5. (2024·泰州期末)定义:在一个三角形中,如果一个内角 $ α $ 的度数比另一个内角度数大 $ 36^{\circ} $,那么这样的三角形我们称为“似黄金三角形”,其中 $ α $ 称为“黄金角”.例如:一个三角形三个内角的度数分别是 $ 30^{\circ} $, $ 84^{\circ} $, $ 66^{\circ} $,这个三角形就是“似黄金三角形”,其中 $ 66^{\circ} $ 为“黄金角”.
(1)一个“似黄金三角形”的一个内角为 $ 92^{\circ} $,若“黄金角”为锐角,则这个“黄金角”的度数为
(2)如图①,在 $ △ ABC $ 中, $ ∠ A = 70^{\circ} $, $ ∠ B = 60^{\circ} $,点 $ D $ 为线段 $ AB $ 上一点(点 $ D $ 不与点 $ A $、点 $ B $ 重合).若 $ △ BCD $ 是“似黄金三角形”,求 $ ∠ BDC $ 的度数;
(3)如图②,在 $ △ ABC $ 中,点 $ D $ 在边 $ AB $ 上, $ DE $ 平分 $ ∠ ADC $ 交 $ AC $ 于点 $ E $,过点 $ E $ 作 $ EF // AB $ 交 $ CD $ 于点 $ F $,且 $ ∠ DEF = ∠ B $. 若 $ △ BCD $ 和 $ △ ACD $ 都是“似黄金三角形”,直接写出 $ ∠ A $ 的度数.
(1)一个“似黄金三角形”的一个内角为 $ 92^{\circ} $,若“黄金角”为锐角,则这个“黄金角”的度数为
62°
;(2)如图①,在 $ △ ABC $ 中, $ ∠ A = 70^{\circ} $, $ ∠ B = 60^{\circ} $,点 $ D $ 为线段 $ AB $ 上一点(点 $ D $ 不与点 $ A $、点 $ B $ 重合).若 $ △ BCD $ 是“似黄金三角形”,求 $ ∠ BDC $ 的度数;
(3)如图②,在 $ △ ABC $ 中,点 $ D $ 在边 $ AB $ 上, $ DE $ 平分 $ ∠ ADC $ 交 $ AC $ 于点 $ E $,过点 $ E $ 作 $ EF // AB $ 交 $ CD $ 于点 $ F $,且 $ ∠ DEF = ∠ B $. 若 $ △ BCD $ 和 $ △ ACD $ 都是“似黄金三角形”,直接写出 $ ∠ A $ 的度数.
答案：5.(1)62° 解析:设“黄金角”的度数为x,则另一个内角的度数为x−36°,则x+x−36°+92°=180°,
∴x=62°,
∴这个“黄金角”的度数为62°.
(2)
∵∠A=70°,∠B=60°,
∴∠ACB=180°−70°−60°=50°,
∴∠BDC＞∠B＞∠BCD.
∵△BCD为“似黄金三角形”,若∠B为“黄金角”,则∠BCD=60°−36°=24°,
∴∠BDC=180°−60°−24°=96°.
∵∠BCD最小,
∴不可能为“黄金角”若∠BDC为“黄金角”,则∠BCD=∠BDC−36°或∠B=∠BDC−36°.当∠BCD=∠BDC−36°时,
∵∠B+∠BCD+∠BDC=180°,
∴60°+∠BDC−36°+∠BDC=180°,
∴∠BDC=78°.当∠B=∠BDC−36°时,∠BDC=60°+36°=96°,综上,∠BDC的度数为96°或78°.
(3)∠A的度数为24°或60°. 解析:
∵EF//AB,
∴∠DEF=∠ADE;
∵∠DEF=∠B,
∴∠ADE=∠B.
∵DE平分∠ADC,
∴∠ADC=2∠ADE,
∴∠ADC=2∠B.
∵∠ADC=∠B+∠BCD,
∴∠B=∠BCD,设∠B=∠BCD=x.
∵△BDC为“似黄金三角形”,当∠BDC=x+36°时,
∵∠B+∠BCD+∠BDC=180°,
∴x+x+x+36°=180°,解得x=48°,
∴∠B=∠BCD=48°,
∴∠ADC=48°+48°=96°.
∵△ACD是“似黄金三角形”,当∠ACD为“黄金角”,∠ACD=∠A+36°时,
∵∠A+∠ACD+∠ADC=180°,
∴∠A+∠A+36°+96°=180°,
∴∠A=24°;当∠A为“黄金角”,∠ACD=∠A−36°时,
∵∠A+∠ACD+∠ADC=180°,
∴∠A+∠A−36°+96°=180°,
∴∠A=60°;当∠ADC为“黄金角”时,则96°=∠A+36°或96°=84°−∠A+36°,
∴∠A=60°或24°.当∠BDC=x−36°时,
∵∠B+∠BCD+∠BDC=180°,
∴x+x+x−36°=180°,
∴x=72°,
∴∠ADC=72°+72°=144°,这种情况下,△ACD不可能为“似黄金三角形”.综上,∠A的度数为24°或60°.
∴x=62°,
∴这个“黄金角”的度数为62°.
(2)
∵∠A=70°,∠B=60°,
∴∠ACB=180°−70°−60°=50°,
∴∠BDC＞∠B＞∠BCD.
∵△BCD为“似黄金三角形”,若∠B为“黄金角”,则∠BCD=60°−36°=24°,
∴∠BDC=180°−60°−24°=96°.
∵∠BCD最小,
∴不可能为“黄金角”若∠BDC为“黄金角”,则∠BCD=∠BDC−36°或∠B=∠BDC−36°.当∠BCD=∠BDC−36°时,
∵∠B+∠BCD+∠BDC=180°,
∴60°+∠BDC−36°+∠BDC=180°,
∴∠BDC=78°.当∠B=∠BDC−36°时,∠BDC=60°+36°=96°,综上,∠BDC的度数为96°或78°.
(3)∠A的度数为24°或60°. 解析:
∵EF//AB,
∴∠DEF=∠ADE;
∵∠DEF=∠B,
∴∠ADE=∠B.
∵DE平分∠ADC,
∴∠ADC=2∠ADE,
∴∠ADC=2∠B.
∵∠ADC=∠B+∠BCD,
∴∠B=∠BCD,设∠B=∠BCD=x.
∵△BDC为“似黄金三角形”,当∠BDC=x+36°时,
∵∠B+∠BCD+∠BDC=180°,
∴x+x+x+36°=180°,解得x=48°,
∴∠B=∠BCD=48°,
∴∠ADC=48°+48°=96°.
∵△ACD是“似黄金三角形”,当∠ACD为“黄金角”,∠ACD=∠A+36°时,
∵∠A+∠ACD+∠ADC=180°,
∴∠A+∠A+36°+96°=180°,
∴∠A=24°;当∠A为“黄金角”,∠ACD=∠A−36°时,
∵∠A+∠ACD+∠ADC=180°,
∴∠A+∠A−36°+96°=180°,
∴∠A=60°;当∠ADC为“黄金角”时,则96°=∠A+36°或96°=84°−∠A+36°,
∴∠A=60°或24°.当∠BDC=x−36°时,
∵∠B+∠BCD+∠BDC=180°,
∴x+x+x−36°=180°,
∴x=72°,
∴∠ADC=72°+72°=144°,这种情况下,△ACD不可能为“似黄金三角形”.综上,∠A的度数为24°或60°.
6. (2025·南京期末)定义:有一组对角互补的四边形叫作对补四边形.
(1)已知四边形 $ ABCD $ 是对补四边形.
①若 $ ∠ BAD = 65^{\circ} $,则 $ ∠ BCD = \_\_\_\_\_\_ ^{\circ} $.
②如图①, $ ∠ BAD $, $ ∠ BCD $ 的平分线分别与 $ BC $, $ AD $ 相交于点 $ E $, $ F $,且 $ ∠ D = 90^{\circ} $,求证:$ AE // CF $.
(2)如图②,在四边形 $ ABCD $ 中,对角线 $ AC $, $ BD $ 交于点 $ E $,且 $ AC $ 平分 $ ∠ BAD $, $ ∠ ABC = ∠ BEC $, $ CF $ 平分 $ ∠ BCD $,与 $ AD $ 交于点 $ F $,且 $ CF ⊥ BD $ 于点 $ G $,则四边形 $ ABCD $ 是对补四边形吗? 请说明理由.
(3)已知四边形 $ ABCD $ 是对补四边形,其三个顶点 $ A,B,D $ 如图③所示,连接 $ AB,AD $.若 $ AE $ 平分 $ ∠ BAD $, $ CF $ 平分 $ ∠ BCD $,且直线 $ AE,CF $ 交于点 $ O $(与点 $ C $ 不重合),请直接写出 $ ∠ AOC $ 与 $ ∠ D $ 之间的数量关系.
(1)已知四边形 $ ABCD $ 是对补四边形.
①若 $ ∠ BAD = 65^{\circ} $,则 $ ∠ BCD = \_\_\_\_\_\_ ^{\circ} $.
②如图①, $ ∠ BAD $, $ ∠ BCD $ 的平分线分别与 $ BC $, $ AD $ 相交于点 $ E $, $ F $,且 $ ∠ D = 90^{\circ} $,求证:$ AE // CF $.
(2)如图②,在四边形 $ ABCD $ 中,对角线 $ AC $, $ BD $ 交于点 $ E $,且 $ AC $ 平分 $ ∠ BAD $, $ ∠ ABC = ∠ BEC $, $ CF $ 平分 $ ∠ BCD $,与 $ AD $ 交于点 $ F $,且 $ CF ⊥ BD $ 于点 $ G $,则四边形 $ ABCD $ 是对补四边形吗? 请说明理由.
(3)已知四边形 $ ABCD $ 是对补四边形,其三个顶点 $ A,B,D $ 如图③所示,连接 $ AB,AD $.若 $ AE $ 平分 $ ∠ BAD $, $ CF $ 平分 $ ∠ BCD $,且直线 $ AE,CF $ 交于点 $ O $(与点 $ C $ 不重合),请直接写出 $ ∠ AOC $ 与 $ ∠ D $ 之间的数量关系.
答案：
6.(1)①115 解析:由题可知,对补四边形中两组对角均互补.
∵四边形ABCD是对补四边形，∠BAD=65°,
∴∠BCD=180°−∠BAD=180°−65°=115°.
②如图①,
∵∠BAD+∠BCD+∠B+∠D=360°,又
∵四边形ABCD是对补四边形,
∴∠BAD+∠BCD=180°.
∵AE,CF分别平分∠BAD,∠BCD,
∴∠EAF+∠ECF=90°.
∵∠ECF=∠3,
∴∠EAF+∠3=90°.在Rt△CDF中,∠D=90°,
∴∠2+∠3=90°,
∴∠EAF=∠2,
∴AE//CF;
(2)四边形ABCD是对补四边形.理由:如图②,
∵∠BEC是△ABE的外角，
∴∠BEC=∠1+∠3.又
∵∠ABC=∠BEC,
∴∠2+∠3=∠1+∠3,
∴∠1=∠2.
∵CF⊥BD,
∴∠BGC=90°.在Rt△BGC中,∠BGC=90°,
∴∠2+∠BCG=90°.又
∵∠1=∠2,
∴∠1+∠BCG=90°.
∵AC,CF分别平分∠BAD,∠BCD,
∴∠BAD=2∠1,∠BCD=2∠BCG,
∴∠BAD+∠BCD=2(∠1+∠BCG)=180°,
∴四边形ABCD是对补四边形.
(3)∠AOC−∠D=90°或∠D+∠AOC=90°或∠D−∠AOC=90°.
解析:①∠AOC−∠D=90°,如图③所示.
∵四边形ABCD是对补四边形，
∴∠B+∠D=180°,∠BAD+∠BCD=180°.
∵AE,CF分别为∠BAD和∠BCD的平分线,
∴∠1+∠2=90°.
∵四边形内角和为360°,
∴在四边形ABCO中,∠B+∠AOC=270°,即∠AOC=270°−∠B.
∵∠B+∠D=180°,
∴∠AOC=270°−(180°−∠D),即∠AOC−∠D=90°.
②∠D+∠AOC=90°,如图④所示.
∵四边形ABCD是对补四边形,
∴∠BAD+∠BCD=180°.
∵AE,CF分别为∠BAD和∠BCD的平分线,
∴∠1+∠2=90°.
∵在△AFO中,∠AFO=180°−∠2−∠AOC,在△CDF中,∠AFO=∠1+∠D,
∴∠1+∠D=180°−∠2−∠AOC,即∠D+∠AOC=90°.
③∠D−∠AOC=90°,如图⑤所示.
∵四边形ABCD是对补四边形，
∴∠B+∠D=180°,∠BAD+∠BCD=180°.
∵AE,CF分别为∠BAD和∠BCD的平分线,
∴∠1+∠2=90°.
∵在△OEC中,∠BEA=∠AOC+∠2,在△ABE中,∠BEA=180°−∠1−∠B,
∴∠AOC+∠2=180°−∠1−∠B.
∵∠B=180°−∠D,
∴∠AOC+∠2=180°−∠1−180°+∠D,即∠D−∠AOC=90°.
综上所述,∠AOC与∠D之间的数量关系为∠AOC−∠D=90°或∠D+∠AOC=90°或∠D−∠AOC=90°.
6.(1)①115 解析:由题可知,对补四边形中两组对角均互补.
∵四边形ABCD是对补四边形，∠BAD=65°,
∴∠BCD=180°−∠BAD=180°−65°=115°.
②如图①,
∵∠BAD+∠BCD+∠B+∠D=360°,又
∵四边形ABCD是对补四边形,
∴∠BAD+∠BCD=180°.
∵AE,CF分别平分∠BAD,∠BCD,
∴∠EAF+∠ECF=90°.
∵∠ECF=∠3,
∴∠EAF+∠3=90°.在Rt△CDF中,∠D=90°,
∴∠2+∠3=90°,
∴∠EAF=∠2,
∴AE//CF;
(2)四边形ABCD是对补四边形.理由:如图②,
∵∠BEC是△ABE的外角，
∴∠BEC=∠1+∠3.又
∵∠ABC=∠BEC,
∴∠2+∠3=∠1+∠3,
∴∠1=∠2.
∵CF⊥BD,
∴∠BGC=90°.在Rt△BGC中,∠BGC=90°,
∴∠2+∠BCG=90°.又
∵∠1=∠2,
∴∠1+∠BCG=90°.
∵AC,CF分别平分∠BAD,∠BCD,
∴∠BAD=2∠1,∠BCD=2∠BCG,
∴∠BAD+∠BCD=2(∠1+∠BCG)=180°,
∴四边形ABCD是对补四边形.
(3)∠AOC−∠D=90°或∠D+∠AOC=90°或∠D−∠AOC=90°.
解析:①∠AOC−∠D=90°,如图③所示.
∵四边形ABCD是对补四边形，
∴∠B+∠D=180°,∠BAD+∠BCD=180°.
∵AE,CF分别为∠BAD和∠BCD的平分线,
∴∠1+∠2=90°.
∵四边形内角和为360°,
∴在四边形ABCO中,∠B+∠AOC=270°,即∠AOC=270°−∠B.
∵∠B+∠D=180°,
∴∠AOC=270°−(180°−∠D),即∠AOC−∠D=90°.
②∠D+∠AOC=90°,如图④所示.
∵四边形ABCD是对补四边形,
∴∠BAD+∠BCD=180°.
∵AE,CF分别为∠BAD和∠BCD的平分线,
∴∠1+∠2=90°.
∵在△AFO中,∠AFO=180°−∠2−∠AOC,在△CDF中,∠AFO=∠1+∠D,
∴∠1+∠D=180°−∠2−∠AOC,即∠D+∠AOC=90°.
③∠D−∠AOC=90°,如图⑤所示.
∵四边形ABCD是对补四边形，
∴∠B+∠D=180°,∠BAD+∠BCD=180°.
∵AE,CF分别为∠BAD和∠BCD的平分线,
∴∠1+∠2=90°.
∵在△OEC中,∠BEA=∠AOC+∠2,在△ABE中,∠BEA=180°−∠1−∠B,
∴∠AOC+∠2=180°−∠1−∠B.
∵∠B=180°−∠D,
∴∠AOC+∠2=180°−∠1−180°+∠D,即∠D−∠AOC=90°.
综上所述,∠AOC与∠D之间的数量关系为∠AOC−∠D=90°或∠D+∠AOC=90°或∠D−∠AOC=90°.