26. （10分）（2025·宿迁期末）近年来新能源汽车产业及市场迅猛增长，为了缓解新能源汽车充电难的问题，某小区计划新建地上和地下两类充电桩，每个充电桩的占地面积分别为$3 m^{2}$和$1 m^{2}$.已知新建1个地上充电桩和2个地下充电桩需要0.8万元；新建2个地上充电桩和1个地下充电桩需要0.7万元.
（1）该小区新建1个地上充电桩和1个地下充电桩分别需要多少万元？
（2）若该小区计划用不超过16.3万元的资金新建60个充电桩，且地下充电桩的数量不少于地上充电桩数量的2倍，则共有几种建造方案？列出所有方案.
（3）现考虑到充电设备对小区居住环境的影响，要求充电桩的总占地面积不得超过$a m^{2}$，在（2）的条件下，若仅有两种方案可供选择，直接写出$a$的取值范围.
（1）该小区新建1个地上充电桩和1个地下充电桩分别需要多少万元？
（2）若该小区计划用不超过16.3万元的资金新建60个充电桩，且地下充电桩的数量不少于地上充电桩数量的2倍，则共有几种建造方案？列出所有方案.
（3）现考虑到充电设备对小区居住环境的影响，要求充电桩的总占地面积不得超过$a m^{2}$，在（2）的条件下，若仅有两种方案可供选择，直接写出$a$的取值范围.
答案：26.（1）设新建一个地上充电桩需要 $x$ 万元，新建一个地下充电桩需要 $y$ 万元，依题意得 $\begin{cases}x + 2y = 0.8,\\2x + y = 0.7,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}x = 0.2,\\y = 0.3.\end{cases}$ 答：该小区新建一个地上充电桩和一个地下充电桩分别需要 $0.2$ 万元和 $0.3$ 万元.
（2）设新建 $m$ 个地上充电桩，则新建地下充电桩的数量为 $(60 - m)$ 个，依题意得 $\begin{cases}0.2m + 0.3(60 - m)≤16.3,\\60 - m≥2m,\end{cases}$ 解得 $17≤ m≤20$，$\therefore$ 整数 $m$ 的值为 $17$，$18$，$19$，$20$.
一共有 $4$ 种方案，分别为：
方案①：新建 $17$ 个地上充电桩，$43$ 个地下充电桩；
方案②：新建 $18$ 个地上充电桩，$42$ 个地下充电桩；
方案③：新建 $19$ 个地上充电桩，$41$ 个地下充电桩；
方案④：新建 $20$ 个地上充电桩，$40$ 个地下充电桩.
（3）$96≤ a ＜ 98$. 解析：由题意可得 $3m + 60 - m≤ a$，解得 $m≤\frac{a}{2} - 30$. $\because$ 仅有两种方案可供选择，$\therefore 18≤\frac{a}{2} - 30 ＜ 19$，解得 $96≤ a ＜ 98$.
因此，$a$ 的取值范围为 $96≤ a ＜ 98$.
（2）设新建 $m$ 个地上充电桩，则新建地下充电桩的数量为 $(60 - m)$ 个，依题意得 $\begin{cases}0.2m + 0.3(60 - m)≤16.3,\\60 - m≥2m,\end{cases}$ 解得 $17≤ m≤20$，$\therefore$ 整数 $m$ 的值为 $17$，$18$，$19$，$20$.
一共有 $4$ 种方案，分别为：
方案①：新建 $17$ 个地上充电桩，$43$ 个地下充电桩；
方案②：新建 $18$ 个地上充电桩，$42$ 个地下充电桩；
方案③：新建 $19$ 个地上充电桩，$41$ 个地下充电桩；
方案④：新建 $20$ 个地上充电桩，$40$ 个地下充电桩.
（3）$96≤ a ＜ 98$. 解析：由题意可得 $3m + 60 - m≤ a$，解得 $m≤\frac{a}{2} - 30$. $\because$ 仅有两种方案可供选择，$\therefore 18≤\frac{a}{2} - 30 ＜ 19$，解得 $96≤ a ＜ 98$.
因此，$a$ 的取值范围为 $96≤ a ＜ 98$.
27. (12分)(2025·扬州期中)一副三角尺按如图①摆放，$∠ C=∠ DFE = 90^{\circ}$，$∠ B = 30^{\circ}$，$∠ E = 45^{\circ}$，点$F$在$BC$上，点$A$在$DF$上，且$AF$平分$∠ CAB$，现将三角尺$DFE$绕点$F$顺时针旋转(当点$D$落在射线$FB$上时停止旋转).
(1)当$∠ AFD=$
(2)在旋转过程中，$DF$与$AB$的交点记为$P$，如图②，若$△ AFP$有两个内角相等，求$∠ APD$的度数.
(3)当边$DE$与边$AB$，$BC$分别交于点$M$，$N$时，如图③，若$∠ AFM = 2∠ BMN$，比较$∠ FMN$与$∠ FNM$的大小，并说明理由.
(1)当$∠ AFD=$
30°
时，$DF// AC$；当$∠ AFD=$60°
时，$DF⊥ AB$.(2)在旋转过程中，$DF$与$AB$的交点记为$P$，如图②，若$△ AFP$有两个内角相等，求$∠ APD$的度数.
(3)当边$DE$与边$AB$，$BC$分别交于点$M$，$N$时，如图③，若$∠ AFM = 2∠ BMN$，比较$∠ FMN$与$∠ FNM$的大小，并说明理由.
答案：
27.（1）$30^{\circ}$ $60^{\circ}$ 解析：如图①，当 $∠AFD = 30^{\circ}$ 时，$DF// AC$. 理由如下：$\because ∠CAB = 60^{\circ}$，$AF$ 平分 $∠CAB$，$\therefore ∠CAF = 30^{\circ}$. $\because ∠AFD = 30^{\circ}$，$\therefore ∠CAF = ∠AFD$，$\therefore DF// AC$.
如图②，当 $∠AFD = 60^{\circ}$ 时，$DF⊥ AB$. 理由如下：$\because ∠CAB = 60^{\circ}$，$AF$ 平分 $∠CAB$，$\therefore ∠FAG = 30^{\circ}$. $\because ∠AFD = 60^{\circ}$，$\therefore ∠FGA = 90^{\circ}$，$\therefore DF⊥ AB$.
（2）$\because ∠CAB = 60^{\circ}$，$AF$ 平分 $∠CAB$，$\therefore ∠FAP = 30^{\circ}$.
如图③，当 $∠AFP = ∠FAP = 30^{\circ}$ 时，$∠APD = ∠FAP + ∠AFP = 30^{\circ}+30^{\circ}=60^{\circ}$；
如图④，当 $∠AFP = ∠APF$ 时，$\because ∠FAP = 30^{\circ}$，$\therefore ∠AFP = ∠APF = \frac{1}{2}×(180^{\circ}-30^{\circ}) = \frac{1}{2}×150^{\circ}=75^{\circ}$，$\therefore ∠APD = ∠FAP + ∠AFP = 30^{\circ}+75^{\circ}=105^{\circ}$；
如图⑤，当 $∠APF = ∠FAP = 30^{\circ}$ 时，$∠APD = 180^{\circ}-30^{\circ}=150^{\circ}$.
综上所述，$∠APD$ 的度数为 $60^{\circ}$ 或 $105^{\circ}$ 或 $150^{\circ}$.
（3）$∠FMN = ∠FNM$. 理由如下：$\because ∠FNM$ 是 $△ BMN$ 的一个外角，$\therefore ∠FNM = ∠B + ∠BMN$. $\because ∠B = 30^{\circ}$，$\therefore ∠FNM = 30^{\circ}+∠BMN$. $\because ∠BMF$ 是 $△ AFM$ 的一个外角，$\therefore ∠BMF = ∠MAF + ∠AFM$，即 $∠BMN + ∠FMN = ∠MAF + ∠AFM$. 又 $\because ∠MAF = 30^{\circ}$，$∠AFM = 2∠BMN$，$\therefore ∠BMN + ∠FMN = 30^{\circ}+2∠BMN$，$\therefore ∠FMN = 30^{\circ}+∠BMN$，$\therefore ∠FMN = ∠FNM$.
27.（1）$30^{\circ}$ $60^{\circ}$ 解析：如图①，当 $∠AFD = 30^{\circ}$ 时，$DF// AC$. 理由如下：$\because ∠CAB = 60^{\circ}$，$AF$ 平分 $∠CAB$，$\therefore ∠CAF = 30^{\circ}$. $\because ∠AFD = 30^{\circ}$，$\therefore ∠CAF = ∠AFD$，$\therefore DF// AC$.
如图②，当 $∠AFD = 60^{\circ}$ 时，$DF⊥ AB$. 理由如下：$\because ∠CAB = 60^{\circ}$，$AF$ 平分 $∠CAB$，$\therefore ∠FAG = 30^{\circ}$. $\because ∠AFD = 60^{\circ}$，$\therefore ∠FGA = 90^{\circ}$，$\therefore DF⊥ AB$.
（2）$\because ∠CAB = 60^{\circ}$，$AF$ 平分 $∠CAB$，$\therefore ∠FAP = 30^{\circ}$.
如图③，当 $∠AFP = ∠FAP = 30^{\circ}$ 时，$∠APD = ∠FAP + ∠AFP = 30^{\circ}+30^{\circ}=60^{\circ}$；
如图④，当 $∠AFP = ∠APF$ 时，$\because ∠FAP = 30^{\circ}$，$\therefore ∠AFP = ∠APF = \frac{1}{2}×(180^{\circ}-30^{\circ}) = \frac{1}{2}×150^{\circ}=75^{\circ}$，$\therefore ∠APD = ∠FAP + ∠AFP = 30^{\circ}+75^{\circ}=105^{\circ}$；
如图⑤，当 $∠APF = ∠FAP = 30^{\circ}$ 时，$∠APD = 180^{\circ}-30^{\circ}=150^{\circ}$.
综上所述，$∠APD$ 的度数为 $60^{\circ}$ 或 $105^{\circ}$ 或 $150^{\circ}$.
（3）$∠FMN = ∠FNM$. 理由如下：$\because ∠FNM$ 是 $△ BMN$ 的一个外角，$\therefore ∠FNM = ∠B + ∠BMN$. $\because ∠B = 30^{\circ}$，$\therefore ∠FNM = 30^{\circ}+∠BMN$. $\because ∠BMF$ 是 $△ AFM$ 的一个外角，$\therefore ∠BMF = ∠MAF + ∠AFM$，即 $∠BMN + ∠FMN = ∠MAF + ∠AFM$. 又 $\because ∠MAF = 30^{\circ}$，$∠AFM = 2∠BMN$，$\therefore ∠BMN + ∠FMN = 30^{\circ}+2∠BMN$，$\therefore ∠FMN = 30^{\circ}+∠BMN$，$\therefore ∠FMN = ∠FNM$.