22. （12 分）（2025·常州校级月考）阅读下列材料并解答问题：在一个三角形中，如果一个内角的度数是另一个内角度数的 3 倍，那么这样的三角形我们称为“3 倍角三角形”。例如：一个三角形三个内角的度数分别是 $120^{\circ}$，$40^{\circ}$，$20^{\circ}$，这个三角形就是一个“3 倍角三角形”。反之，若一个三角形是“3 倍角三角形”，那么这个三角形的三个内角中一定有一个内角的度数是另一个内角度数的 3 倍。
（1）如图①，已知 $∠ MON = 60^{\circ}$，在射线 $OM$ 上取一点 $A$，过点 $A$ 作 $AB ⊥ OM$ 交 $ON$ 于点 $B$。判断 $△ AOB$ 是不是“3 倍角三角形”，为什么？
（2）在（1）的条件下，以 $A$ 为端点画射线 $AD$，交线段 $OB$ 于点 $C$（点 $C$ 不与点 $O$、点 $B$ 重合）。若 $△ AOC$ 是“3 倍角三角形”，求 $∠ ACB$ 的度数。
（3）如图②，点 $D$ 在 $△ ABC$ 的 $AB$ 边上，连接 $DC$，作 $∠ ADC$ 的平分线交 $AC$ 于点 $E$，在 $DC$ 上取一点 $F$，使得 $∠ EFC + ∠ BDC = 180^{\circ}$，$∠ DEF = ∠ B$。若 $△ BCD$ 是“3 倍角三角形”，求 $∠ B$ 的度数。
（1）如图①，已知 $∠ MON = 60^{\circ}$，在射线 $OM$ 上取一点 $A$，过点 $A$ 作 $AB ⊥ OM$ 交 $ON$ 于点 $B$。判断 $△ AOB$ 是不是“3 倍角三角形”，为什么？
（2）在（1）的条件下，以 $A$ 为端点画射线 $AD$，交线段 $OB$ 于点 $C$（点 $C$ 不与点 $O$、点 $B$ 重合）。若 $△ AOC$ 是“3 倍角三角形”，求 $∠ ACB$ 的度数。
（3）如图②，点 $D$ 在 $△ ABC$ 的 $AB$ 边上，连接 $DC$，作 $∠ ADC$ 的平分线交 $AC$ 于点 $E$，在 $DC$ 上取一点 $F$，使得 $∠ EFC + ∠ BDC = 180^{\circ}$，$∠ DEF = ∠ B$。若 $△ BCD$ 是“3 倍角三角形”，求 $∠ B$ 的度数。
答案：22. (1)是.理由如下:因为 $ A B ⊥ O M $,所以 $ ∠ O A B = 90 ^ { \circ } $,所以 $ ∠ A B O = 90 ^ { \circ } - ∠ M O N = 30 ^ { \circ } $. 因为 $ ∠ O A B = 3 ∠ A B O $,所以 $ △ A O B $ 是“3 倍角三角形”. (2)因为 $ ∠ M O N = 60 ^ { \circ } $,所以当 $ ∠ O A C = \frac { 1 } { 3 } ∠ A O B = 20 ^ { \circ } $ 时, $ △ A O C $ 是“3 倍角三角形”,所以 $ ∠ A C B = ∠ O A C + ∠ A O B = 80 ^ { \circ } $;当 $ 3 ∠ O A C = ∠ A C O $,即 $ ∠ O A C = 30 ^ { \circ } $ 时, $ △ A O C $ 是“3 倍角三角形”,所以 $ ∠ A C B = 90 ^ { \circ } $.综上, $ ∠ A C B $ 的度数为 $ 80 ^ { \circ } $ 或 $ 90 ^ { \circ } $. (3)因为 $ ∠ E F C + ∠ B D C = 180 ^ { \circ } $, $ ∠ A D C + ∠ B D C = 180 ^ { \circ } $,所以 $ ∠ E F C = ∠ A D C $,所以 $ A D // E F $,所以 $ ∠ D E F = ∠ A D E $.因为 $ ∠ D E F = ∠ B $,所以 $ ∠ B = ∠ A D E $,所以 $ D E // B C $,所以 $ ∠ C D E = ∠ B C D $.因为 $ D E $ 平分 $ ∠ A D C $,所以 $ ∠ A D E = ∠ C D E $,所以 $ ∠ B = ∠ B C D $.因为 $ △ B C D $ 是“3 倍角三角形”,所以 $ ∠ B D C = 3 ∠ B $ 或 $ ∠ B = 3 ∠ B D C $.因为 $ ∠ B D C + ∠ B C D + ∠ B = 180 ^ { \circ } $,即 $ 5 ∠ B = 180 ^ { \circ } $ 或 $ \frac { 7 } { 3 } ∠ B = 180 ^ { \circ } $,解得 $ ∠ B = 36 ^ { \circ } $ 或 $ ∠ B = ( \frac { 540 } { 7 } ) ^ { \circ } $.
解析：
（1）是.理由如下：
因为 $AB ⊥ OM$，所以 $∠OAB = 90°$，
因为 $∠MON = 60°$，所以 $∠ABO = 90° - ∠MON = 30°$，
因为 $∠OAB = 3∠ABO$，所以 $△AOB$ 是“3 倍角三角形”.
（2）因为 $∠AOB = 60°$，$∠OAC + ∠ACO = 120°$，
情况一：当 $∠AOB = 3∠OAC$ 时，$∠OAC = 20°$，
则 $∠ACB = ∠OAC + ∠AOB = 20° + 60° = 80°$；
情况二：当 $∠ACO = 3∠OAC$ 时，$∠OAC + 3∠OAC = 120°$，解得 $∠OAC = 30°$，
则 $∠ACB = ∠OAC + ∠AOB = 30° + 60° = 90°$；
综上，$∠ACB$ 的度数为 $80°$ 或 $90°$.
（3）因为 $∠EFC + ∠BDC = 180°$，$∠ADC + ∠BDC = 180°$，所以 $∠EFC = ∠ADC$，所以 $AD // EF$，所以 $∠DEF = ∠ADE$，
因为 $∠DEF = ∠B$，所以 $∠B = ∠ADE$，所以 $DE // BC$，所以 $∠CDE = ∠BCD$，
因为 $DE$ 平分 $∠ADC$，所以 $∠ADE = ∠CDE$，所以 $∠B = ∠BCD$，
设 $∠B = x$，则 $∠BCD = x$，
因为 $△BCD$ 是“3 倍角三角形”，
情况一：$∠BDC = 3∠B$，则 $∠BDC = 3x$，
因为 $∠BDC + ∠BCD + ∠B = 180°$，所以 $3x + x + x = 180°$，解得 $x = 36°$；
情况二：$∠B = 3∠BDC$，则 $∠BDC = \frac{1}{3}x$，
因为 $∠BDC + ∠BCD + ∠B = 180°$，所以 $\frac{1}{3}x + x + x = 180°$，解得 $x = (\frac{540}{7})°$；
综上，$∠B$ 的度数为 $36°$ 或 $(\frac{540}{7})°$.
因为 $AB ⊥ OM$，所以 $∠OAB = 90°$，
因为 $∠MON = 60°$，所以 $∠ABO = 90° - ∠MON = 30°$，
因为 $∠OAB = 3∠ABO$，所以 $△AOB$ 是“3 倍角三角形”.
（2）因为 $∠AOB = 60°$，$∠OAC + ∠ACO = 120°$，
情况一：当 $∠AOB = 3∠OAC$ 时，$∠OAC = 20°$，
则 $∠ACB = ∠OAC + ∠AOB = 20° + 60° = 80°$；
情况二：当 $∠ACO = 3∠OAC$ 时，$∠OAC + 3∠OAC = 120°$，解得 $∠OAC = 30°$，
则 $∠ACB = ∠OAC + ∠AOB = 30° + 60° = 90°$；
综上，$∠ACB$ 的度数为 $80°$ 或 $90°$.
（3）因为 $∠EFC + ∠BDC = 180°$，$∠ADC + ∠BDC = 180°$，所以 $∠EFC = ∠ADC$，所以 $AD // EF$，所以 $∠DEF = ∠ADE$，
因为 $∠DEF = ∠B$，所以 $∠B = ∠ADE$，所以 $DE // BC$，所以 $∠CDE = ∠BCD$，
因为 $DE$ 平分 $∠ADC$，所以 $∠ADE = ∠CDE$，所以 $∠B = ∠BCD$，
设 $∠B = x$，则 $∠BCD = x$，
因为 $△BCD$ 是“3 倍角三角形”，
情况一：$∠BDC = 3∠B$，则 $∠BDC = 3x$，
因为 $∠BDC + ∠BCD + ∠B = 180°$，所以 $3x + x + x = 180°$，解得 $x = 36°$；
情况二：$∠B = 3∠BDC$，则 $∠BDC = \frac{1}{3}x$，
因为 $∠BDC + ∠BCD + ∠B = 180°$，所以 $\frac{1}{3}x + x + x = 180°$，解得 $x = (\frac{540}{7})°$；
综上，$∠B$ 的度数为 $36°$ 或 $(\frac{540}{7})°$.
23. (12 分)如图，已知点 $E$ 在四边形 $ABCD$ 的边 $BC$ 的延长线上，$BM$，$CN$ 分别是 $∠ ABC$，$∠ DCE$ 的平分线，设 $∠ BAD = α$，$∠ ADC = β$。
(1)如图①，若 $α + β = 180^{\circ}$，判断 $BM$，$CN$ 的位置关系，并说明理由。
(2)如图②，若 $α + β ＞ 180^{\circ}$，$BM$，$CN$ 相交于点 $O$。
①当 $α = 70^{\circ}$，$β = 150^{\circ}$ 时，$∠ BOC =$
② $∠ BOC$ 与 $α$，$β$ 有怎样的数量关系？说明理由。
(3)如图③，若 $α + β ＜ 180^{\circ}$，$BM$，$CN$ 的反向延长线相交于点 $O$，则 $∠ BOC =$
(1)如图①，若 $α + β = 180^{\circ}$，判断 $BM$，$CN$ 的位置关系，并说明理由。
(2)如图②，若 $α + β ＞ 180^{\circ}$，$BM$，$CN$ 相交于点 $O$。
①当 $α = 70^{\circ}$，$β = 150^{\circ}$ 时，$∠ BOC =$
20°
。② $∠ BOC$ 与 $α$，$β$ 有怎样的数量关系？说明理由。
(3)如图③，若 $α + β ＜ 180^{\circ}$，$BM$，$CN$ 的反向延长线相交于点 $O$，则 $∠ BOC =$
90°-1/2(α+β)
。(用含 $α$，$β$ 的代数式表示)答案：23. (1) $ C N // B M $,理由如下:因为 $ α + β = 180 ^ { \circ } $,所以 $ A B // C D $,所以 $ ∠ D C E = ∠ A B C $.因为 $ B M $, $ C N $ 分别是 $ ∠ A B C $, $ ∠ D C E $ 的平分线,所以 $ ∠ E C N = ∠ C B M $,所以 $ C N // B M $. (2)① $ 20 ^ { \circ } $ 解析:因为 $ α = 70 ^ { \circ } $, $ β = 150 ^ { \circ } $,所以 $ ∠ A B C + ∠ B C D = 360 ^ { \circ } - 70 ^ { \circ } - 150 ^ { \circ } = 140 ^ { \circ } $.因为 $ B M $, $ C N $ 分别是 $ ∠ A B C $, $ ∠ D C E $ 的平分线,所以 $ ∠ E C N = ∠ D C N $, $ ∠ C B M = ∠ A B M $.设 $ ∠ E C N = ∠ D C N = x $, $ ∠ C B M = ∠ A B M = y $.因为 $ ∠ E C N = ∠ B O C + ∠ C B M $,所以 $ x = ∠ B O C + y $,所以 $ ∠ B O C = x - y $.因为 $ ∠ E C D + ∠ D C B = 180 ^ { \circ } $,所以 $ 2 x + 140 ^ { \circ } - 2 y = 180 ^ { \circ } $,所以 $ x - y = 20 ^ { \circ } $,所以 $ ∠ B O C = 20 ^ { \circ } $. ② $ ∠ B O C = \frac { 1 } { 2 } ( α + β ) - 90 ^ { \circ } $,理由如下:因为四边形内角和为 $ 360 ^ { \circ } $,所以 $ ∠ A B C + ∠ B C D = 360 ^ { \circ } - ( α + β ) $.因为 $ B M $, $ C N $ 分别是 $ ∠ A B C $, $ ∠ D C E $ 的平分线,所以 $ ∠ E C N = ∠ D C N $, $ ∠ C B M = ∠ A B M $.设 $ ∠ E C N = ∠ D C N = x $, $ ∠ C B M = ∠ A B M = y $,因为 $ ∠ E C N = ∠ B O C + ∠ C B M $,所以 $ x = ∠ B O C + y $,所以 $ ∠ B O C = x - y $.因为 $ ∠ E C D + ∠ D C B = 180 ^ { \circ } $,所以 $ 2 x + 360 ^ { \circ } - ( α + β ) - 2 y = 180 ^ { \circ } $,所以 $ x - y = \frac { 1 } { 2 } ( α + β ) - 90 ^ { \circ } $,所以 $ ∠ B O C = \frac { 1 } { 2 } ( α + β ) - 90 ^ { \circ } $. (3) $ 90 ^ { \circ } - \frac { 1 } { 2 } ( α + β ) $ 解析:因为四边形的内角和为 $ 360 ^ { \circ } $,所以 $ ∠ A B C + ∠ B C D = 360 ^ { \circ } - ( α + β ) $.因为 $ B M $, $ C N $ 分别是 $ ∠ A B C $, $ ∠ D C E $ 的平分线,所以 $ ∠ E C N = ∠ D C N $, $ ∠ C B M = ∠ A B M $.设 $ ∠ E C N = ∠ D C N = x $, $ ∠ C B M = ∠ A B M = y $,因为 $ ∠ C B M = ∠ B O C + ∠ B C O $, $ ∠ E C N = ∠ B C O $,所以 $ y = ∠ B O C + x $,所以 $ ∠ B O C = y - x $.因为 $ ∠ E C D + ∠ D C B = 180 ^ { \circ } $,所以 $ 2 x + 360 ^ { \circ } - ( α + β ) - 2 y = 180 ^ { \circ } $,所以 $ y - x = 90 ^ { \circ } - \frac { 1 } { 2 } ( α + β ) $,所以 $ ∠ B O C = 90 ^ { \circ } - \frac { 1 } { 2 } ( α + β ) $.
解析：
(1) $CN // BM$，理由如下：
因为 $α + β = 180°$，所以 $AB // CD$，所以 $∠ DCE = ∠ ABC$。
因为 $BM$，$CN$ 分别是 $∠ ABC$，$∠ DCE$ 的平分线，所以 $∠ ECN = \frac{1}{2}∠ DCE$，$∠ CBM = \frac{1}{2}∠ ABC$，所以 $∠ ECN = ∠ CBM$，所以 $CN // BM$。
(2)① $20°$
② $∠ BOC = \frac{1}{2}(α + β) - 90°$，理由如下：
因为四边形内角和为 $360°$，所以 $∠ ABC + ∠ BCD = 360° - (α + β)$。
设 $∠ ECN = ∠ DCN = x$，$∠ CBM = ∠ ABM = y$，
因为 $∠ ECN = ∠ BOC + ∠ CBM$，所以 $x = ∠ BOC + y$，即 $∠ BOC = x - y$。
因为 $∠ ECD + ∠ DCB = 180°$，所以 $2x + (360° - (α + β) - 2y) = 180°$，
整理得 $2(x - y) = (α + β) - 180°$，所以 $x - y = \frac{1}{2}(α + β) - 90°$，即 $∠ BOC = \frac{1}{2}(α + β) - 90°$。
(3) $90° - \frac{1}{2}(α + β)$
因为 $α + β = 180°$，所以 $AB // CD$，所以 $∠ DCE = ∠ ABC$。
因为 $BM$，$CN$ 分别是 $∠ ABC$，$∠ DCE$ 的平分线，所以 $∠ ECN = \frac{1}{2}∠ DCE$，$∠ CBM = \frac{1}{2}∠ ABC$，所以 $∠ ECN = ∠ CBM$，所以 $CN // BM$。
(2)① $20°$
② $∠ BOC = \frac{1}{2}(α + β) - 90°$，理由如下：
因为四边形内角和为 $360°$，所以 $∠ ABC + ∠ BCD = 360° - (α + β)$。
设 $∠ ECN = ∠ DCN = x$，$∠ CBM = ∠ ABM = y$，
因为 $∠ ECN = ∠ BOC + ∠ CBM$，所以 $x = ∠ BOC + y$，即 $∠ BOC = x - y$。
因为 $∠ ECD + ∠ DCB = 180°$，所以 $2x + (360° - (α + β) - 2y) = 180°$，
整理得 $2(x - y) = (α + β) - 180°$，所以 $x - y = \frac{1}{2}(α + β) - 90°$，即 $∠ BOC = \frac{1}{2}(α + β) - 90°$。
(3) $90° - \frac{1}{2}(α + β)$