac{1}{2}$×(100°+120°)=110°.
③3∠P=∠B+2∠C.理由如下:
∵∠CAP=$\frac{1}{3}$∠CAB,∠CDP=$\frac{1}{3}$∠CDB,
∴∠BAP=$\frac{2}{3}$∠CAB,∠BDP=$\frac{2}{3}$∠CDB.以点M为交点的“8字型”中,有∠P+∠CDP=∠C+∠CAP,以点N为交点的“8字型”中,有∠P+∠BAP=∠B+∠BDP,
∴∠C−∠P=∠CDP−∠CAP=$\frac{1}{3}$(∠CDB−∠CAB),∠P−∠B=∠BDP−∠BAP=$\frac{2}{3}$(∠CDB−∠CAB),
∴2(∠C−∠P)=∠P−∠B,
∴3∠P=∠B+2∠C.