一、选择题(每小题 3 分，共 24 分)
1. 下列句子中，是命题的是 (
A.画一个角等于已知角
B.$a$，$b$ 这两条直线平行吗
C.直角三角形两锐角互余
D.过一点画已知直线的垂线
1. 下列句子中，是命题的是 (
C
)A.画一个角等于已知角
B.$a$，$b$ 这两条直线平行吗
C.直角三角形两锐角互余
D.过一点画已知直线的垂线
答案：1. C 解析:可以判断真假的陈述句叫作命题.所以 C 是命题.故选 C.
2. 下列命题的逆命题为假命题的是 (
A.若 $|a| = |b|$，则 $a = b$
B.内错角相等，两直线平行
C.若两个角相等，则这两个角都为 $30^{\circ}$
D.若 $a = 0$，则 $ab = 0$
D
)A.若 $|a| = |b|$，则 $a = b$
B.内错角相等，两直线平行
C.若两个角相等，则这两个角都为 $30^{\circ}$
D.若 $a = 0$，则 $ab = 0$
答案：2. D 解析:A. 逆命题为若 $ a = b $,则 $ | a | = | b | $,是真命题;B. 逆命题为若两直线平行,则内错角相等,是真命题;C. 逆命题为若两个角都为 $ 30 ^ { \circ } $,则这两个角相等,是真命题;D. 逆命题为若 $ a b = 0 $,则 $ a = 0 $,是假命题.故选 D.
3. (2025·泰州期末)以下可以用来证明命题“若 $ab ＜ 0$，则 $a + b ＜ 0$”是假命题的反例是 (
A.$a = -1$，$b = -2$
B.$a = -1$，$b = 2$
C.$a = -2$，$b = 1$
D.$a = 1$，$b = 2$
B
)A.$a = -1$，$b = -2$
B.$a = -1$，$b = 2$
C.$a = -2$，$b = 1$
D.$a = 1$，$b = 2$
答案：3. B 解析: $ \because a b ＜ 0 $, $ \therefore a $ 和 $ b $ 必为一正、一负,故 A,D 两个选项,不符合题意;B. 符合 $ a b = - 2 ＜ 0 $,但 $ a + b = 1 ＞ 0 $ 与结论相反,即该选项是命题的反例,符合题意;C. 符合 $ a b = - 2 ＜ 0 $,但 $ a + b = - 1 ＜ 0 $ 与结论相符,即该选项不是命题的反例,不符合题意.故选 B.
4. (2025·重庆期中)如图，直线 $a // b$，直角三角形如图放置，$∠ DCB = 90^{\circ}$，若 $∠ 1 + ∠ B = 65^{\circ}$，则 $∠ 2$ 的度数为 (
A.$20^{\circ}$
B.$25^{\circ}$
C.$30^{\circ}$
D.$35^{\circ}$
B
)A.$20^{\circ}$
B.$25^{\circ}$
C.$30^{\circ}$
D.$35^{\circ}$
答案：
4. B 解析:如图,由三角形的外角性质可得, $ ∠ 3 = ∠ 1 + ∠ B = 65 ^ { \circ } $. $ \because a // b $, $ ∠ D C B = 90 ^ { \circ } $, $ \therefore ∠ 2 = 180 ^ { \circ } - ∠ 3 - 90 ^ { \circ } = 180 ^ { \circ } - 65 ^ { \circ } - 90 ^ { \circ } = 25 ^ { \circ } $.
故选 B.
4. B 解析:如图,由三角形的外角性质可得, $ ∠ 3 = ∠ 1 + ∠ B = 65 ^ { \circ } $. $ \because a // b $, $ ∠ D C B = 90 ^ { \circ } $, $ \therefore ∠ 2 = 180 ^ { \circ } - ∠ 3 - 90 ^ { \circ } = 180 ^ { \circ } - 65 ^ { \circ } - 90 ^ { \circ } = 25 ^ { \circ } $.
故选 B.
5. (2025·眉山中考)如图，直线 $l$ 与正五边形 $ABCDE$ 的边 $AB$，$DE$ 分别交于点 $M$，$N$，则 $∠ 1 + ∠ 2$ 的度数为 (
A.$216^{\circ}$
B.$180^{\circ}$
C.$144^{\circ}$
D.$120^{\circ}$
C
)A.$216^{\circ}$
B.$180^{\circ}$
C.$144^{\circ}$
D.$120^{\circ}$
答案：5. C 解析:在正五边形 $ A B C D E $ 中, $ ∠ A = ∠ E = \frac { 3 × 180 ^ { \circ } } { 5 } = 108 ^ { \circ } $, $ \therefore ∠ A M N + ∠ E N M = 360 ^ { \circ } - 108 ^ { \circ } × 2 = 144 ^ { \circ } $. $ \because ∠ A M N = ∠ 1 $, $ ∠ E N M = ∠ 2 $, $ \therefore ∠ 1 + ∠ 2 = 144 ^ { \circ } $.故选 C.
6. 如图，在 $△ ABC$ 中，$∠ ACB = 90^{\circ}$，$∠ B = 50^{\circ}$，点 $D$ 为线段 $AB$ 上一点，将 $△ BCD$ 沿直线 $CD$ 折叠后，点 $B$ 落在点 $E$ 处，且 $CE // AB$，则 $∠ ACD$ 的度数是 (
A.$15^{\circ}$
B.$20^{\circ}$
C.$25^{\circ}$
D.$30^{\circ}$
C
)A.$15^{\circ}$
B.$20^{\circ}$
C.$25^{\circ}$
D.$30^{\circ}$
答案：6. C 解析: $ \because ∠ B = 50 ^ { \circ } $, $ C E // A B $, $ \therefore ∠ B C E = 180 ^ { \circ } - ∠ B = 180 ^ { \circ } - 50 ^ { \circ } = 130 ^ { \circ } $.由折叠可知, $ ∠ B C D = ∠ E C D = \frac { 1 } { 2 } ∠ B C E = 65 ^ { \circ } $. $ \because ∠ A C B = 90 ^ { \circ } $, $ \therefore ∠ A C D = ∠ A C B - ∠ B C D = 25 ^ { \circ } $.故选 C.
7. 如图，七边形 $ABCDEFG$ 中，$AB$，$ED$ 的延长线交于点 $O$，若 $∠ 1$，$∠ 2$，$∠ 3$，$∠ 4$ 的外角和等于 $215^{\circ}$，则 $∠ BOD$ 的度数为 (
A.$20^{\circ}$
B.$35^{\circ}$
C.$40^{\circ}$
D.$45^{\circ}$
B
)A.$20^{\circ}$
B.$35^{\circ}$
C.$40^{\circ}$
D.$45^{\circ}$
答案：7. B 解析: $ \because ∠ 1 $, $ ∠ 2 $, $ ∠ 3 $, $ ∠ 4 $ 的外角和为 $ 215 ^ { \circ } $, $ \therefore ∠ 1 + ∠ 2 + ∠ 3 + ∠ 4 + 215 ^ { \circ } = 4 × 180 ^ { \circ } $, $ \therefore ∠ 1 + ∠ 2 + ∠ 3 + ∠ 4 = 505 ^ { \circ } $. $ \because $ 五边形 $ O A G F E $ 内角和 $ = ( 5 - 2 ) × 180 ^ { \circ } = 540 ^ { \circ } $, $ \therefore ∠ 1 + ∠ 2 + ∠ 3 + ∠ 4 + ∠ B O D = 540 ^ { \circ } $, $ \therefore ∠ B O D = 540 ^ { \circ } - 505 ^ { \circ } = 35 ^ { \circ } $,故选 B.
8. 如图，$AB ⊥ BC$，$AE$ 平分 $∠ BAD$ 交 $BC$ 于点 $E$，$AE ⊥ DE$，$∠ 1 + ∠ 2 = 90^{\circ}$，$M$，$N$ 分别是 $BA$，$CD$ 延长线上的点，$∠ EAM$ 和 $∠ EDN$ 的平分线交于点 $F$。下列结论：① $AB // CD$；② $∠ AEB + ∠ ADC = 180^{\circ}$；③ $DE$ 平分 $∠ ADC$；④ $∠ F$ 为定值。其中结论正确的有 (
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
C
)A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
答案：8. C 解析: $ \because A B ⊥ B C $, $ A E ⊥ D E $, $ \therefore ∠ 1 + ∠ A E B = 90 ^ { \circ } $, $ ∠ D E C + ∠ A E B = 90 ^ { \circ } $, $ \therefore ∠ 1 = ∠ D E C $.又 $ \because ∠ 1 + ∠ 2 = 90 ^ { \circ } $, $ \therefore ∠ D E C + ∠ 2 = 90 ^ { \circ } $, $ \therefore ∠ C = 90 ^ { \circ } $, $ \therefore ∠ B + ∠ C = 180 ^ { \circ } $, $ \therefore A B // C D $,故①正确; $ \because A B // C D $, $ \therefore ∠ B A D + ∠ A D C = 180 ^ { \circ } $. 又 $ \because ∠ A E B ≠ ∠ B A D $, $ \therefore ∠ A E B + ∠ A D C ≠ 180 ^ { \circ } $,故②错误; $ \because ∠ 4 + ∠ 3 = 90 ^ { \circ } $, $ ∠ 2 + ∠ 1 = 90 ^ { \circ } $, $ ∠ 3 = ∠ 1 $, $ \therefore ∠ 2 = ∠ 4 $, $ \therefore D E $ 平分 $ ∠ A D C $,故③正确; $ \because ∠ 1 + ∠ 2 = 90 ^ { \circ } $, $ \therefore ∠ E A M + ∠ E D N = 360 ^ { \circ } - 90 ^ { \circ } = 270 ^ { \circ } $. $ \because ∠ E A M $ 和 $ ∠ E D N $ 的平分线交于点 $ F $, $ \therefore ∠ E A F + ∠ E D F = \frac { 1 } { 2 } × 270 ^ { \circ } = 135 ^ { \circ } $. $ \because A E ⊥ D E $, $ \therefore ∠ 3 + ∠ 4 = 90 ^ { \circ } $, $ \therefore ∠ F A D + ∠ F D A = 135 ^ { \circ } - 90 ^ { \circ } = 45 ^ { \circ } $, $ \therefore ∠ F = 180 ^ { \circ } - ( ∠ F A D + ∠ F D A ) = 180 ^ { \circ } - 45 ^ { \circ } = 135 ^ { \circ } $.故④正确.综上,其中结论正确的有 3 个.故选 C.
二、填空题(每小题 3 分，共 30 分)
9. (2025·扬州中考)若多边形的每个内角都是 $140^{\circ}$，则这个多边形的边数为
9. (2025·扬州中考)若多边形的每个内角都是 $140^{\circ}$，则这个多边形的边数为
9
。答案：9. 9 解析: $ \because $ 这个多边形的每个内角都是 $ 140 ^ { \circ } $, $ \therefore $ 这个多边形的每个外角都是 $ 180 ^ { \circ } - 140 ^ { \circ } = 40 ^ { \circ } $, $ \therefore $ 这个多边形的边数为 $ 360 ^ { \circ } ÷ 40 ^ { \circ } = 9 $.
10. 用反证法证明命题“直角三角形的两个锐角互余”时，应先假设
直角三角形中的两个锐角不互余
。答案：10. 直角三角形中的两个锐角不互余 解析:利用反证法时需先假设命题的结论不成立,所以应假设“直角三角形中的两个锐角不互余”.
解析：
直角三角形中的两个锐角不互余
11. 已知命题：如果两个三角形完全重合，那么这两个三角形的面积相等。写出它的逆命题：
如果两个三角形的面积相等,那么这两个三角形能够完全重合
。该逆命题是假
命题(填“真”或“假”)。答案：11. 如果两个三角形的面积相等,那么这两个三角形能够完全重合 假 解析:两个三角形的面积相等只能说明底边与对应高的乘积相等,无法说明两个三角形能够完全重合,故该逆命题是假命题.
解析：
如果两个三角形的面积相等,那么这两个三角形能够完全重合 假
12. 如图，有一个与地面成 $30^{\circ}$ 角的斜坡，现要在斜坡上竖一电线杆，当电线杆与地面垂直时，它与斜坡所成的角 $α =$
60°
。答案：
12. $ 60 ^ { \circ } $ 解析:如图,在 $ △ C B A $ 中, $ ∠ C B A = 90 ^ { \circ } $, $ ∠ C A B = 30 ^ { \circ } $, $ \therefore ∠ A C B = 180 ^ { \circ } - ∠ C A B - ∠ C B A = 60 ^ { \circ } $, $ \therefore α = ∠ A C B = 60 ^ { \circ } $.
12. $ 60 ^ { \circ } $ 解析:如图,在 $ △ C B A $ 中, $ ∠ C B A = 90 ^ { \circ } $, $ ∠ C A B = 30 ^ { \circ } $, $ \therefore ∠ A C B = 180 ^ { \circ } - ∠ C A B - ∠ C B A = 60 ^ { \circ } $, $ \therefore α = ∠ A C B = 60 ^ { \circ } $.
13. 一个正多边形的外角和与内角和的比为 $1:3$，则这个多边形是正
八
边形。答案：13. 八 解析:设这是个正 $ n $ 边形. $ \because $ 这个正多边形的外角和与内角和的比为 $ 1 : 3 $, $ \therefore 360 : [ ( n - 2 ) × 180 ] = 1 : 3 $,解得 $ n = 8 $, $ \therefore $ 这是个正八边形.
解析：
设这个正多边形为$n$边形。
因为正多边形的外角和为$360°$，内角和为$(n - 2)×180°$，且外角和与内角和的比为$1:3$，
所以$360 : [(n - 2)×180] = 1 : 3$，
即$\frac{360}{(n - 2)×180} = \frac{1}{3}$，
解得$n = 8$。
八
因为正多边形的外角和为$360°$，内角和为$(n - 2)×180°$，且外角和与内角和的比为$1:3$，
所以$360 : [(n - 2)×180] = 1 : 3$，
即$\frac{360}{(n - 2)×180} = \frac{1}{3}$，
解得$n = 8$。
八