5. 如图,在$△ ABC$中,$CD$是$AB$边上的高,$AE$平分$∠BAC$,$AE$,$CD$相交于点$F$,若$∠BAC = ∠DCB$,求证:$∠CFE = ∠CEF$.
答案：5.
∵AE平分∠BAC,
∴∠CAE=∠BAE=$\frac{1}{2}$∠BAC.
∵CD⊥AB,
∴∠CDA+∠BAC+∠ACD=180°,
∴∠BAC+∠ACD=90°.
∵∠BAC=∠BCD,
∴∠BCD+∠ACD=90°,
∴∠DFA=180°−∠CDA−∠BAE,∠CEA=180°−∠BCA−∠CAE,
∴∠DFA=∠CEA.
∵∠DFA=∠CFE,
∴∠CEF=∠CFE.
∵AE平分∠BAC,
∴∠CAE=∠BAE=$\frac{1}{2}$∠BAC.
∵CD⊥AB,
∴∠CDA+∠BAC+∠ACD=180°,
∴∠BAC+∠ACD=90°.
∵∠BAC=∠BCD,
∴∠BCD+∠ACD=90°,
∴∠DFA=180°−∠CDA−∠BAE,∠CEA=180°−∠BCA−∠CAE,
∴∠DFA=∠CEA.
∵∠DFA=∠CFE,
∴∠CEF=∠CFE.
6. (2025·长春期末)如图,在四边形$ABCD$中,$∠A = x^{\circ}$,$∠C = y^{\circ}(0 ＜ x ＜ 180,0 ＜ y ＜ 180)$.
(1)$∠ABC + ∠ADC =\_\_\_\_\_\_^{\circ}$;(用含$x$,$y$的代数式表示)
(2)若$x = y = 90$,$BF$平分与$∠ABC$相邻的外角$∠CBM$,$DG$平分$∠ADC$交$BC$于点$E$,交$BF$于点$G$,判断$DG$与$BF$的位置关系,并说明理由.
(1)$∠ABC + ∠ADC =\_\_\_\_\_\_^{\circ}$;(用含$x$,$y$的代数式表示)
(2)若$x = y = 90$,$BF$平分与$∠ABC$相邻的外角$∠CBM$,$DG$平分$∠ADC$交$BC$于点$E$,交$BF$于点$G$,判断$DG$与$BF$的位置关系,并说明理由.
答案：6.(1)(360 - x - y) 解析:
∵∠A+∠C+∠ABC+∠ADC=360°,∠A=x°,∠C=y°,
∴∠ABC+∠ADC=(360 - x - y)°.
(2)DG⊥BF,理由如下:
∵∠ABC+∠CBM=180°,∠ABC+∠ADC=(360 - x - y)°=(360 - 90 - 90)°=180°,
∴∠CBM=∠ADC.
∵BF平分∠CBM,DG平分∠ADC,
∴∠CBF=$\frac{1}{2}$∠CBM,∠CDE=$\frac{1}{2}$∠ADC,
∴∠CBF=∠CDE.
∵∠BED=∠CBF+∠BGE=∠CDE+∠C,
∴∠BGE=∠C=90°,
∴DG⊥BF.
∵∠A+∠C+∠ABC+∠ADC=360°,∠A=x°,∠C=y°,
∴∠ABC+∠ADC=(360 - x - y)°.
(2)DG⊥BF,理由如下:
∵∠ABC+∠CBM=180°,∠ABC+∠ADC=(360 - x - y)°=(360 - 90 - 90)°=180°,
∴∠CBM=∠ADC.
∵BF平分∠CBM,DG平分∠ADC,
∴∠CBF=$\frac{1}{2}$∠CBM,∠CDE=$\frac{1}{2}$∠ADC,
∴∠CBF=∠CDE.
∵∠BED=∠CBF+∠BGE=∠CDE+∠C,
∴∠BGE=∠C=90°,
∴DG⊥BF.