1. 如图，在$△ ABC$中，$∠ C=∠ ABC=\frac{3}{2}∠ A$，$BD$是边$AC$上的高，则$∠ DBC=$
$22.5^{\circ}$
。答案：1. $22.5^{\circ}$ 解析：设 $∠ A = x$，则 $∠ C = ∠ ABC = \frac{3}{2}x$。因为 $BD$ 是边 $AC$ 上的高，所以 $∠ ADB = ∠ CDB = 90^{\circ}$，所以 $∠ ABD = 90^{\circ} - ∠ A = 90^{\circ} - x$，$∠ DBC = 90^{\circ} - ∠ C = 90^{\circ} - \frac{3}{2}x$，所以 $90^{\circ} - x + 90^{\circ} - \frac{3}{2}x = \frac{3}{2}x$，解得 $x = 45^{\circ}$，所以 $∠ DBC = 90^{\circ} - \frac{3}{2}x = 22.5^{\circ}$。
解析：
解：设$∠A = x$，则$∠C = ∠ABC = \frac{3}{2}x$。
因为三角形内角和为$180^{\circ}$，所以$x + \frac{3}{2}x + \frac{3}{2}x = 180^{\circ}$，解得$x = 45^{\circ}$。
所以$∠C = \frac{3}{2}×45^{\circ} = 67.5^{\circ}$。
因为$BD$是边$AC$上的高，所以$∠BDC = 90^{\circ}$。
在$△BDC$中，$∠DBC = 180^{\circ} - ∠BDC - ∠C = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 67.5^{\circ} = 22.5^{\circ}$。
$22.5^{\circ}$
因为三角形内角和为$180^{\circ}$，所以$x + \frac{3}{2}x + \frac{3}{2}x = 180^{\circ}$，解得$x = 45^{\circ}$。
所以$∠C = \frac{3}{2}×45^{\circ} = 67.5^{\circ}$。
因为$BD$是边$AC$上的高，所以$∠BDC = 90^{\circ}$。
在$△BDC$中，$∠DBC = 180^{\circ} - ∠BDC - ∠C = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 67.5^{\circ} = 22.5^{\circ}$。
$22.5^{\circ}$
2. 已知一个多边形的每一个外角都相等，一个内角与一个外角的度数之比为$7:2$，则这个多边形的边数为
$9$
，内角和为$1260$
$^{\circ}$。答案：2. $9$ $1260$ 解析：因为多边形的每一个外角都相等，所以它的每个内角都相等。设它的一个内角为 $7x$，一个外角为 $2x$。根据题意得 $7x + 2x = 180^{\circ}$，解得 $x = 20^{\circ}$，所以 $2x = 2 × 20^{\circ} = 40^{\circ}$，所以这个多边形的边数为 $360^{\circ} ÷ 40^{\circ} = 9$，内角和为 $(9 - 2) × 180^{\circ} = 7 × 180^{\circ} = 1260^{\circ}$。
解析：
设这个多边形的一个内角为$7x$，一个外角为$2x$。
因为多边形的一个内角与它相邻的外角互补，所以$7x + 2x = 180^{\circ}$，
解得$x = 20^{\circ}$，
则外角的度数为$2x = 2×20^{\circ}=40^{\circ}$。
由于多边形的外角和为$360^{\circ}$，所以这个多边形的边数为$360^{\circ}÷40^{\circ}=9$。
其内角和为$(9 - 2)×180^{\circ}=7×180^{\circ}=1260^{\circ}$。
9；1260
因为多边形的一个内角与它相邻的外角互补，所以$7x + 2x = 180^{\circ}$，
解得$x = 20^{\circ}$，
则外角的度数为$2x = 2×20^{\circ}=40^{\circ}$。
由于多边形的外角和为$360^{\circ}$，所以这个多边形的边数为$360^{\circ}÷40^{\circ}=9$。
其内角和为$(9 - 2)×180^{\circ}=7×180^{\circ}=1260^{\circ}$。
9；1260
3. 如图，在$△ ABC$中，$∠ ABC$，$∠ ACB$的三等分线交于点$E$，$D$，$F$，$G$，若$∠ BFC=132^{\circ}$，$∠ BGC=118^{\circ}$，求$∠ A$的度数。
答案：3. 因为 $∠ ABC$，$∠ ACB$ 的三等分线交于点 $E$，$D$，$F$，$G$，所以 $∠ CBG = ∠ EBG = ∠ ABE = \frac{1}{3} ∠ ABC$，$∠ BCF = ∠ ECF = ∠ ACE = \frac{1}{3} ∠ ACB$。在 $△ BCG$ 中，$∠ BGC = 118^{\circ}$，所以 $∠ CBG + ∠ BCE = 180^{\circ} - ∠ BGC = 180^{\circ} - 118^{\circ} = 62^{\circ}$，所以 $∠ CBG + 2 ∠ BCF = 62^{\circ}$ ①。在 $△ BCF$ 中，$∠ BFC = 132^{\circ}$，所以 $∠ BCF + ∠ CBF = 180^{\circ} - ∠ BFC = 180^{\circ} - 132^{\circ} = 48^{\circ}$，所以 $∠ BCF + 2 ∠ CBG = 48^{\circ}$ ②，①+②得 $3 ∠ BCF + 3 ∠ CBG = 110^{\circ}$，即 $∠ ACB + ∠ ABC = 110^{\circ}$，所以 $∠ A = 180^{\circ} - (∠ ACB + ∠ ABC) = 180^{\circ} - 110^{\circ} = 70^{\circ}$。
4. (1)如图①，以四边形$ABCD$各顶点及各边延长线上的点构成$△ AEF$，$△ BGH$，$△ CMN$，$△ DPQ$，则$∠ E+∠ F+∠ G+∠ H+∠ M+∠ N+∠ P+∠ Q$的度数为
(2)如图②，点$D$，$E$，$F$分别是$△ ABC$的边$BC$，$AC$，$AB$上的点，则$∠ 1+∠ 2+∠ 3+∠ 4+∠ 5+∠ 6$的度数为
$360^{\circ}$
。(2)如图②，点$D$，$E$，$F$分别是$△ ABC$的边$BC$，$AC$，$AB$上的点，则$∠ 1+∠ 2+∠ 3+∠ 4+∠ 5+∠ 6$的度数为
$360^{\circ}$
。答案：4. (1)$360^{\circ}$ 解析：因为 $∠ FAB$ 是 $△ FEA$ 的外角，所以 $∠ FAB + ∠ FAE = ∠ E + ∠ F + ∠ FAE = 180^{\circ}$，所以 $∠ FAB = ∠ E + ∠ F$。同理，$∠ HBC = ∠ G + ∠ H$，$∠ DCN = ∠ M + ∠ N$，$∠ QDA = ∠ P + ∠ Q$。因为四边形的外角和为 $360^{\circ}$，所以 $∠ FAB + ∠ HBC + ∠ DCN + ∠ QDA = 360^{\circ}$，所以 $∠ E + ∠ F + ∠ G + ∠ H + ∠ M + ∠ N + ∠ P + ∠ Q = 360^{\circ}$。
(2)$360^{\circ}$ 解析：不妨设 $AD$ 和 $CF$ 交于点 $M$，$AD$ 和 $BE$ 交于点 $H$，$BE$ 和 $CF$ 交于点 $N$，因为 $180^{\circ} - ∠ CMD = ∠ 2 + ∠ 3$，所以 $∠ AMC = ∠ 2 + ∠ 3$，同理，$∠ AHB = ∠ 4 + ∠ 5$，$∠ BNC = ∠ 1 + ∠ 6$。所以 $∠ 1 + ∠ 2 + ∠ 3 + ∠ 4 + ∠ 5 + ∠ 6 = ∠ AMC + ∠ AHB + ∠ BNC = 360^{\circ}$。
(2)$360^{\circ}$ 解析：不妨设 $AD$ 和 $CF$ 交于点 $M$，$AD$ 和 $BE$ 交于点 $H$，$BE$ 和 $CF$ 交于点 $N$，因为 $180^{\circ} - ∠ CMD = ∠ 2 + ∠ 3$，所以 $∠ AMC = ∠ 2 + ∠ 3$，同理，$∠ AHB = ∠ 4 + ∠ 5$，$∠ BNC = ∠ 1 + ∠ 6$。所以 $∠ 1 + ∠ 2 + ∠ 3 + ∠ 4 + ∠ 5 + ∠ 6 = ∠ AMC + ∠ AHB + ∠ BNC = 360^{\circ}$。
5. (2025·绥化月考)如图①，六边形的内角和$∠ 1+∠ 2+∠ 3+∠ 4+∠ 5+∠ 6$为$m$度，如图②，六边形的内角和$∠ 1+∠ 2+∠ 3+∠ 4+∠ 5+∠ 6$为$n$度，则$m - n$的值为
$0$
。答案：
5. $0$ 解析：如图，将图①和图②的多边形转化为两个三角形和一个四边形。
所以在图①中，$∠ 1 + ∠ 2 + ∠ 3 + ∠ 4 + ∠ 5 + ∠ 6 = 2 × 180^{\circ} + 360^{\circ} = 720^{\circ}$，在图②中，$∠ 1 + ∠ 2 + ∠ 3 + ∠ 4 + ∠ 5 + ∠ 6 = 2 × 180^{\circ} + 360^{\circ} = 720^{\circ}$，所以 $m = n = 720$，所以 $m - n = 0$。
5. $0$ 解析：如图，将图①和图②的多边形转化为两个三角形和一个四边形。
所以在图①中，$∠ 1 + ∠ 2 + ∠ 3 + ∠ 4 + ∠ 5 + ∠ 6 = 2 × 180^{\circ} + 360^{\circ} = 720^{\circ}$，在图②中，$∠ 1 + ∠ 2 + ∠ 3 + ∠ 4 + ∠ 5 + ∠ 6 = 2 × 180^{\circ} + 360^{\circ} = 720^{\circ}$，所以 $m = n = 720$，所以 $m - n = 0$。
6. 如图，$∠ A+∠ B+∠ C+∠ D+∠ E+∠ F+∠ G$的度数为
$540^{\circ}$
。答案：
6. $540^{\circ}$ 解析：如图，连接 $DG$，$AC$。在四边形 $EFGD$ 中，$∠ E + ∠ F + ∠ EDG + ∠ DGF = 360^{\circ}$，易证 $∠ 1 + ∠ 2 = ∠ 3 + ∠ 4$，$∠ 5 + ∠ 6 + ∠ B = 180^{\circ}$，所以 $∠ BAG + ∠ B + ∠ BCD + ∠ CDE + ∠ E + ∠ F + ∠ AGF = 540^{\circ}$。
6. $540^{\circ}$ 解析：如图，连接 $DG$，$AC$。在四边形 $EFGD$ 中，$∠ E + ∠ F + ∠ EDG + ∠ DGF = 360^{\circ}$，易证 $∠ 1 + ∠ 2 = ∠ 3 + ∠ 4$，$∠ 5 + ∠ 6 + ∠ B = 180^{\circ}$，所以 $∠ BAG + ∠ B + ∠ BCD + ∠ CDE + ∠ E + ∠ F + ∠ AGF = 540^{\circ}$。
7. 如图，将六边形纸片$ABCDEF$沿虚线剪去一个角($∠ BCD$)后，得到$∠ 1+∠ 2+∠ 3+∠ 4+∠ 5=460^{\circ}$，则$∠ BGD$的度数为
$100$
$^{\circ}$。答案：7. $100$ 解析：因为六边形 $ABCDEF$ 的内角和为 $180^{\circ} × (6 - 2) = 720^{\circ}$，且 $∠ 1 + ∠ 2 + ∠ 3 + ∠ 4 + ∠ 5 = 460^{\circ}$，所以 $∠ GBC + ∠ C + ∠ CDG = 720^{\circ} - 460^{\circ} = 260^{\circ}$，所以 $∠ BGD = 360^{\circ} - (∠ GBC + ∠ C + ∠ CDG) = 100^{\circ}$。
解析：
解：六边形$ABCDEF$的内角和为$180^{\circ}×(6 - 2)=720^{\circ}$。
因为$∠1+∠2+∠3+∠4+∠5 = 460^{\circ}$，
所以$∠ GBC+∠ C+∠ CDG=720^{\circ}-460^{\circ}=260^{\circ}$。
在四边形$BCDG$中，$∠ BGD=360^{\circ}-(∠ GBC+∠ C+∠ CDG)=360^{\circ}-260^{\circ}=100^{\circ}$。
$100$
因为$∠1+∠2+∠3+∠4+∠5 = 460^{\circ}$，
所以$∠ GBC+∠ C+∠ CDG=720^{\circ}-460^{\circ}=260^{\circ}$。
在四边形$BCDG$中，$∠ BGD=360^{\circ}-(∠ GBC+∠ C+∠ CDG)=360^{\circ}-260^{\circ}=100^{\circ}$。
$100$
8. 如图，把一个四边形纸片$ABCD$的四个顶角分别向内折叠，折叠之后，$4$个顶点不重合，则图中$∠ 1+∠ 2+∠ 3+∠ 4+∠ 5+∠ 6+∠ 7+∠ 8$的度数为
$720$
$^{\circ}$。答案：
8. $720$ 解析：如图，由题意可知 $2 ∠ α + ∠ 1 = 180^{\circ}$，$2 ∠ β + ∠ 2 = 180^{\circ}$，所以 $∠ 1 + ∠ 2 = 360^{\circ} - 2 ∠ α - 2 ∠ β = ∠ A + ∠ A'$。同理，可得 $∠ 3 + ∠ 4 = ∠ B + ∠ B'$，$∠ 5 + ∠ 6 = ∠ C + ∠ C'$，$∠ 7 + ∠ 8 = ∠ D + ∠ D'$，所以 $∠ 1 + ∠ 2 + ∠ 3 + ∠ 4 + ∠ 5 + ∠ 6 + ∠ 7 + ∠ 8 = ∠ A + ∠ A' + ∠ B + ∠ B' + ∠ C + ∠ C' + ∠ D + ∠ D'$。因为 $∠ A = ∠ A'$，$∠ B = ∠ B'$，$∠ C = ∠ C'$，$∠ D = ∠ D'$，所以 $∠ 1 + ∠ 2 + ∠ 3 + ∠ 4 + ∠ 5 + ∠ 6 + ∠ 7 + ∠ 8 = 2(∠ A + ∠ B + ∠ C + ∠ D) = 2 × 360^{\circ} = 720^{\circ}$。
8. $720$ 解析：如图，由题意可知 $2 ∠ α + ∠ 1 = 180^{\circ}$，$2 ∠ β + ∠ 2 = 180^{\circ}$，所以 $∠ 1 + ∠ 2 = 360^{\circ} - 2 ∠ α - 2 ∠ β = ∠ A + ∠ A'$。同理，可得 $∠ 3 + ∠ 4 = ∠ B + ∠ B'$，$∠ 5 + ∠ 6 = ∠ C + ∠ C'$，$∠ 7 + ∠ 8 = ∠ D + ∠ D'$，所以 $∠ 1 + ∠ 2 + ∠ 3 + ∠ 4 + ∠ 5 + ∠ 6 + ∠ 7 + ∠ 8 = ∠ A + ∠ A' + ∠ B + ∠ B' + ∠ C + ∠ C' + ∠ D + ∠ D'$。因为 $∠ A = ∠ A'$，$∠ B = ∠ B'$，$∠ C = ∠ C'$，$∠ D = ∠ D'$，所以 $∠ 1 + ∠ 2 + ∠ 3 + ∠ 4 + ∠ 5 + ∠ 6 + ∠ 7 + ∠ 8 = 2(∠ A + ∠ B + ∠ C + ∠ D) = 2 × 360^{\circ} = 720^{\circ}$。