14. 若命题“$\begin{cases}x = 1, \\ y = -2\end{cases}$ 不是方程 $ax - 2y = 1$ 的解”为假命题，则 $a =$ ______ 。
答案：14. -3 解析:由题意可得 $ \{ \begin{array} { l } { x = 1 }, \\ { y = - 2 } \end{array} $ 是方程 $ a x - 2 y = 1 $ 的解,代入可得 $ a + 4 = 1 $,解得 $ a = - 3 $.
解析：
因为命题“$\begin{cases}x = 1, \\ y = -2\end{cases}$不是方程$ax - 2y = 1$的解”为假命题，所以$\begin{cases}x = 1, \\ y = -2\end{cases}$是方程$ax - 2y = 1$的解。将$x = 1$，$y = -2$代入方程得：$a×1 - 2×(-2) = 1$，即$a + 4 = 1$，解得$a = -3$。
$-3$
$-3$
15. (2025·淮南期中)如图，在 $△ CEF$ 中，$∠ E = 80^{\circ}$，$∠ F = 55^{\circ}$，$AB // CF$，$AD // CE$，连接 $BC$，$CD$，则 $∠ BAD$ 的度数是
45°
。答案：
15. $ 45 ^ { \circ } $ 解析:在 $ △ C E F $ 中, $ ∠ E = 80 ^ { \circ } $, $ ∠ F = 55 ^ { \circ } $, $ \therefore ∠ E C F = 180 ^ { \circ } - ∠ E - ∠ F = 180 ^ { \circ } - 80 ^ { \circ } - 55 ^ { \circ } = 45 ^ { \circ } $.连接 $ A C $ 并延长,交 $ E F $ 于点 $ M $,如图所示. $ \because A B // C F $, $ A D // C E $, $ \therefore ∠ B A C = ∠ F C M $, $ ∠ D A C = ∠ E C M $, $ \therefore ∠ B A D = ∠ B A C + ∠ D A C = ∠ F C M + ∠ E C M = ∠ E C F = 45 ^ { \circ } $.
15. $ 45 ^ { \circ } $ 解析:在 $ △ C E F $ 中, $ ∠ E = 80 ^ { \circ } $, $ ∠ F = 55 ^ { \circ } $, $ \therefore ∠ E C F = 180 ^ { \circ } - ∠ E - ∠ F = 180 ^ { \circ } - 80 ^ { \circ } - 55 ^ { \circ } = 45 ^ { \circ } $.连接 $ A C $ 并延长,交 $ E F $ 于点 $ M $,如图所示. $ \because A B // C F $, $ A D // C E $, $ \therefore ∠ B A C = ∠ F C M $, $ ∠ D A C = ∠ E C M $, $ \therefore ∠ B A D = ∠ B A C + ∠ D A C = ∠ F C M + ∠ E C M = ∠ E C F = 45 ^ { \circ } $.
16. (2024·凉山州中考改编)一副直角三角板按如图所示的方式摆放，点 $E$ 在 $AB$ 的延长线上，当 $DF // AB$ 时，$∠ EDB$ 的度数为
15
^{\circ}。答案：16. 15 解析:由题意得 $ ∠ E D F = 30 ^ { \circ } $, $ ∠ A B C = 45 ^ { \circ } $. $ \because D F // A B $, $ \therefore ∠ A E D = ∠ F D E = 30 ^ { \circ } $, $ \therefore ∠ E D B = ∠ A B C - ∠ A E D = 45 ^ { \circ } - 30 ^ { \circ } = 15 ^ { \circ } $.
17. 淇淇用正方形、正五边形和正六边形纸片组成如图所示的图形(正五边形和正六边形有 1 个顶点重合，正方形的两个顶点分别在正五边形和正六边形的边上)，若 $∠ 1 + ∠ 2 = 110^{\circ}$，则 $∠ 3$ 的度数为
22°
。答案：
17. $ 22 ^ { \circ } $ 解析:如图. $ \because $ 四边形 $ A B C D $ 是正方形, $ \therefore ∠ D A B = ∠ C B A = 90 ^ { \circ } $. $ \because ∠ 1 + ∠ 2 = 110 ^ { \circ } $, $ \therefore ∠ D A B + ∠ 1 + ∠ C B A + ∠ 2 = 290 ^ { \circ } $, $ \therefore ∠ E A B + ∠ E B A = 360 ^ { \circ } - 290 ^ { \circ } = 70 ^ { \circ } $, $ \therefore ∠ A E B = 180 ^ { \circ } - ( ∠ E A B + ∠ E B A ) = 110 ^ { \circ } $. $ \because $ 正五边形的每个内角的度数是 $ \frac { ( 5 - 2 ) × 180 ^ { \circ } } { 5 } = 108 ^ { \circ } $,正六边形的每个内角的度数是 $ 120 ^ { \circ } $, $ \therefore ∠ 3 = 360 ^ { \circ } - 110 ^ { \circ } - 108 ^ { \circ } - 120 ^ { \circ } = 22 ^ { \circ } $.
17. $ 22 ^ { \circ } $ 解析:如图. $ \because $ 四边形 $ A B C D $ 是正方形, $ \therefore ∠ D A B = ∠ C B A = 90 ^ { \circ } $. $ \because ∠ 1 + ∠ 2 = 110 ^ { \circ } $, $ \therefore ∠ D A B + ∠ 1 + ∠ C B A + ∠ 2 = 290 ^ { \circ } $, $ \therefore ∠ E A B + ∠ E B A = 360 ^ { \circ } - 290 ^ { \circ } = 70 ^ { \circ } $, $ \therefore ∠ A E B = 180 ^ { \circ } - ( ∠ E A B + ∠ E B A ) = 110 ^ { \circ } $. $ \because $ 正五边形的每个内角的度数是 $ \frac { ( 5 - 2 ) × 180 ^ { \circ } } { 5 } = 108 ^ { \circ } $,正六边形的每个内角的度数是 $ 120 ^ { \circ } $, $ \therefore ∠ 3 = 360 ^ { \circ } - 110 ^ { \circ } - 108 ^ { \circ } - 120 ^ { \circ } = 22 ^ { \circ } $.
18. 如图，已知 $AB // CD$，$F$ 为 $CD$ 上一点，$∠ EFD = 60^{\circ}$，$∠ AEC = 2∠ CEF$，若 $6^{\circ} ＜ ∠ BAE ＜ 15^{\circ}$，$∠ C$ 的度数为整数，则 $∠ C$ 的度数为
36°或37°
。答案：
18. $ 36 ^ { \circ } $ 或 $ 37 ^ { \circ } $ 解析:如图,过 $ E $ 作 $ E G // A B $. $ \because A B // C D $, $ \therefore G E // C D $, $ \therefore ∠ B A E = ∠ A E G $, $ ∠ D F E = ∠ G E F $, $ \therefore ∠ A E F = ∠ B A E + ∠ D F E $.设 $ ∠ C E F = x $,则 $ ∠ A E C = 2 x $, $ \therefore x + 2 x = ∠ B A E + 60 ^ { \circ } $, $ \therefore ∠ B A E = 3 x - 60 ^ { \circ } $.又 $ \because 6 ^ { \circ } ＜ ∠ B A E ＜ 15 ^ { \circ } $, $ \therefore 6 ^ { \circ } ＜ 3 x - 60 ^ { \circ } ＜ 15 ^ { \circ } $,解得 $ 22 ^ { \circ } ＜ x ＜ 25 ^ { \circ } $.又 $ \because ∠ D F E $ 是 $ △ C E F $ 的外角, $ ∠ C $ 的度数为整数, $ \therefore ∠ C = 60 ^ { \circ } - 23 ^ { \circ } = 37 ^ { \circ } $ 或 $ ∠ C = 60 ^ { \circ } - 24 ^ { \circ } = 36 ^ { \circ } $.
18. $ 36 ^ { \circ } $ 或 $ 37 ^ { \circ } $ 解析:如图,过 $ E $ 作 $ E G // A B $. $ \because A B // C D $, $ \therefore G E // C D $, $ \therefore ∠ B A E = ∠ A E G $, $ ∠ D F E = ∠ G E F $, $ \therefore ∠ A E F = ∠ B A E + ∠ D F E $.设 $ ∠ C E F = x $,则 $ ∠ A E C = 2 x $, $ \therefore x + 2 x = ∠ B A E + 60 ^ { \circ } $, $ \therefore ∠ B A E = 3 x - 60 ^ { \circ } $.又 $ \because 6 ^ { \circ } ＜ ∠ B A E ＜ 15 ^ { \circ } $, $ \therefore 6 ^ { \circ } ＜ 3 x - 60 ^ { \circ } ＜ 15 ^ { \circ } $,解得 $ 22 ^ { \circ } ＜ x ＜ 25 ^ { \circ } $.又 $ \because ∠ D F E $ 是 $ △ C E F $ 的外角, $ ∠ C $ 的度数为整数, $ \therefore ∠ C = 60 ^ { \circ } - 23 ^ { \circ } = 37 ^ { \circ } $ 或 $ ∠ C = 60 ^ { \circ } - 24 ^ { \circ } = 36 ^ { \circ } $.
三、解答题（共 46 分）
19. （6 分）填空，完成下列证明过程，并在括号中注明理由。
如图，已知 $∠ BEF + ∠ EFD = 180^{\circ}$，$∠ AEG = ∠ HFD$，求证：$∠ G = ∠ H$。
证明：$\because ∠ BEF + ∠ EFD = 180^{\circ}$（已知），
$\therefore AB //$
$\therefore$
又 $\because ∠ AEG = ∠ HFD$，
$\therefore ∠ AEF - ∠ AEG = ∠ EFD - ∠ HFD$，即 $∠ GEF =$
$\therefore$
$\therefore ∠ G = ∠ H$（
19. （6 分）填空，完成下列证明过程，并在括号中注明理由。
如图，已知 $∠ BEF + ∠ EFD = 180^{\circ}$，$∠ AEG = ∠ HFD$，求证：$∠ G = ∠ H$。
证明：$\because ∠ BEF + ∠ EFD = 180^{\circ}$（已知），
$\therefore AB //$
CD
（同旁内角互补,两直线平行
），$\therefore$
∠AEF
$= ∠ EFD$（两直线平行,内错角相等
）。又 $\because ∠ AEG = ∠ HFD$，
$\therefore ∠ AEF - ∠ AEG = ∠ EFD - ∠ HFD$，即 $∠ GEF =$
∠EFH
。$\therefore$
GE
$// FH$（内错角相等,两直线平行
）。$\therefore ∠ G = ∠ H$（
两直线平行,内错角相等
）。答案：19. $ C D $ 同旁内角互补,两直线平行 $ ∠ A E F $ 两直线平行,内错角相等 $ ∠ E F H $ $ G E $ 内错角相等,两直线平行 两直线平行,内错角相等
解析：
证明：$\because ∠ BEF + ∠ EFD = 180^{\circ}$（已知），
$\therefore AB // CD$（同旁内角互补，两直线平行），
$\therefore ∠ AEF = ∠ EFD$（两直线平行，内错角相等）。
又 $\because ∠ AEG = ∠ HFD$，
$\therefore ∠ AEF - ∠ AEG = ∠ EFD - ∠ HFD$，即 $∠ GEF = ∠ EFH$。
$\therefore GE // FH$（内错角相等，两直线平行）。
$\therefore ∠ G = ∠ H$（两直线平行，内错角相等）。
$\therefore AB // CD$（同旁内角互补，两直线平行），
$\therefore ∠ AEF = ∠ EFD$（两直线平行，内错角相等）。
又 $\because ∠ AEG = ∠ HFD$，
$\therefore ∠ AEF - ∠ AEG = ∠ EFD - ∠ HFD$，即 $∠ GEF = ∠ EFH$。
$\therefore GE // FH$（内错角相等，两直线平行）。
$\therefore ∠ G = ∠ H$（两直线平行，内错角相等）。
20. (8 分)如图，直线 $EF$ 分别交直线 $AB$，$CD$ 于点 $M$，$N$，$AB // CD$，请从以下信息：“① $MG$ 平分 $∠ EMB$；② $NH$ 平分 $∠ CNF$；③ $MG // NH$”中选择两个作为补充条件，剩下的作为结论组成一个真命题，并加以证明。你选择
①②
作为补充条件，③
作为结论(只填序号)。答案：20. 答案不唯一,示例:①② ③ 设直线 $ H N $ 交 $ A B $ 于 $ P $, $ \because A B // C D $, $ \therefore ∠ E M B = ∠ D N E $. $ \because ∠ D N E = ∠ C N F $, $ \therefore ∠ B M E = ∠ C N F $. $ \because M G $ 平分 $ ∠ E M B $, $ N H $ 平分 $ ∠ C N F $, $ \therefore ∠ E M G = \frac { 1 } { 2 } ∠ E M B $, $ ∠ F N H = \frac { 1 } { 2 } ∠ C N F $, $ \therefore ∠ E M G = ∠ F N H $. $ \because ∠ F N H = ∠ E N P $, $ \therefore ∠ E M G = ∠ E N P $. $ \therefore M G // N H $.
解析：
①② ③
证明：设直线 $HN$ 交 $AB$ 于点 $P$。
$\because AB // CD$，
$\therefore ∠ EMB = ∠ DNE$（两直线平行，同位角相等）。
$\because ∠ DNE = ∠ CNF$（对顶角相等），
$\therefore ∠ EMB = ∠ CNF$。
$\because MG$ 平分 $∠ EMB$，$NH$ 平分 $∠ CNF$，
$\therefore ∠ EMG = \frac{1}{2}∠ EMB$，$∠ FNH = \frac{1}{2}∠ CNF$（角平分线定义）。
$\therefore ∠ EMG = ∠ FNH$。
$\because ∠ FNH = ∠ ENP$（对顶角相等），
$\therefore ∠ EMG = ∠ ENP$。
$\therefore MG // NH$（同位角相等，两直线平行）。
证明：设直线 $HN$ 交 $AB$ 于点 $P$。
$\because AB // CD$，
$\therefore ∠ EMB = ∠ DNE$（两直线平行，同位角相等）。
$\because ∠ DNE = ∠ CNF$（对顶角相等），
$\therefore ∠ EMB = ∠ CNF$。
$\because MG$ 平分 $∠ EMB$，$NH$ 平分 $∠ CNF$，
$\therefore ∠ EMG = \frac{1}{2}∠ EMB$，$∠ FNH = \frac{1}{2}∠ CNF$（角平分线定义）。
$\therefore ∠ EMG = ∠ FNH$。
$\because ∠ FNH = ∠ ENP$（对顶角相等），
$\therefore ∠ EMG = ∠ ENP$。
$\therefore MG // NH$（同位角相等，两直线平行）。
21. （8 分）（河北中考改编）发现：任意五个连续整数的平方和是 5 的倍数。
验证：（1）$(-1)^{2} + 0^{2} + 1^{2} + 2^{2} + 3^{2}$ 的结果是 5 的几倍？
（2）设五个连续整数的中间一个为 $n$，证明它们的平方和是 5 的倍数。
延伸：任意三个连续整数的平方和被 3 除的余数是几呢？请写出推理过程。
验证：（1）$(-1)^{2} + 0^{2} + 1^{2} + 2^{2} + 3^{2}$ 的结果是 5 的几倍？
（2）设五个连续整数的中间一个为 $n$，证明它们的平方和是 5 的倍数。
延伸：任意三个连续整数的平方和被 3 除的余数是几呢？请写出推理过程。
答案：21. 验证:(1) $ ( - 1 ) ^ { 2 } + 0 ^ { 2 } + 1 ^ { 2 } + 2 ^ { 2 } + 3 ^ { 2 } = 1 + 0 + 1 + 4 + 9 = 15 $, $ 15 ÷ 5 = 3 $,即 $ ( - 1 ) ^ { 2 } + 0 ^ { 2 } + 1 ^ { 2 } + 2 ^ { 2 } + 3 ^ { 2 } $ 的结果是 5 的 3 倍. (2)设五个连续整数的中间一个为 $ n $,则其余的 4 个整数分别是 $ n - 2 $, $ n - 1 $, $ n + 1 $, $ n + 2 $,它们的平方和为 $ ( n - 2 ) ^ { 2 } + ( n - 1 ) ^ { 2 } + n ^ { 2 } + ( n + 1 ) ^ { 2 } + ( n + 2 ) ^ { 2 } = n ^ { 2 } - 4 n + 4 + n ^ { 2 } - 2 n + 1 + n ^ { 2 } + n ^ { 2 } + 2 n + 1 + n ^ { 2 } + 4 n + 4 = 5 n ^ { 2 } + 10 $. $ \because 5 n ^ { 2 } + 10 = 5 ( n ^ { 2 } + 2 ) $, $ n $ 是整数, $ \therefore n ^ { 2 } + 2 $ 是整数. $ \therefore $ 五个连续整数的平方和是 5 的倍数. 延伸:任意三个连续整数的平方和被 3 除的余数是 2.推理过程如下:设三个连续整数的中间一个为 $ m $,则其余的 2 个整数是 $ m - 1 $, $ m + 1 $,它们的平方和为 $ ( m - 1 ) ^ { 2 } + m ^ { 2 } + ( m + 1 ) ^ { 2 } = m ^ { 2 } - 2 m + 1 + m ^ { 2 } + m ^ { 2 } + 2 m + 1 = 3 m ^ { 2 } + 2 $. $ \because m $ 是整数, $ \therefore m ^ { 2 } $ 是整数, $ \therefore $ 任意三个连续整数的平方和被 3 除的余数是 2.