3. 阅读下面材料：利用折纸可以作出角平分线。
(1) 如图①，若$∠ AOB = 58^{\circ}$，则$∠ BOC=$
(2)折叠长方形纸片，$OC$，$OD$均是折痕，折叠后，点$A$落在点$A'$处，点$B$落在点$B'$处。
①如图②，当点$B'$在$OA'$上时，求$∠ COD$的大小；
②如图③，当点$B'$在$∠ COA'$的内部时，若$∠ AOC = 44^{\circ}$，$∠ BOD = 61^{\circ}$，求$∠ A'OB'$的度数。
(1) 如图①，若$∠ AOB = 58^{\circ}$，则$∠ BOC=$
$29^{\circ}$
。(2)折叠长方形纸片，$OC$，$OD$均是折痕，折叠后，点$A$落在点$A'$处，点$B$落在点$B'$处。
①如图②，当点$B'$在$OA'$上时，求$∠ COD$的大小；
②如图③，当点$B'$在$∠ COA'$的内部时，若$∠ AOC = 44^{\circ}$，$∠ BOD = 61^{\circ}$，求$∠ A'OB'$的度数。
答案：3. (1) $29^{\circ}$ 解析:由折叠可知$∠ AOC=∠ BOC=\dfrac{1}{2}∠ AOB$.$\because ∠ AOB = 58^{\circ}$,$\therefore ∠ BOC=\dfrac{1}{2}∠ AOB=\dfrac{1}{2}×58^{\circ}=29^{\circ}$.
(2) ①由折叠可知$∠ AOC=∠ A'OC$,$\therefore ∠ AOA'=2∠ AOC$.由折叠知,$∠ BOD=∠ B'OD$,$\therefore ∠ BOB'=2∠ BOD$.$\because$点$B'$落在$OA'$上,$\therefore ∠ AOA'+∠ BOB'=180^{\circ}$,$\therefore 2∠ AOC + 2∠ BOD = 180^{\circ}$,$\therefore ∠ AOC+∠ BOD = 90^{\circ}$,即$∠ COD = 90^{\circ}$.
②由折叠可知$∠ AOA'=2∠ AOC$,$∠ BOB'=2∠ BOD$.$\because ∠ AOC = 44^{\circ}$,$∠ BOD = 61^{\circ}$,$\therefore ∠ AOA'=2∠ AOC=2×44^{\circ}=88^{\circ}$,$∠ BOB'=2∠ BOD=2×61^{\circ}=122^{\circ}$,$\therefore ∠ A'OB'=∠ AOA'+∠ BOB'-180^{\circ}=88^{\circ}+122^{\circ}-180^{\circ}=30^{\circ}$,即$∠ A'OB'=30^{\circ}$.
(2) ①由折叠可知$∠ AOC=∠ A'OC$,$\therefore ∠ AOA'=2∠ AOC$.由折叠知,$∠ BOD=∠ B'OD$,$\therefore ∠ BOB'=2∠ BOD$.$\because$点$B'$落在$OA'$上,$\therefore ∠ AOA'+∠ BOB'=180^{\circ}$,$\therefore 2∠ AOC + 2∠ BOD = 180^{\circ}$,$\therefore ∠ AOC+∠ BOD = 90^{\circ}$,即$∠ COD = 90^{\circ}$.
②由折叠可知$∠ AOA'=2∠ AOC$,$∠ BOB'=2∠ BOD$.$\because ∠ AOC = 44^{\circ}$,$∠ BOD = 61^{\circ}$,$\therefore ∠ AOA'=2∠ AOC=2×44^{\circ}=88^{\circ}$,$∠ BOB'=2∠ BOD=2×61^{\circ}=122^{\circ}$,$\therefore ∠ A'OB'=∠ AOA'+∠ BOB'-180^{\circ}=88^{\circ}+122^{\circ}-180^{\circ}=30^{\circ}$,即$∠ A'OB'=30^{\circ}$.
已知点$E$在射线$DA$上，点$F$，$G$为射线$BC$上的两个动点，满足$BD// EF$，$∠ BDG=∠ BGD$，$DG$平分$∠ BDE$。
(1)如图①，当点$G$在点$F$左侧时，我们可以设$∠ BDG = x$，$∠ FEG = y$，作$GH// BD$交$AD$于点$H$，请你运用含有$x$和$y$的代数式表示$∠ DGE$；
(2)如图②，当点$G$在点$F$右侧时，请你运用“设而不解”的方法来证明$∠ DGE$，$∠ BDG$和$∠ FEG$之间的等量关系并说明理由；
(3)如图③，当点$G$在点$F$左侧时，点$P$为$BD$延长线上一点，$DM$平分$∠ BDG$，交$BC$于点$M$，$DN$平分$∠ PDM$，交$EF$于点$N$，连接$NG$，若$DG⊥ NG$，$∠ B - ∠ DNG=∠ EDN$，请你运用所学的方法，直接写出$∠ B$的度数。
(1)如图①，当点$G$在点$F$左侧时，我们可以设$∠ BDG = x$，$∠ FEG = y$，作$GH// BD$交$AD$于点$H$，请你运用含有$x$和$y$的代数式表示$∠ DGE$；
(2)如图②，当点$G$在点$F$右侧时，请你运用“设而不解”的方法来证明$∠ DGE$，$∠ BDG$和$∠ FEG$之间的等量关系并说明理由；
(3)如图③，当点$G$在点$F$左侧时，点$P$为$BD$延长线上一点，$DM$平分$∠ BDG$，交$BC$于点$M$，$DN$平分$∠ PDM$，交$EF$于点$N$，连接$NG$，若$DG⊥ NG$，$∠ B - ∠ DNG=∠ EDN$，请你运用所学的方法，直接写出$∠ B$的度数。
答案：
4. (1) 如图①,$∠ BDG = x$,$∠ FEG = y$,$\because BD// EF$,$\therefore GH// EF$,$GH// BD$,$\therefore ∠ BDG=∠ DGH = x$,$∠ GEF=∠ HGE = y$,$\therefore ∠ DGE=∠ DGH+∠ HGE = x + y$.
(2) $∠ DGE=∠ BDG-∠ FEG$.理由如下:如图②,过点G作$GH// DB$交DA于点H,由①得$BD// EF$,$\therefore GH// DB// EF$,$\therefore ∠ BDG=∠ DGH$,$∠ FEG=∠ EGH$,$\therefore ∠ DGE=∠ DGH-∠ EGH$,$\therefore ∠ DGE=∠ BDG-∠ FEG$.
(3) $∠ B$的度数是$60^{\circ}$. 解析:设$∠ BDM=∠ MDG=α$,则$∠ BDG=∠ EDG=∠ DGB=2α$,则$DE// BF$,$∠ PDE=180^{\circ}-∠ BDE=180^{\circ}-4α$,$∠ PDM=180^{\circ}-α$.$\because DN$平分$∠ PDM$,$\therefore ∠ PDN=∠ MDN=\dfrac{1}{2}∠ PDM=90^{\circ}-\dfrac{α}{2}$,$\therefore ∠ EDN=∠ PDN-∠ PDE=90^{\circ}-\dfrac{α}{2}-(180^{\circ}-4α)=\dfrac{7}{2}α-90^{\circ}$,$∠ GDN=∠ MDN-∠ MDG=90^{\circ}-\dfrac{α}{2}-α=90^{\circ}-\dfrac{3}{2}α$.$\because DG⊥ NG$,$\therefore ∠ DGN=90^{\circ}$,$\therefore ∠ DNG=90^{\circ}-∠ GDN=90^{\circ}-(90^{\circ}-\dfrac{3}{2}α)=\dfrac{3}{2}α$.$\because DE// BF$,$\therefore ∠ B=∠ PDE=180^{\circ}-4α$.$\because ∠ B-∠ DNG=∠ EDN$,$\therefore 180^{\circ}-4α-\dfrac{3}{2}α=\dfrac{7}{2}α-90^{\circ}$,$\therefore α=30^{\circ}$,$\therefore ∠ B=180^{\circ}-4α=60^{\circ}$.
4. (1) 如图①,$∠ BDG = x$,$∠ FEG = y$,$\because BD// EF$,$\therefore GH// EF$,$GH// BD$,$\therefore ∠ BDG=∠ DGH = x$,$∠ GEF=∠ HGE = y$,$\therefore ∠ DGE=∠ DGH+∠ HGE = x + y$.
(2) $∠ DGE=∠ BDG-∠ FEG$.理由如下:如图②,过点G作$GH// DB$交DA于点H,由①得$BD// EF$,$\therefore GH// DB// EF$,$\therefore ∠ BDG=∠ DGH$,$∠ FEG=∠ EGH$,$\therefore ∠ DGE=∠ DGH-∠ EGH$,$\therefore ∠ DGE=∠ BDG-∠ FEG$.
(3) $∠ B$的度数是$60^{\circ}$. 解析:设$∠ BDM=∠ MDG=α$,则$∠ BDG=∠ EDG=∠ DGB=2α$,则$DE// BF$,$∠ PDE=180^{\circ}-∠ BDE=180^{\circ}-4α$,$∠ PDM=180^{\circ}-α$.$\because DN$平分$∠ PDM$,$\therefore ∠ PDN=∠ MDN=\dfrac{1}{2}∠ PDM=90^{\circ}-\dfrac{α}{2}$,$\therefore ∠ EDN=∠ PDN-∠ PDE=90^{\circ}-\dfrac{α}{2}-(180^{\circ}-4α)=\dfrac{7}{2}α-90^{\circ}$,$∠ GDN=∠ MDN-∠ MDG=90^{\circ}-\dfrac{α}{2}-α=90^{\circ}-\dfrac{3}{2}α$.$\because DG⊥ NG$,$\therefore ∠ DGN=90^{\circ}$,$\therefore ∠ DNG=90^{\circ}-∠ GDN=90^{\circ}-(90^{\circ}-\dfrac{3}{2}α)=\dfrac{3}{2}α$.$\because DE// BF$,$\therefore ∠ B=∠ PDE=180^{\circ}-4α$.$\because ∠ B-∠ DNG=∠ EDN$,$\therefore 180^{\circ}-4α-\dfrac{3}{2}α=\dfrac{7}{2}α-90^{\circ}$,$\therefore α=30^{\circ}$,$\therefore ∠ B=180^{\circ}-4α=60^{\circ}$.