1. 已知：在$△ ABC$中，$∠ A=α$。
(1) 在图①中，$∠ ABC$，$∠ ACB$的平分线交于点$O_{1}$，求$∠ BO_{1}C$的度数；
(2) 在图②中，设$∠ ABC$，$∠ ACB$的两条三等分线分别对应交于点$O_{1}$，$O_{2}$，求$∠ BO_{2}C$的度数；
(3) 当$∠ ABC$，$∠ ACB$同时被$n$等分时，$(n - 1)$条角等分线分别对应交于点$O_{1}$，$O_{2}$，$···$，$O_{n - 1}$，如图③.猜想：$∠ BO_{n - 1}C=$(用含$n$和$α$的代数式表示)。
(1) 在图①中，$∠ ABC$，$∠ ACB$的平分线交于点$O_{1}$，求$∠ BO_{1}C$的度数；
(2) 在图②中，设$∠ ABC$，$∠ ACB$的两条三等分线分别对应交于点$O_{1}$，$O_{2}$，求$∠ BO_{2}C$的度数；
(3) 当$∠ ABC$，$∠ ACB$同时被$n$等分时，$(n - 1)$条角等分线分别对应交于点$O_{1}$，$O_{2}$，$···$，$O_{n - 1}$，如图③.猜想：$∠ BO_{n - 1}C=$(用含$n$和$α$的代数式表示)。
答案：1. (1)因为 $ BO_1 $，$ CO_1 $ 分别平分 $ ∠ ABC $，$ ∠ ACB $，所以 $ ∠ ABC = 2∠ O_1BC $，$ ∠ ACB = 2∠ O_1CB $，所以 $ 2(∠ O_1BC + ∠ O_1CB) = ∠ ABC + ∠ ACB $。因为 $ ∠ A = α $，所以 $ ∠ ABC + ∠ ACB = 180° - α $，所以 $ ∠ BO_1C = 180° - (∠ O_1BC + ∠ O_1CB) = 180° - \frac{1}{2}(180° - α) = 90° + \frac{1}{2}α $。
(2)因为 $ ∠ ABC $，$ ∠ ACB $ 的两条三等分线分别对应交于 $ O_1 $，$ O_2 $，所以 $ ∠ O_2BC = \frac{2}{3}∠ ABC $，$ ∠ O_2CB = \frac{2}{3}∠ ACB $，所以 $ ∠ O_2BC + ∠ O_2CB = \frac{2}{3}∠ ABC + \frac{2}{3}∠ ACB = \frac{2}{3}(∠ ABC + ∠ ACB) = \frac{2}{3}(180° - α) $，所以 $ ∠ BO_2C = 180° - (∠ O_2BC + ∠ O_2CB) = 180° - \frac{2}{3}(180° - α) = 60° + \frac{2}{3}α $。
(3) $ \frac{180°}{n} + \frac{(n - 1)α}{n} $ 解析：因为 $ ∠ A = α $，所以 $ ∠ ABC + ∠ ACB = 180° - α $。因为 $ BO_{n - 1} $，$ CO_{n - 1} $ 分别是 $ ∠ ABC $，$ ∠ ACB $ 的 $ n $ 等分线，所以 $ ∠ O_{n - 1}BC + ∠ O_{n - 1}CB = \frac{n - 1}{n}(180° - α) $，所以 $ ∠ BO_{n - 1}C = 180° - (∠ O_{n - 1}BC + ∠ O_{n - 1}CB) = 180° - \frac{n - 1}{n}(180° - α) = \frac{180°}{n} + \frac{(n - 1)α}{n} $。
(2)因为 $ ∠ ABC $，$ ∠ ACB $ 的两条三等分线分别对应交于 $ O_1 $，$ O_2 $，所以 $ ∠ O_2BC = \frac{2}{3}∠ ABC $，$ ∠ O_2CB = \frac{2}{3}∠ ACB $，所以 $ ∠ O_2BC + ∠ O_2CB = \frac{2}{3}∠ ABC + \frac{2}{3}∠ ACB = \frac{2}{3}(∠ ABC + ∠ ACB) = \frac{2}{3}(180° - α) $，所以 $ ∠ BO_2C = 180° - (∠ O_2BC + ∠ O_2CB) = 180° - \frac{2}{3}(180° - α) = 60° + \frac{2}{3}α $。
(3) $ \frac{180°}{n} + \frac{(n - 1)α}{n} $ 解析：因为 $ ∠ A = α $，所以 $ ∠ ABC + ∠ ACB = 180° - α $。因为 $ BO_{n - 1} $，$ CO_{n - 1} $ 分别是 $ ∠ ABC $，$ ∠ ACB $ 的 $ n $ 等分线，所以 $ ∠ O_{n - 1}BC + ∠ O_{n - 1}CB = \frac{n - 1}{n}(180° - α) $，所以 $ ∠ BO_{n - 1}C = 180° - (∠ O_{n - 1}BC + ∠ O_{n - 1}CB) = 180° - \frac{n - 1}{n}(180° - α) = \frac{180°}{n} + \frac{(n - 1)α}{n} $。
2. 如图，$△ ABC$的两外角$∠ CBD$与$∠ BCF$的平分线交于点$E$，请你写出$∠ BEC$与$∠ A$的数量关系，并说明理由。
答案：2. $ ∠ BEC = 90° - \frac{1}{2}∠ A $。理由如下：因为 $ ∠ CBD + ∠ ABC = ∠ A + ∠ ACB + ∠ ABC $，所以 $ ∠ CBD = ∠ A + ∠ ACB $。因为 $ BE $ 平分 $ ∠ CBD $，所以 $ ∠ EBC = \frac{1}{2}∠ CBD = \frac{1}{2}(∠ A + ∠ ACB) $。同理，$ ∠ ECB = \frac{1}{2}(∠ A + ∠ ABC) $。所以 $ ∠ BEC = 180° - ∠ EBC - ∠ ECB = 180° - \frac{1}{2}(∠ A + ∠ ACB) - \frac{1}{2}(∠ A + ∠ ABC) = 180° - \frac{1}{2}∠ A - \frac{1}{2}(∠ A + ∠ ABC + ∠ ACB) = 90° - \frac{1}{2}∠ A $。
解析：
$∠BEC=90^{\circ}-\frac{1}{2}∠A$。证明如下：
因为$∠CBD$是$△ABC$的外角，所以$∠CBD=∠A+∠ACB$。
因为$BE$平分$∠CBD$，所以$∠EBC=\frac{1}{2}∠CBD=\frac{1}{2}(∠A+∠ACB)$。
同理，$∠BCF$是$△ABC$的外角，$∠BCF=∠A+∠ABC$，$CE$平分$∠BCF$，所以$∠ECB=\frac{1}{2}∠BCF=\frac{1}{2}(∠A+∠ABC)$。
在$△BEC$中，$∠BEC=180^{\circ}-∠EBC-∠ECB$
$=180^{\circ}-\frac{1}{2}(∠A+∠ACB)-\frac{1}{2}(∠A+∠ABC)$
$=180^{\circ}-\frac{1}{2}∠A-\frac{1}{2}(∠ACB+∠ABC)$。
因为在$△ABC$中，$∠ACB+∠ABC=180^{\circ}-∠A$，
所以$∠BEC=180^{\circ}-\frac{1}{2}∠A-\frac{1}{2}(180^{\circ}-∠A)=90^{\circ}-\frac{1}{2}∠A$。
因为$∠CBD$是$△ABC$的外角，所以$∠CBD=∠A+∠ACB$。
因为$BE$平分$∠CBD$，所以$∠EBC=\frac{1}{2}∠CBD=\frac{1}{2}(∠A+∠ACB)$。
同理，$∠BCF$是$△ABC$的外角，$∠BCF=∠A+∠ABC$，$CE$平分$∠BCF$，所以$∠ECB=\frac{1}{2}∠BCF=\frac{1}{2}(∠A+∠ABC)$。
在$△BEC$中，$∠BEC=180^{\circ}-∠EBC-∠ECB$
$=180^{\circ}-\frac{1}{2}(∠A+∠ACB)-\frac{1}{2}(∠A+∠ABC)$
$=180^{\circ}-\frac{1}{2}∠A-\frac{1}{2}(∠ACB+∠ABC)$。
因为在$△ABC$中，$∠ACB+∠ABC=180^{\circ}-∠A$，
所以$∠BEC=180^{\circ}-\frac{1}{2}∠A-\frac{1}{2}(180^{\circ}-∠A)=90^{\circ}-\frac{1}{2}∠A$。
3. (2025·周口期末)如图，已知在$△ ABC$中，$∠ A=α$，分别作内角$∠ ABC$与外角$∠ ACD$的平分线，两条平分线交于点$A_{1}$，得$∠ A_{1}$；$∠ A_{1}BC$和$∠ A_{1}CD$的平分线交于点$A_{2}$，得$∠ A_{2}······$以此类推得到$∠ A_{2026}$，则$∠ A_{2026}$的度数是.(用含$α$的代数式表示)
答案：3. $ \frac{α}{2^{2026}} $ 解析：因为 $ BA_1 $ 是 $ ∠ ABC $ 的平分线，$ CA_1 $ 是 $ ∠ ACD $ 的平分线，所以 $ ∠ A_1BC = \frac{1}{2}∠ ABC $，$ ∠ A_1CD = \frac{1}{2}∠ ACD $。又因为 $ ∠ ACD = ∠ A + ∠ ABC $，$ ∠ A_1CD = ∠ A_1BC + ∠ A_1 $，所以 $ \frac{1}{2}(∠ A + ∠ ABC) = \frac{1}{2}∠ ABC + ∠ A_1 $，所以 $ ∠ A_1 = \frac{1}{2}∠ A $。因为 $ ∠ A = α $，所以 $ ∠ A_1 = \frac{α}{2} $；同理可得 $ ∠ A_2 = \frac{1}{2}∠ A_1 = \frac{1}{2} · \frac{1}{2}α = \frac{α}{2^2} $，同理可得 $ ∠ A_3 = \frac{1}{2}∠ A_2 = \frac{1}{2} · \frac{α}{2^2} = \frac{α}{2^3} ··· ··· $ 所以 $ ∠ A_n = \frac{α}{2^n} $，所以 $ ∠ A_{2026} = \frac{α}{2^{2026}} $。
4. 如图，$△ ABC$的三个内角的平分线交于点$O$，过点$O$作$∠ ODB=∠ AOB$，交$BC$于点$D$，$△ ABC$的外角$∠ ACE$的平分线交$BO$的延长线于点$F$。
(1) 试判断$OC$与$OD$的位置关系，并说明理由；
(2) 试说明：$CF// OD$。
(1) 试判断$OC$与$OD$的位置关系，并说明理由；
(2) 试说明：$CF// OD$。
答案：4. (1) $ OC ⊥ OD $。理由如下：因为三角形的三条角平分线交于点 $ O $，所以 $ ∠ AOB = 180° - \frac{1}{2}(∠ BAC + ∠ ABC) = 180° - \frac{1}{2}(180° - ∠ ACB) = 90° + \frac{1}{2}∠ ACB $。因为 $ ∠ AOB = ∠ ODB = ∠ COD + ∠ OCD $，所以 $ 90° + \frac{1}{2}∠ ACB = ∠ COD + ∠ OCD $。又因为 $ ∠ OCD = \frac{1}{2}∠ ACB $，所以 $ ∠ COD = 90° $。所以 $ OC ⊥ OD $。
(2)因为 $ CF $ 平分 $ ∠ ACE $，$ CO $ 平分 $ ∠ ACB $，所以 $ ∠ ACO = \frac{1}{2}∠ ACB $，$ ∠ ACF = \frac{1}{2}∠ ACE $。所以 $ ∠ ACO + ∠ ACF = \frac{1}{2}(∠ ACB + ∠ ACE) = \frac{1}{2} × 180° = 90° $，即 $ ∠ FCO = 90° $。因为 $ ∠ COD = 90° $，所以 $ ∠ FCO = ∠ COD $。所以 $ CF // OD $。
(2)因为 $ CF $ 平分 $ ∠ ACE $，$ CO $ 平分 $ ∠ ACB $，所以 $ ∠ ACO = \frac{1}{2}∠ ACB $，$ ∠ ACF = \frac{1}{2}∠ ACE $。所以 $ ∠ ACO + ∠ ACF = \frac{1}{2}(∠ ACB + ∠ ACE) = \frac{1}{2} × 180° = 90° $，即 $ ∠ FCO = 90° $。因为 $ ∠ COD = 90° $，所以 $ ∠ FCO = ∠ COD $。所以 $ CF // OD $。
5. 如图，在$△ ABC$中，$∠ ABC$，$∠ ACB$的平分线的夹角为$∠α$，$∠ ABC$的外角平分线与$∠ ACB$的外角平分线的夹角为$∠β$。
(1) 若$∠α = 110^{\circ}$，则$∠ A=$；
(2) 若$∠ A = 40^{\circ}$，则$∠β=$；
(3) 猜想$∠α$与$∠β$之间的数量关系，并说明理由。
(1) 若$∠α = 110^{\circ}$，则$∠ A=$；
(2) 若$∠ A = 40^{\circ}$，则$∠β=$；
(3) 猜想$∠α$与$∠β$之间的数量关系，并说明理由。
答案：5. (1) $ 40° $ 解析：因为 $ ∠ α = 110° $，所以 $ ∠ OBC + ∠ OCB = 180° - 110° = 70° $。因为 $ BO $ 平分 $ ∠ ABC $，$ CO $ 平分 $ ∠ ACB $，所以 $ ∠ ABO + ∠ OBC + ∠ OCA + ∠ OCB = 2(∠ OBC + ∠ OCB) = 2 × 70° = 140° $，所以 $ ∠ A = 180° - 2(∠ OBC + ∠ OCB) = 180° - 140° = 40° $。
(2) $ 70° $ 解析：因为 $ ∠ A = 40° $，所以 $ ∠ ABC + ∠ ACB = 180° - ∠ A = 180° - 40° = 140° $，所以 $ ∠ DBC + ∠ ECB = 360° - (∠ ABC + ∠ ACB) = 360° - 140° = 220° $。因为 $ BP $ 平分 $ ∠ CBD $，$ CP $ 平分 $ ∠ BCE $，所以 $ ∠ PBC + ∠ PCB = \frac{1}{2}(∠ DBC + ∠ ECB) = \frac{1}{2} × 220° = 110° $，所以 $ ∠ β = 180° - (∠ PBC + ∠ PCB) = 180° - 110° = 70° $。
(3)互补。理由如下：
因为 $ BO $，$ CO $ 分别是 $ ∠ ABC $ 与 $ ∠ ACB $ 的平分线，所以 $ ∠ ABO = ∠ OBC $，$ ∠ OCA = ∠ OCB $，所以 $ ∠ α = 180° - (∠ OBC + ∠ OCB) = 180° - \frac{1}{2}(∠ ABC + ∠ ACB) $。 ①
因为 $ BP $，$ CP $ 分别是 $ △ ABC $ 的外角平分线，所以 $ ∠ PBC + ∠ PCB = \frac{1}{2}[360° - (∠ ABC + ∠ ACB)] = 180° - \frac{1}{2}(∠ ABC + ∠ ACB) $，所以 $ ∠ β = 180° - (∠ PBC + ∠ PCB) = 180° - 180° + \frac{1}{2}(∠ ABC + ∠ ACB) = \frac{1}{2}(∠ ABC + ∠ ACB) $。 ②
① + ②，得 $ ∠ α + ∠ β = 180° $，所以 $ ∠ α $ 与 $ ∠ β $ 互补。
(2) $ 70° $ 解析：因为 $ ∠ A = 40° $，所以 $ ∠ ABC + ∠ ACB = 180° - ∠ A = 180° - 40° = 140° $，所以 $ ∠ DBC + ∠ ECB = 360° - (∠ ABC + ∠ ACB) = 360° - 140° = 220° $。因为 $ BP $ 平分 $ ∠ CBD $，$ CP $ 平分 $ ∠ BCE $，所以 $ ∠ PBC + ∠ PCB = \frac{1}{2}(∠ DBC + ∠ ECB) = \frac{1}{2} × 220° = 110° $，所以 $ ∠ β = 180° - (∠ PBC + ∠ PCB) = 180° - 110° = 70° $。
(3)互补。理由如下：
因为 $ BO $，$ CO $ 分别是 $ ∠ ABC $ 与 $ ∠ ACB $ 的平分线，所以 $ ∠ ABO = ∠ OBC $，$ ∠ OCA = ∠ OCB $，所以 $ ∠ α = 180° - (∠ OBC + ∠ OCB) = 180° - \frac{1}{2}(∠ ABC + ∠ ACB) $。 ①
因为 $ BP $，$ CP $ 分别是 $ △ ABC $ 的外角平分线，所以 $ ∠ PBC + ∠ PCB = \frac{1}{2}[360° - (∠ ABC + ∠ ACB)] = 180° - \frac{1}{2}(∠ ABC + ∠ ACB) $，所以 $ ∠ β = 180° - (∠ PBC + ∠ PCB) = 180° - 180° + \frac{1}{2}(∠ ABC + ∠ ACB) = \frac{1}{2}(∠ ABC + ∠ ACB) $。 ②
① + ②，得 $ ∠ α + ∠ β = 180° $，所以 $ ∠ α $ 与 $ ∠ β $ 互补。