1. (2025·南京期末)定义:多项式 $ A,B,C $,如果满足 $ B^{2}-A×C=m $, $ m $ 为常数时,则称多项式 $ A $, $ B $, $ C $ 为一组和谐多项式.其中 $ m $ 是该组和谐多项式的和谐果.
例如:对于多项式 $ A=x+1 $, $ B=x+3 $, $ C=x+5 $,因为 $ B^{2}-A×C=(x+3)^{2}-(x+1)(x+5)=4 $,所以多项式 $ x+1 $, $ x+3 $, $ x+5 $ 是一组和谐多项式, $ 4 $ 是该组和谐多项式的和谐果.
(1)判断多项式 $ A=x+3 $, $ B=x-6 $, $ C=x-15 $ 是否为一组和谐多项式? 若是,请求出该组和谐多项式的和谐果;若不是,请说明理由.
(2)多项式 $ A=x+a $, $ B=x+b $, $ C=x+c $ ($ a,b,c $ 是常数)是一组和谐多项式,求 $ a,b,c $ 之间的数量关系.
(3)多项式 $ A=2x+1 $, $ B=4x+5 $, $ C=dx+e $ ($ d,e $ 是常数)是一组和谐多项式,请直接写出该组和谐多项式的和谐果 $ m $ 的值.
例如:对于多项式 $ A=x+1 $, $ B=x+3 $, $ C=x+5 $,因为 $ B^{2}-A×C=(x+3)^{2}-(x+1)(x+5)=4 $,所以多项式 $ x+1 $, $ x+3 $, $ x+5 $ 是一组和谐多项式, $ 4 $ 是该组和谐多项式的和谐果.
(1)判断多项式 $ A=x+3 $, $ B=x-6 $, $ C=x-15 $ 是否为一组和谐多项式? 若是,请求出该组和谐多项式的和谐果;若不是,请说明理由.
(2)多项式 $ A=x+a $, $ B=x+b $, $ C=x+c $ ($ a,b,c $ 是常数)是一组和谐多项式,求 $ a,b,c $ 之间的数量关系.
(3)多项式 $ A=2x+1 $, $ B=4x+5 $, $ C=dx+e $ ($ d,e $ 是常数)是一组和谐多项式,请直接写出该组和谐多项式的和谐果 $ m $ 的值.
答案：1.(1)多项式A=x+3,B=x−6,C=x−15是一组和谐多项式.
B²−A×C=(x−6)²−(x+3)(x−15)=x²−12x+36−(x²−12x−45)=x²−12x+36−x²+12x+45=81.
(2)(x+b)²−(x+a)(x+c)=x²+2bx+b²−(x²+ax+cx+ac)=(2b−a−c)x+b²−ac.
∵多项式A=x+a,B=x+b,C=x+c(a,b,c是常数)是一组和谐多项式,
∴2b−a−c=0.
(3)m=9 解析:(4x+5)²−(2x+1)(dx+e)=16x²+40x+25−2dx²−2ex−dx−e=(16−2d)x²+(40−2e−d)x+25−e.
∵多项式A=2x+1,B=4x+5,C=dx+e(d,e是常数)是一组和谐多项式,
∴16−2d=0,40−2e−d=0,解得d=8,e=16,
∴m=25−e=25−16=9.
B²−A×C=(x−6)²−(x+3)(x−15)=x²−12x+36−(x²−12x−45)=x²−12x+36−x²+12x+45=81.
(2)(x+b)²−(x+a)(x+c)=x²+2bx+b²−(x²+ax+cx+ac)=(2b−a−c)x+b²−ac.
∵多项式A=x+a,B=x+b,C=x+c(a,b,c是常数)是一组和谐多项式,
∴2b−a−c=0.
(3)m=9 解析:(4x+5)²−(2x+1)(dx+e)=16x²+40x+25−2dx²−2ex−dx−e=(16−2d)x²+(40−2e−d)x+25−e.
∵多项式A=2x+1,B=4x+5,C=dx+e(d,e是常数)是一组和谐多项式,
∴16−2d=0,40−2e−d=0,解得d=8,e=16,
∴m=25−e=25−16=9.
2. (2025·扬州期中)我们定义,关于同一个未知数的不等式 $ A $ 和 $ B $,若 $ A $ 的解都是 $ B $ 的解,则称 $ A $ 与 $ B $ 存在“雅含”关系,且 $ A $ 不等式称为 $ B $ 不等式的“子式”.如 $ A:x＜0 $, $ B:x＜1 $,满足 $ A $ 的解都是 $ B $ 的解,所以 $ A $ 与 $ B $ 存在“雅含”关系, $ A $ 是 $ B $ 的“子式”.
(1)若关于 $ x $ 的不等式 $ A:x+2＞1 $, $ B:x＞3 $,则 $ A $ 与 $ B $ 存在“雅含”关系,
(2)已知关于 $ x $ 的不等式 $ C:\frac{x - 1}{2}＜\frac{a + 1}{3} $, $ D:2x-(3+x)＜3 $,若 $ C $ 与 $ D $ 存在“雅含”关系,且 $ C $ 是 $ D $ 的“子式”,求 $ a $ 的取值范围;
(3)已知 $ 2m + n = k $, $ m - n = 3 $, $ m ≥ \frac{1}{2} $, $ n ＜ - 1 $,且 $ k $ 为整数,关于 $ x $ 的不等式 $ P:kx + 6 ＞ x + 4 $, $ Q:6(2x - 1) ≤ 4x + 2 $,请分析是否存在 $ k $,使得 $ P $ 与 $ Q $ 存在“雅含”关系,且 $ Q $ 是 $ P $ 的“子式”,若存在,请直接写出 $ k $ 的值;若不存在,请说明理由.
(1)若关于 $ x $ 的不等式 $ A:x+2＞1 $, $ B:x＞3 $,则 $ A $ 与 $ B $ 存在“雅含”关系,
B是A
的“子式”(填“$ A $ 是 $ B $”或“$ B $ 是 $ A $”);(2)已知关于 $ x $ 的不等式 $ C:\frac{x - 1}{2}＜\frac{a + 1}{3} $, $ D:2x-(3+x)＜3 $,若 $ C $ 与 $ D $ 存在“雅含”关系,且 $ C $ 是 $ D $ 的“子式”,求 $ a $ 的取值范围;
(3)已知 $ 2m + n = k $, $ m - n = 3 $, $ m ≥ \frac{1}{2} $, $ n ＜ - 1 $,且 $ k $ 为整数,关于 $ x $ 的不等式 $ P:kx + 6 ＞ x + 4 $, $ Q:6(2x - 1) ≤ 4x + 2 $,请分析是否存在 $ k $,使得 $ P $ 与 $ Q $ 存在“雅含”关系,且 $ Q $ 是 $ P $ 的“子式”,若存在,请直接写出 $ k $ 的值;若不存在,请说明理由.
答案：2.(1)B是A 解析:
∵不等式A:x+2＞1的解集为x＞−1,
∴A与B存在“雅含”关系,B是A的“子式”
(2)
∵不等式C:$\frac{x−1}{2}$＜$\frac{a+1}{3}$的解集为x＜$\frac{2a+5}{3}$,不等式D:2x−(3+x)＜3的解集为x＜6,且C是D的“子式”，
∴$\frac{2a+5}{3}$≤6,解得a≤$\frac{13}{2}$
(3)k的值为0或1. 解析:由$\begin{cases}2m + n = k \\ m - n = 3 \end{cases}$得$\begin{cases}m = \frac{k + 3}{3} \\ n = \frac{k - 6}{3} \end{cases}$
∵m≥$\frac{1}{2}$,n＜−1,
∴$\begin{cases}\frac{k + 3}{3} ≥ \frac{1}{2} \\ \frac{k - 6}{3} ＜ - 1 \end{cases}$解得$-\frac{3}{2} ≤ k ＜ 3$
∵k为整数,
∴k的值为−1,0,1,2.
不等式P:kx+6＞x+4,整理得(k−1)x＞−2;
不等式Q:6(2x−1)≤4x+2的解集为x≤1.
当k=1时,不等式P的解集是全体实数,
∴P与Q存在“雅含”关系,且Q是P的“子式”;
当k＞1时,k=2,不等式P的解集为x＞−2,不能满足P与Q存在“雅含”关系;
当k＜1时,k=−1或0,不等式P的解集为x＜1或x＜2.
∵P与Q存在“雅含”关系，且Q是P的“子式”,
∴k=0.综上,k的值为0或1.
∵不等式A:x+2＞1的解集为x＞−1,
∴A与B存在“雅含”关系,B是A的“子式”
(2)
∵不等式C:$\frac{x−1}{2}$＜$\frac{a+1}{3}$的解集为x＜$\frac{2a+5}{3}$,不等式D:2x−(3+x)＜3的解集为x＜6,且C是D的“子式”，
∴$\frac{2a+5}{3}$≤6,解得a≤$\frac{13}{2}$
(3)k的值为0或1. 解析:由$\begin{cases}2m + n = k \\ m - n = 3 \end{cases}$得$\begin{cases}m = \frac{k + 3}{3} \\ n = \frac{k - 6}{3} \end{cases}$
∵m≥$\frac{1}{2}$,n＜−1,
∴$\begin{cases}\frac{k + 3}{3} ≥ \frac{1}{2} \\ \frac{k - 6}{3} ＜ - 1 \end{cases}$解得$-\frac{3}{2} ≤ k ＜ 3$
∵k为整数,
∴k的值为−1,0,1,2.
不等式P:kx+6＞x+4,整理得(k−1)x＞−2;
不等式Q:6(2x−1)≤4x+2的解集为x≤1.
当k=1时,不等式P的解集是全体实数,
∴P与Q存在“雅含”关系,且Q是P的“子式”;
当k＞1时,k=2,不等式P的解集为x＞−2,不能满足P与Q存在“雅含”关系;
当k＜1时,k=−1或0,不等式P的解集为x＜1或x＜2.
∵P与Q存在“雅含”关系，且Q是P的“子式”,
∴k=0.综上,k的值为0或1.