9. 如图，已知在四边形$ABCD$中，$BE$，$DF$分别平分四边形的外角$∠ MBC$和$∠ NDC$，若$∠ BAD=α$，$∠ BCD=β$。
（1）如图①，试说明：$∠ MBC+∠ NDC=α+β$；
（2）如图①，若$BE$与$DF$相交于点$G$，$∠ BGD=45^{\circ}$，请写出$α$，$β$所满足的等量关系式，并说明理由；
（3）如图②，若$α=β$，判断$BE$，$DF$的位置关系，并说明理由。
（1）如图①，试说明：$∠ MBC+∠ NDC=α+β$；
（2）如图①，若$BE$与$DF$相交于点$G$，$∠ BGD=45^{\circ}$，请写出$α$，$β$所满足的等量关系式，并说明理由；
（3）如图②，若$α=β$，判断$BE$，$DF$的位置关系，并说明理由。
答案：
9. (1)因为在四边形 $ABCD$ 中，$∠ BAD + ∠ ABC + ∠ BCD + ∠ ADC = 360^{\circ}$，所以 $∠ ABC + ∠ ADC = 360^{\circ} - (α + β)$。因为 $∠ MBC + ∠ ABC = 180^{\circ}$，$∠ NDC + ∠ ADC = 180^{\circ}$，所以 $∠ MBC + ∠ NDC = 180^{\circ} - ∠ ABC + 180^{\circ} - ∠ ADC = 360^{\circ} - (∠ ABC + ∠ ADC) = 360^{\circ} - [360^{\circ} - (α + β)] = α + β$。
(2)$β - α = 90^{\circ}$。理由如下：如图①，连接 $BD$，由 (1) 知，$∠ MBC + ∠ NDC = α + β$，因为 $BE$，$DF$ 分别平分四边形的外角 $∠ MBC$ 和 $∠ NDC$，所以 $∠ CBG = \frac{1}{2} ∠ MBC$，$∠ CDG = \frac{1}{2} ∠ NDC$，所以 $∠ CBG + ∠ CDG = \frac{1}{2} ∠ MBC + \frac{1}{2} ∠ NDC = \frac{1}{2}(∠ MBC + ∠ NDC) = \frac{1}{2}(α + β)$。在 $△ BCD$ 中，$∠ BDC + ∠ CBD = 180^{\circ} - ∠ BCD = 180^{\circ} - β$，在 $△ BDG$ 中，$∠ BGD = 45^{\circ}$，$∠ GBD + ∠ GDB + ∠ BGD = 180^{\circ}$，所以 $∠ CBG + ∠ CBD + ∠ CDG + ∠ BDC + ∠ BGD = 180^{\circ}$，所以 $(∠ CBG + ∠ CDG) + (∠ CBD + ∠ BDC) + ∠ BGD = 180^{\circ}$，所以 $\frac{1}{2}(α + β) + 180^{\circ} - β + 45^{\circ} = 180^{\circ}$，所以 $β - α = 90^{\circ}$。
(3)$BE // DF$。理由如下：如图②，延长 $BC$ 交 $DF$ 于点 $H$，由 (1) 知，$∠ MBC + ∠ NDC = α + β$，因为 $BE$，$DF$ 分别平分四边形的外角 $∠ MBC$ 和 $∠ NDC$，所以 $∠ CBE = \frac{1}{2} ∠ MBC$，$∠ CDH = \frac{1}{2} ∠ NDC$，所以 $∠ CBE + ∠ CDH = \frac{1}{2} ∠ MBC + \frac{1}{2} ∠ NDC = \frac{1}{2}(∠ MBC + ∠ NDC) = \frac{1}{2}(α + β)$。因为 $∠ BCD + ∠ DCH = ∠ CDH + ∠ DHB + ∠ DCH$，所以 $∠ BCD = ∠ CDH + ∠ DHB$，所以 $∠ CDH = ∠ BCD - ∠ DHB = β - ∠ DHB$，所以 $∠ CBE + β - ∠ DHB = \frac{1}{2}(α + β)$。因为 $α = β$，所以 $∠ CBE + β - ∠ DHB = \frac{1}{2}(β + β) = β$，所以 $∠ CBE = ∠ DHB$，所以 $BE // DF$。
9. (1)因为在四边形 $ABCD$ 中，$∠ BAD + ∠ ABC + ∠ BCD + ∠ ADC = 360^{\circ}$，所以 $∠ ABC + ∠ ADC = 360^{\circ} - (α + β)$。因为 $∠ MBC + ∠ ABC = 180^{\circ}$，$∠ NDC + ∠ ADC = 180^{\circ}$，所以 $∠ MBC + ∠ NDC = 180^{\circ} - ∠ ABC + 180^{\circ} - ∠ ADC = 360^{\circ} - (∠ ABC + ∠ ADC) = 360^{\circ} - [360^{\circ} - (α + β)] = α + β$。
(2)$β - α = 90^{\circ}$。理由如下：如图①，连接 $BD$，由 (1) 知，$∠ MBC + ∠ NDC = α + β$，因为 $BE$，$DF$ 分别平分四边形的外角 $∠ MBC$ 和 $∠ NDC$，所以 $∠ CBG = \frac{1}{2} ∠ MBC$，$∠ CDG = \frac{1}{2} ∠ NDC$，所以 $∠ CBG + ∠ CDG = \frac{1}{2} ∠ MBC + \frac{1}{2} ∠ NDC = \frac{1}{2}(∠ MBC + ∠ NDC) = \frac{1}{2}(α + β)$。在 $△ BCD$ 中，$∠ BDC + ∠ CBD = 180^{\circ} - ∠ BCD = 180^{\circ} - β$，在 $△ BDG$ 中，$∠ BGD = 45^{\circ}$，$∠ GBD + ∠ GDB + ∠ BGD = 180^{\circ}$，所以 $∠ CBG + ∠ CBD + ∠ CDG + ∠ BDC + ∠ BGD = 180^{\circ}$，所以 $(∠ CBG + ∠ CDG) + (∠ CBD + ∠ BDC) + ∠ BGD = 180^{\circ}$，所以 $\frac{1}{2}(α + β) + 180^{\circ} - β + 45^{\circ} = 180^{\circ}$，所以 $β - α = 90^{\circ}$。
(3)$BE // DF$。理由如下：如图②，延长 $BC$ 交 $DF$ 于点 $H$，由 (1) 知，$∠ MBC + ∠ NDC = α + β$，因为 $BE$，$DF$ 分别平分四边形的外角 $∠ MBC$ 和 $∠ NDC$，所以 $∠ CBE = \frac{1}{2} ∠ MBC$，$∠ CDH = \frac{1}{2} ∠ NDC$，所以 $∠ CBE + ∠ CDH = \frac{1}{2} ∠ MBC + \frac{1}{2} ∠ NDC = \frac{1}{2}(∠ MBC + ∠ NDC) = \frac{1}{2}(α + β)$。因为 $∠ BCD + ∠ DCH = ∠ CDH + ∠ DHB + ∠ DCH$，所以 $∠ BCD = ∠ CDH + ∠ DHB$，所以 $∠ CDH = ∠ BCD - ∠ DHB = β - ∠ DHB$，所以 $∠ CBE + β - ∠ DHB = \frac{1}{2}(α + β)$。因为 $α = β$，所以 $∠ CBE + β - ∠ DHB = \frac{1}{2}(β + β) = β$，所以 $∠ CBE = ∠ DHB$，所以 $BE // DF$。
10. 在$△ ABC$中，$∠ BAC=α^{\circ}$，$BD$，$CE$是$△ ABC$的高，$BD$，$CE$所在直线交于点$O$(点$O$与$A$，$B$，$C$都不重合)，则$∠ DOE$的度数为
$α^{\circ}$ 或 $180^{\circ} - α^{\circ}$
。(用含$α$的代数式表示)答案：
10. $α^{\circ}$ 或 $180^{\circ} - α^{\circ}$ 解析：①如图①，当 $△ ABC$ 是锐角三角形时，因为 $BD$，$CE$ 是 $△ ABC$ 的高，所以 $∠ AEC = ∠ ADB = 90^{\circ}$，所以在四边形 $ADOE$ 中，$∠ DOE = 360^{\circ} - ∠ A - ∠ AEO - ∠ ADO = 360^{\circ} - α^{\circ} - 90^{\circ} - 90^{\circ} = 180^{\circ} - α^{\circ}$。②如图②，当 $△ ABC$ 是钝角三角形，$∠ BAC$ 是锐角，$∠ ABC$ 是钝角时，因为 $BD$，$CE$ 是 $△ ABC$ 的高，所以 $∠ AEC = ∠ ADB = 90^{\circ}$，所以 $∠ A + ∠ ACE = ∠ DOE + ∠ OCD = 90^{\circ}$，所以 $∠ DOE = ∠ A = α^{\circ}$（当 $∠ ACB$ 是钝角时，同理可得 $∠ DOE = ∠ A = α^{\circ}$）。如图③，当 $∠ BAC$ 是钝角时，因为 $BD$，$CE$ 是 $△ ABC$ 的高，所以 $∠ BEO = ∠ CDO = 90^{\circ}$。又因为 $∠ BAC = ∠ DAE = α^{\circ}$，所以在四边形 $ADOE$ 中，$∠ DOE = 360^{\circ} - ∠ AEO - ∠ ADO - ∠ DAE = 360^{\circ} - 90^{\circ} - 90^{\circ} - α^{\circ} = 180^{\circ} - α^{\circ}$。③当 $△ ABC$ 是直角三角形时，不符合题意，舍去。综上所述，$∠ DOE$ 的度数为 $α^{\circ}$ 或 $180^{\circ} - α^{\circ}$。
10. $α^{\circ}$ 或 $180^{\circ} - α^{\circ}$ 解析：①如图①，当 $△ ABC$ 是锐角三角形时，因为 $BD$，$CE$ 是 $△ ABC$ 的高，所以 $∠ AEC = ∠ ADB = 90^{\circ}$，所以在四边形 $ADOE$ 中，$∠ DOE = 360^{\circ} - ∠ A - ∠ AEO - ∠ ADO = 360^{\circ} - α^{\circ} - 90^{\circ} - 90^{\circ} = 180^{\circ} - α^{\circ}$。②如图②，当 $△ ABC$ 是钝角三角形，$∠ BAC$ 是锐角，$∠ ABC$ 是钝角时，因为 $BD$，$CE$ 是 $△ ABC$ 的高，所以 $∠ AEC = ∠ ADB = 90^{\circ}$，所以 $∠ A + ∠ ACE = ∠ DOE + ∠ OCD = 90^{\circ}$，所以 $∠ DOE = ∠ A = α^{\circ}$（当 $∠ ACB$ 是钝角时，同理可得 $∠ DOE = ∠ A = α^{\circ}$）。如图③，当 $∠ BAC$ 是钝角时，因为 $BD$，$CE$ 是 $△ ABC$ 的高，所以 $∠ BEO = ∠ CDO = 90^{\circ}$。又因为 $∠ BAC = ∠ DAE = α^{\circ}$，所以在四边形 $ADOE$ 中，$∠ DOE = 360^{\circ} - ∠ AEO - ∠ ADO - ∠ DAE = 360^{\circ} - 90^{\circ} - 90^{\circ} - α^{\circ} = 180^{\circ} - α^{\circ}$。③当 $△ ABC$ 是直角三角形时，不符合题意，舍去。综上所述，$∠ DOE$ 的度数为 $α^{\circ}$ 或 $180^{\circ} - α^{\circ}$。
11. 【概念认识】如图①，在$∠ ABC$中，若$∠ ABD=∠ DBE=∠ EBC$，则$BD$，$BE$叫作$∠ ABC$的“三分线”。其中，$BD$是“邻$AB$三分线”，$BE$是“邻$BC$三分线”。
【问题解决】
(1)如图①，$∠ ABC=60^{\circ}$，$BD$，$BE$是$∠ ABC$的“三分线”，则$∠ ABE=\_\_\_\_\_\_^{\circ}$；
(2)如图②，在$△ ABC$中，$∠ A=60^{\circ}$，$∠ B=48^{\circ}$，若$∠ B$的三分线$BD$交$AC$于点$D$，则$∠ BDC=$
(3)如图③，在$△ ABC$中，$BP$，$CP$分别是$∠ ABC$的“邻$BC$三分线”和$∠ ACB$的“邻$BC$三分线”，且$∠ BPC=140^{\circ}$，求$∠ A$的度数；
【延伸推广】
(4)在$△ ABC$中，$∠ ACD$是$△ ABC$的外角，$∠ B$的三分线所在的直线与$∠ ACD$的三分线所在的直线交于点$P$。若$∠ A=m^{\circ}$，$∠ ABC=n^{\circ}$，直接写出$∠ BPC$的度数。(用含$m$，$n$的代数式表示)
【问题解决】
(1)如图①，$∠ ABC=60^{\circ}$，$BD$，$BE$是$∠ ABC$的“三分线”，则$∠ ABE=\_\_\_\_\_\_^{\circ}$；
(2)如图②，在$△ ABC$中，$∠ A=60^{\circ}$，$∠ B=48^{\circ}$，若$∠ B$的三分线$BD$交$AC$于点$D$，则$∠ BDC=$
$76^{\circ}$ 或 $92^{\circ}$
；(3)如图③，在$△ ABC$中，$BP$，$CP$分别是$∠ ABC$的“邻$BC$三分线”和$∠ ACB$的“邻$BC$三分线”，且$∠ BPC=140^{\circ}$，求$∠ A$的度数；
【延伸推广】
(4)在$△ ABC$中，$∠ ACD$是$△ ABC$的外角，$∠ B$的三分线所在的直线与$∠ ACD$的三分线所在的直线交于点$P$。若$∠ A=m^{\circ}$，$∠ ABC=n^{\circ}$，直接写出$∠ BPC$的度数。(用含$m$，$n$的代数式表示)
答案：
11. (1)$40$ 解析：因为 $∠ ABC = 60^{\circ}$，$BD$，$BE$ 是 $∠ ABC$ 的“三分线”，所以 $∠ ABD = ∠ DBE = ∠ EBC = \frac{1}{3} ∠ ABC = \frac{1}{3} × 60^{\circ} = 20^{\circ}$。所以 $∠ ABE = ∠ ABD + ∠ DBE = 20^{\circ} + 20^{\circ} = 40^{\circ}$。
(2)$76^{\circ}$ 或 $92^{\circ}$ 解析：当 $BD$ 是“邻 $AB$ 三分线”时，因为 $∠ A = 60^{\circ}$，$∠ ABC = 48^{\circ}$，所以 $∠ BDC = 180^{\circ} - ∠ ADB = ∠ A + ∠ ABD = 60^{\circ} + \frac{1}{3} × 48^{\circ} = 76^{\circ}$；当 $BD$ 是“邻 $BC$ 三分线”时，因为 $∠ A = 60^{\circ}$，$∠ B = 48^{\circ}$，所以 $∠ BDC = 180^{\circ} - ∠ ADB = ∠ A + ∠ ABD = 60^{\circ} + \frac{2}{3} × 48^{\circ} = 92^{\circ}$。综上所述，$∠ BDC = 76^{\circ}$ 或 $92^{\circ}$。
(3) 因为 $∠ BPC = 140^{\circ}$，所以 $∠ PBC + ∠ PCB = 180^{\circ} - ∠ BPC = 180^{\circ} - 140^{\circ} = 40^{\circ}$。因为 $BP$，$CP$ 分别是 $∠ ABC$ 的“邻 $BC$ 三分线”和 $∠ ACB$ 的“邻 $BC$ 三分线”，所以 $∠ PBC = \frac{1}{3} ∠ ABC$，$∠ PCB = \frac{1}{3} ∠ ACB$，所以 $\frac{1}{3} ∠ ABC + \frac{1}{3} ∠ ACB = 40^{\circ}$，所以 $∠ ABC + ∠ ACB = 120^{\circ}$。所以 $∠ A = 180^{\circ} - (∠ ABC + ∠ ACB) = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}$。
(4)$∠ BPC$ 的度数是 $\frac{2}{3}m^{\circ}$ 或 $\frac{2m^{\circ} + n^{\circ}}{3}$ 或 $\frac{m^{\circ} - n^{\circ}}{3}$ 或 $\frac{n^{\circ} - m^{\circ}}{3}$ 或 $\frac{1}{3}m^{\circ}$。 解析：分为四种情况：
情况一：如图①，当 $BP$ 和 $CP$ 分别是“邻 $AB$ 三分线”“邻 $AC$ 三分线”时，由外角可得 $∠ PCD = \frac{2}{3} ∠ ACD = \frac{2}{3}(180^{\circ} - ∠ ACB) = \frac{2}{3}(∠ A + ∠ ABC) = \frac{2}{3}(m^{\circ} + n^{\circ})$，$∠ PBC = \frac{2}{3}n^{\circ}$。因为 $∠ PCD = 180^{\circ} - ∠ PCB = ∠ PBC + ∠ BPC$，所以 $∠ BPC = ∠ PCD - ∠ PBC = \frac{2}{3}(m^{\circ} + n^{\circ}) - \frac{2}{3}n^{\circ} = \frac{2}{3}m^{\circ}$。
情况二：如图②，当 $BP$ 和 $CP$ 分别是“邻 $BC$ 三分线”“邻 $AC$ 三分线”时，由外角可知 $∠ PCD = \frac{2}{3} ∠ ACD = \frac{2}{3}(180^{\circ} - ∠ ACB) = \frac{2}{3}(∠ A + ∠ ABC) = \frac{2}{3}(m^{\circ} + n^{\circ})$，$∠ PBC = \frac{1}{3}n^{\circ}$。因为 $∠ PCD = 180^{\circ} - ∠ PCB = ∠ PBC + ∠ BPC$，所以 $∠ BPC = ∠ PCD - ∠ PBC = \frac{2}{3}(m^{\circ} + n^{\circ}) - \frac{1}{3}n^{\circ} = \frac{2m^{\circ} + n^{\circ}}{3}$。
情况三：当 $BP$ 和 $CP$ 分别是“邻 $AB$ 三分线”“邻 $CD$ 三分线”时，
①当 $m^{\circ} ＞ n^{\circ}$ 时，如图③，由外角易得 $∠ PCD = \frac{1}{3} ∠ ACD = \frac{1}{3}(m^{\circ} + n^{\circ})$，$∠ PBC = \frac{2}{3}n^{\circ}$，$∠ BPC = ∠ PCD - ∠ PBC = \frac{1}{3}(m^{\circ} + n^{\circ}) - \frac{2}{3}n^{\circ} = \frac{m^{\circ} - n^{\circ}}{3}$。
②当 $m^{\circ} ＜ n^{\circ}$ 时，如图④，由外角及对顶角可得 $∠ DCE = ∠ PCB = \frac{1}{3} ∠ ACD = \frac{1}{3}(m^{\circ} + n^{\circ})$，$∠ FBC = \frac{2}{3}n^{\circ}$，易得 $∠ BPC = ∠ FBC - ∠ PCB = \frac{2}{3}n^{\circ} - \frac{1}{3}(m^{\circ} + n^{\circ}) = \frac{n^{\circ} - m^{\circ}}{3}$。
情况四：如图⑤，当 $BP$ 和 $CP$ 分别是“邻 $BC$ 三分线”“邻 $CD$ 三分线”时，由外角易得 $∠ PCD = \frac{1}{3} ∠ ACD = \frac{1}{3}(m^{\circ} + n^{\circ})$，$∠ PBC = \frac{1}{3}n^{\circ}$，$∠ BPC = ∠ PCD - ∠ PBC = \frac{1}{3}(m^{\circ} + n^{\circ}) - \frac{1}{3}n^{\circ} = \frac{1}{3}m^{\circ}$。
综上所述，$∠ BPC$ 的度数是 $\frac{2}{3}m^{\circ}$ 或 $\frac{2m^{\circ} + n^{\circ}}{3}$ 或 $\frac{m^{\circ} - n^{\circ}}{3}$ 或 $\frac{n^{\circ} - m^{\circ}}{3}$ 或 $\frac{1}{3}m^{\circ}$。
11. (1)$40$ 解析：因为 $∠ ABC = 60^{\circ}$，$BD$，$BE$ 是 $∠ ABC$ 的“三分线”，所以 $∠ ABD = ∠ DBE = ∠ EBC = \frac{1}{3} ∠ ABC = \frac{1}{3} × 60^{\circ} = 20^{\circ}$。所以 $∠ ABE = ∠ ABD + ∠ DBE = 20^{\circ} + 20^{\circ} = 40^{\circ}$。
(2)$76^{\circ}$ 或 $92^{\circ}$ 解析：当 $BD$ 是“邻 $AB$ 三分线”时，因为 $∠ A = 60^{\circ}$，$∠ ABC = 48^{\circ}$，所以 $∠ BDC = 180^{\circ} - ∠ ADB = ∠ A + ∠ ABD = 60^{\circ} + \frac{1}{3} × 48^{\circ} = 76^{\circ}$；当 $BD$ 是“邻 $BC$ 三分线”时，因为 $∠ A = 60^{\circ}$，$∠ B = 48^{\circ}$，所以 $∠ BDC = 180^{\circ} - ∠ ADB = ∠ A + ∠ ABD = 60^{\circ} + \frac{2}{3} × 48^{\circ} = 92^{\circ}$。综上所述，$∠ BDC = 76^{\circ}$ 或 $92^{\circ}$。
(3) 因为 $∠ BPC = 140^{\circ}$，所以 $∠ PBC + ∠ PCB = 180^{\circ} - ∠ BPC = 180^{\circ} - 140^{\circ} = 40^{\circ}$。因为 $BP$，$CP$ 分别是 $∠ ABC$ 的“邻 $BC$ 三分线”和 $∠ ACB$ 的“邻 $BC$ 三分线”，所以 $∠ PBC = \frac{1}{3} ∠ ABC$，$∠ PCB = \frac{1}{3} ∠ ACB$，所以 $\frac{1}{3} ∠ ABC + \frac{1}{3} ∠ ACB = 40^{\circ}$，所以 $∠ ABC + ∠ ACB = 120^{\circ}$。所以 $∠ A = 180^{\circ} - (∠ ABC + ∠ ACB) = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}$。
(4)$∠ BPC$ 的度数是 $\frac{2}{3}m^{\circ}$ 或 $\frac{2m^{\circ} + n^{\circ}}{3}$ 或 $\frac{m^{\circ} - n^{\circ}}{3}$ 或 $\frac{n^{\circ} - m^{\circ}}{3}$ 或 $\frac{1}{3}m^{\circ}$。 解析：分为四种情况：
情况一：如图①，当 $BP$ 和 $CP$ 分别是“邻 $AB$ 三分线”“邻 $AC$ 三分线”时，由外角可得 $∠ PCD = \frac{2}{3} ∠ ACD = \frac{2}{3}(180^{\circ} - ∠ ACB) = \frac{2}{3}(∠ A + ∠ ABC) = \frac{2}{3}(m^{\circ} + n^{\circ})$，$∠ PBC = \frac{2}{3}n^{\circ}$。因为 $∠ PCD = 180^{\circ} - ∠ PCB = ∠ PBC + ∠ BPC$，所以 $∠ BPC = ∠ PCD - ∠ PBC = \frac{2}{3}(m^{\circ} + n^{\circ}) - \frac{2}{3}n^{\circ} = \frac{2}{3}m^{\circ}$。
情况二：如图②，当 $BP$ 和 $CP$ 分别是“邻 $BC$ 三分线”“邻 $AC$ 三分线”时，由外角可知 $∠ PCD = \frac{2}{3} ∠ ACD = \frac{2}{3}(180^{\circ} - ∠ ACB) = \frac{2}{3}(∠ A + ∠ ABC) = \frac{2}{3}(m^{\circ} + n^{\circ})$，$∠ PBC = \frac{1}{3}n^{\circ}$。因为 $∠ PCD = 180^{\circ} - ∠ PCB = ∠ PBC + ∠ BPC$，所以 $∠ BPC = ∠ PCD - ∠ PBC = \frac{2}{3}(m^{\circ} + n^{\circ}) - \frac{1}{3}n^{\circ} = \frac{2m^{\circ} + n^{\circ}}{3}$。
情况三：当 $BP$ 和 $CP$ 分别是“邻 $AB$ 三分线”“邻 $CD$ 三分线”时，
①当 $m^{\circ} ＞ n^{\circ}$ 时，如图③，由外角易得 $∠ PCD = \frac{1}{3} ∠ ACD = \frac{1}{3}(m^{\circ} + n^{\circ})$，$∠ PBC = \frac{2}{3}n^{\circ}$，$∠ BPC = ∠ PCD - ∠ PBC = \frac{1}{3}(m^{\circ} + n^{\circ}) - \frac{2}{3}n^{\circ} = \frac{m^{\circ} - n^{\circ}}{3}$。
②当 $m^{\circ} ＜ n^{\circ}$ 时，如图④，由外角及对顶角可得 $∠ DCE = ∠ PCB = \frac{1}{3} ∠ ACD = \frac{1}{3}(m^{\circ} + n^{\circ})$，$∠ FBC = \frac{2}{3}n^{\circ}$，易得 $∠ BPC = ∠ FBC - ∠ PCB = \frac{2}{3}n^{\circ} - \frac{1}{3}(m^{\circ} + n^{\circ}) = \frac{n^{\circ} - m^{\circ}}{3}$。
情况四：如图⑤，当 $BP$ 和 $CP$ 分别是“邻 $BC$ 三分线”“邻 $CD$ 三分线”时，由外角易得 $∠ PCD = \frac{1}{3} ∠ ACD = \frac{1}{3}(m^{\circ} + n^{\circ})$，$∠ PBC = \frac{1}{3}n^{\circ}$，$∠ BPC = ∠ PCD - ∠ PBC = \frac{1}{3}(m^{\circ} + n^{\circ}) - \frac{1}{3}n^{\circ} = \frac{1}{3}m^{\circ}$。
综上所述，$∠ BPC$ 的度数是 $\frac{2}{3}m^{\circ}$ 或 $\frac{2m^{\circ} + n^{\circ}}{3}$ 或 $\frac{m^{\circ} - n^{\circ}}{3}$ 或 $\frac{n^{\circ} - m^{\circ}}{3}$ 或 $\frac{1}{3}m^{\circ}$。