3. (2025·无锡期末)定义:关于 $ x,y $ 的二元一次方程 $ ax + by = c $(其中 $ a ≠ b ≠ c ≠ 0 $)中的常数项 $ c $ 与未知数 $ x $ 的系数 $ a $ 互换,得到的方程叫“亲密方程”,例如:$ ax + by = c $ 的“亲密方程”为 $ cx + by = a $.
(1)方程 $ x + 3y = 5 $ 的“亲密方程”为
(2)已知关于 $ x,y $ 的二元一次方程 $ ax + by = c $ 的系数满足 $ a - 2b + c = 0 $,且 $ ax + by = c $ 与它的“亲密方程”组成的方程组的解恰好是关于 $ x $, $ y $ 的二元一次方程 $ mx + ny = p $ 的一个解,求代数式 $ (m - 2n)m - p(p - 2n) + 2025 $ 的值;
(3)已知整数 $ m,n,t $,满足条件 $ t ＜ n ＜ m $,并且 $ (4m - t)x + 2025y = m + 2t - 4 $ 是关于 $ x,y $ 的二元一次方程 $ nx + 2025y = 3m + 4 $ 的“亲密方程”,求 $ m $ 的值.
(1)方程 $ x + 3y = 5 $ 的“亲密方程”为
5x+3y=1
;(2)已知关于 $ x,y $ 的二元一次方程 $ ax + by = c $ 的系数满足 $ a - 2b + c = 0 $,且 $ ax + by = c $ 与它的“亲密方程”组成的方程组的解恰好是关于 $ x $, $ y $ 的二元一次方程 $ mx + ny = p $ 的一个解,求代数式 $ (m - 2n)m - p(p - 2n) + 2025 $ 的值;
(3)已知整数 $ m,n,t $,满足条件 $ t ＜ n ＜ m $,并且 $ (4m - t)x + 2025y = m + 2t - 4 $ 是关于 $ x,y $ 的二元一次方程 $ nx + 2025y = 3m + 4 $ 的“亲密方程”,求 $ m $ 的值.
答案：3.(1)5x+3y=1 解析:由题意得,方程x+3y=5的“亲密方程”为5x+3y=1.
(2)由题意得$\begin{cases}ax + by = c \\ cx + by = a \end{cases}$，解得$\begin{cases}x = - 1 \\ y = \frac{a + c}{b} \end{cases}$
∵a−2b+c=0,
∴$\frac{a + c}{b}$=$\frac{2b}{b}$=2,
∴方程组$\begin{cases}ax + by = c \\ cx + by = a \end{cases}$的解为$\begin{cases}x = - 1 \\ y = 2 \end{cases}$
∵方程组$\begin{cases}ax + by = c \\ cx + by = a \end{cases}$的解是方程mx+ny=p的一个解,
∴−m+2n=p,
∴m−2n=−p,p−2n=−m,
∴(m−2n)m−p(p−2n)+2025=−pm−p(−m)+2025=2025.
(3)
∵(4m−t)x+2025y=m+2t−4是关于x,y的二元一次方程nx+2025y=3m+4的“亲密方程”,
∴$\begin{cases}4m - t = 3m + 4 \\ n = m + 2t - 4 \end{cases}$解得$\begin{cases}t = m - 4 \\ n = 3m - 12 \end{cases}$
∵整数m,n,t满足条件t＜n＜m,
∴m−4＜3m−12＜m,
∴4＜m＜6,
∴m=5.
(2)由题意得$\begin{cases}ax + by = c \\ cx + by = a \end{cases}$，解得$\begin{cases}x = - 1 \\ y = \frac{a + c}{b} \end{cases}$
∵a−2b+c=0,
∴$\frac{a + c}{b}$=$\frac{2b}{b}$=2,
∴方程组$\begin{cases}ax + by = c \\ cx + by = a \end{cases}$的解为$\begin{cases}x = - 1 \\ y = 2 \end{cases}$
∵方程组$\begin{cases}ax + by = c \\ cx + by = a \end{cases}$的解是方程mx+ny=p的一个解,
∴−m+2n=p,
∴m−2n=−p,p−2n=−m,
∴(m−2n)m−p(p−2n)+2025=−pm−p(−m)+2025=2025.
(3)
∵(4m−t)x+2025y=m+2t−4是关于x,y的二元一次方程nx+2025y=3m+4的“亲密方程”,
∴$\begin{cases}4m - t = 3m + 4 \\ n = m + 2t - 4 \end{cases}$解得$\begin{cases}t = m - 4 \\ n = 3m - 12 \end{cases}$
∵整数m,n,t满足条件t＜n＜m,
∴m−4＜3m−12＜m,
∴4＜m＜6,
∴m=5.
4. (2025·宿迁期末)新定义:若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内,则称该一元一次方程为该不等式组的“相依方程”,例如:方程 $ x - 1 = 3 $ 的解为 $ x = 4 $,而不等式组 $ \begin{cases}x - 1 ＞ 1,\\x - 2 ＜ 3\end{cases} $ 的解集为 $ 2 ＜ x ＜ 5 $,不难发现 $ x = 4 $ 在 $ 2 ＜ x ＜ 5 $ 的范围内,所以方程 $ x - 1 = 3 $ 是不等式组 $ \begin{cases}x - 1 ＞ 1,\\x - 2 ＜ 3\end{cases} $ 的“相依方程”.
(1)判断方程 $ x - 3 = 0 $ 是否是不等式组 $ \begin{cases}x - 5 ≤ 0,\\- 2x ＜ - 4\end{cases} $ 的“相依方程”,并说明理由;
(2)若关于 $ x $ 的方程 $ 3x - k = 6 $ 不是不等式组 $ \begin{cases}2x - 1 ＞ x - 2, & ①\\3(x + 1) ≤ 6 & ②\end{cases} $ 的“相依方程”,求 $ k $ 的取值范围;
(3)若关于 $ x $ 的方程 $ 2x + 3 = 4m $ 是关于 $ x $ 的不等式组 $ \begin{cases}x - m ＞ - 1, & ①\frac{x - 1}{3} ≤ m & ②\end{cases} $ 的“相依方程”,且此时不等式组仅有 $ 3 $ 个整数解.试求 $ m $ 的取值范围.
(1)判断方程 $ x - 3 = 0 $ 是否是不等式组 $ \begin{cases}x - 5 ≤ 0,\\- 2x ＜ - 4\end{cases} $ 的“相依方程”,并说明理由;
(2)若关于 $ x $ 的方程 $ 3x - k = 6 $ 不是不等式组 $ \begin{cases}2x - 1 ＞ x - 2, & ①\\3(x + 1) ≤ 6 & ②\end{cases} $ 的“相依方程”,求 $ k $ 的取值范围;
(3)若关于 $ x $ 的方程 $ 2x + 3 = 4m $ 是关于 $ x $ 的不等式组 $ \begin{cases}x - m ＞ - 1, & ①\frac{x - 1}{3} ≤ m & ②\end{cases} $ 的“相依方程”,且此时不等式组仅有 $ 3 $ 个整数解.试求 $ m $ 的取值范围.
答案：4.(1)由方程x−3=0解得x=3,由不等式组$\begin{cases}x - 5 ≤ 0 \\ - 2x ＜ - 4 \end{cases}$解得2＜x≤5,
∴方程x−3=0是不等式组的“相依方程”.
(2)由不等式组$\begin{cases}2x - 1 ＞ x - 2 \\ 3(x + 1) ≤ 6 \end{cases}$解得−1＜x≤1,由方程3x−k=6解得x=$\frac{6 + k}{3}$.
∵关于x的方程3x−k=6不是不等式组$\begin{cases}2x - 1 ＞ x - 2 \\ 3(x + 1) ≤ 6 \end{cases}$的“相依方程”,
∴$\frac{6 + k}{3}$≤−1或$\frac{6 + k}{3}$＞1,
∴k≤−9或k＞−3.
(3)由方程2x+3=4m解得x=$\frac{4m - 3}{2}$,由不等式组$\begin{cases}x - m ＞ - 1 \\ \frac{x - 1}{3} ≤ m \end{cases}$解得m−1＜x≤3m+1.
∵不等式组仅有3个整数解,令整数的值为n,n+1,n+2,则有n−1≤m−1＜n,n+2≤3m+1＜n+3,故$\begin{cases}n ≤ m ＜ n + 1 \\ \frac{n + 1}{3} ≤ m ＜ \frac{n + 2}{3} \end{cases}$
∴n＜$\frac{n + 2}{3}$且$\frac{n + 1}{3}$＜n+1,
∴−1＜n＜1,
∴n=0,
∴$\begin{cases}0 ≤ m ＜ 1 \\ \frac{1}{3} ≤ m ＜ \frac{2}{3} \end{cases}$
∴$\frac{1}{3}$≤m＜$\frac{2}{3}$.
∵关于x的方程2x+3=4m是关于x的不等式组$\begin{cases}x - m ＞ - 1 \\ \frac{x - 1}{3} ≤ m \end{cases}$的“相依方程”,
∴m−1＜$\frac{4m - 3}{2}$≤3m+1,解得m＞$\frac{1}{2}$,
∴m的取值范围是$\frac{1}{2}$＜m＜$\frac{2}{3}$.
∴方程x−3=0是不等式组的“相依方程”.
(2)由不等式组$\begin{cases}2x - 1 ＞ x - 2 \\ 3(x + 1) ≤ 6 \end{cases}$解得−1＜x≤1,由方程3x−k=6解得x=$\frac{6 + k}{3}$.
∵关于x的方程3x−k=6不是不等式组$\begin{cases}2x - 1 ＞ x - 2 \\ 3(x + 1) ≤ 6 \end{cases}$的“相依方程”,
∴$\frac{6 + k}{3}$≤−1或$\frac{6 + k}{3}$＞1,
∴k≤−9或k＞−3.
(3)由方程2x+3=4m解得x=$\frac{4m - 3}{2}$,由不等式组$\begin{cases}x - m ＞ - 1 \\ \frac{x - 1}{3} ≤ m \end{cases}$解得m−1＜x≤3m+1.
∵不等式组仅有3个整数解,令整数的值为n,n+1,n+2,则有n−1≤m−1＜n,n+2≤3m+1＜n+3,故$\begin{cases}n ≤ m ＜ n + 1 \\ \frac{n + 1}{3} ≤ m ＜ \frac{n + 2}{3} \end{cases}$
∴n＜$\frac{n + 2}{3}$且$\frac{n + 1}{3}$＜n+1,
∴−1＜n＜1,
∴n=0,
∴$\begin{cases}0 ≤ m ＜ 1 \\ \frac{1}{3} ≤ m ＜ \frac{2}{3} \end{cases}$
∴$\frac{1}{3}$≤m＜$\frac{2}{3}$.
∵关于x的方程2x+3=4m是关于x的不等式组$\begin{cases}x - m ＞ - 1 \\ \frac{x - 1}{3} ≤ m \end{cases}$的“相依方程”,
∴m−1＜$\frac{4m - 3}{2}$≤3m+1,解得m＞$\frac{1}{2}$,
∴m的取值范围是$\frac{1}{2}$＜m＜$\frac{2}{3}$.