1. (2025·无锡期末)“证明：若$a^{2}≠ b^{2}$，则$a≠ b$”，用反证法证明这个结论时，应先假设(
A.$a^{2}=b^{2}$
B.$a = b$
C.$a=-b$
D.$a≠ b$
B
)A.$a^{2}=b^{2}$
B.$a = b$
C.$a=-b$
D.$a≠ b$
答案：1. B 解析:用反证法证明“若$a^{2}≠b^{2}$,则$a≠b$”时,应先假设$a=b$.故选B.
2. (宜昌中考)能说明“锐角$α$、锐角$β$的和是锐角”是假命题的例证图是(
C
)答案：2. C 解析:C选项,延长角的边,围成三角形后,题图中三角形三个内角都是锐角,则$∠α + ∠β ＞ 90^{\circ}$.能说明“锐角$α$、锐角$β$的和是锐角”是假命题,故选C.
3. 新趋势 开放性试题(常州中考改编)判断命题“如果$n ＜ 1$，那么$n^{2}-1 ＜ 0$”是假命题，只需举出一个反例.反例中的$n$可以为
-2(答案不唯一)
.答案：3. -2(答案不唯一) 解析:要使得$n^{2}-1＜0$不成立,则$n^{2}≥1$,所以反例中的$n$可以为-2.
解析：
-2(答案不唯一)
4. (1)用反证法证明“若$\vert a\vert＞2$，则$a^{2}＞4$”时，应假设
(2)用反证法证明：“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于$60^{\circ}$”时，应该先假设
$a^{2}≤4$
.(2)用反证法证明：“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于$60^{\circ}$”时，应该先假设
三个内角都大于$60^{\circ}$
.答案：4. (1)$a^{2}≤4$
(2)三个内角都大于$60^{\circ}$
(2)三个内角都大于$60^{\circ}$
5. 教材变式 用反例说明下列命题是假命题.
(1)若$xy = 0$，则$x = 0$且$y = 0$；
(2)任何有理数都有倒数；
(3)若两个单项式的次数相同，则它们是同类项；
(4)两个负数的差一定是负数；
(5)对于任意有理数$x$，$x^{2}+5x + 5$的值总是正数.
(1)若$xy = 0$，则$x = 0$且$y = 0$；
(2)任何有理数都有倒数；
(3)若两个单项式的次数相同，则它们是同类项；
(4)两个负数的差一定是负数；
(5)对于任意有理数$x$，$x^{2}+5x + 5$的值总是正数.
答案：5. (1)答案不唯一,如:$x = 0,y = 1$.
(2)0没有倒数.
(3)答案不唯一,如:$2a^{2}b$和$3ab^{2}$.
(4)答案不唯一,如:$-1-(-2)=1$.
(5)答案不唯一,如:$x = -\frac{5}{2}$.
(2)0没有倒数.
(3)答案不唯一,如:$2a^{2}b$和$3ab^{2}$.
(4)答案不唯一,如:$-1-(-2)=1$.
(5)答案不唯一,如:$x = -\frac{5}{2}$.
6. 在一次测试中，老师出了如下题目：比较$n^{n + 1}$与$(n + 1)^{n}$的大小.有些同学经过计算发现：当$n = 1$，$2$时，$n^{n + 1}＜(n + 1)^{n}$，于是认为命题“如果$n$为任意非零自然数，那么$n^{n + 1}＜(n + 1)^{n}$”为真命题.你认为他们的判断正确吗？说说你的理由.
答案：6. 他们的判断不正确.理由如下:当$n = 3$时,$n^{n + 1}=3^{4}=81$,(n + 1)^{n}=4^{3}=64,则$n^{n + 1}＞(n + 1)^{n}$. (合理即可)
7. (1)用反证法证明：如图所示，已知$a⊥ c$，$b⊥ c$，那么$a// b$.
(2)用反证法证明：已知$a$，$b$是整数，$a^{2}+b^{2}$能被$3$整除，求证：$a$和$b$都能被$3$整除.
(2)用反证法证明：已知$a$，$b$是整数，$a^{2}+b^{2}$能被$3$整除，求证：$a$和$b$都能被$3$整除.
答案：
7. (1)假设$a$不平行于$b$,即$a$与$b$相交.设$a,b$相交于点$A$,如图:
∵$a⊥c,b⊥c$,
∴过直线外一点$A$有两条直线与直线$c$垂直,与过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直相矛盾,故假设不成立,
∴原命题正确.
(2)如果$a,b$不都能被3整除,那么有如下两种情况:
①$a,b$两数中恰有一个能被3整除,不妨设$a$能被3整除,$b$不能被3整除,令$a = 3m,b = 3n\pm k_{1}$($m,n$都是整数,$k_{1}$取1或2),于是$a^{2}+b^{2}=9m^{2}+9n^{2}\pm 6k_{1}n+k_{1}^{2}=3(3m^{2}+3n^{2}\pm 2k_{1}n)+k_{1}^{2}$.
∵$k_{1}$取1或2,
∴不能被3整除,与已知矛盾.
②$a,b$两数都不能被3整除,令$a = 3m\pm k_{2},b = 3n\pm k_{3}$($m,n$都是整数,$k_{2},k_{3}$取1或2),则$a^{2}+b^{2}=(3m\pm k_{2})^{2}+(3n\pm k_{3})^{2}=9m^{2}\pm 6k_{2}m+k_{2}^{2}+9n^{2}\pm 6k_{3}n+k_{3}^{2}=3(3m^{2}\pm 2k_{2}m+3n^{2}\pm 2k_{3}n)+k_{2}^{2}+k_{3}^{2}$.
∵$k_{2},k_{3}$取1或2,
∴$k_{2}^{2}+k_{3}^{2}$的值为2或5或8,
∴不能被3整除,与已知矛盾.
综上可知,$a,b$都能被3整除.
7. (1)假设$a$不平行于$b$,即$a$与$b$相交.设$a,b$相交于点$A$,如图:
∵$a⊥c,b⊥c$,
∴过直线外一点$A$有两条直线与直线$c$垂直,与过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直相矛盾,故假设不成立,
∴原命题正确.
(2)如果$a,b$不都能被3整除,那么有如下两种情况:
①$a,b$两数中恰有一个能被3整除,不妨设$a$能被3整除,$b$不能被3整除,令$a = 3m,b = 3n\pm k_{1}$($m,n$都是整数,$k_{1}$取1或2),于是$a^{2}+b^{2}=9m^{2}+9n^{2}\pm 6k_{1}n+k_{1}^{2}=3(3m^{2}+3n^{2}\pm 2k_{1}n)+k_{1}^{2}$.
∵$k_{1}$取1或2,
∴不能被3整除,与已知矛盾.
②$a,b$两数都不能被3整除,令$a = 3m\pm k_{2},b = 3n\pm k_{3}$($m,n$都是整数,$k_{2},k_{3}$取1或2),则$a^{2}+b^{2}=(3m\pm k_{2})^{2}+(3n\pm k_{3})^{2}=9m^{2}\pm 6k_{2}m+k_{2}^{2}+9n^{2}\pm 6k_{3}n+k_{3}^{2}=3(3m^{2}\pm 2k_{2}m+3n^{2}\pm 2k_{3}n)+k_{2}^{2}+k_{3}^{2}$.
∵$k_{2},k_{3}$取1或2,
∴$k_{2}^{2}+k_{3}^{2}$的值为2或5或8,
∴不能被3整除,与已知矛盾.
综上可知,$a,b$都能被3整除.