22. (6分)已知：如图，点$D$，$E$，$F$分别是$△ ABC$的边$BC$，$CA$，$AB$上的点.
(1)给出下列三个选项：①$DF// AE$；②$∠ FDE=∠ A$；③$DE// BA$.请你用其中两个选项作为条件，另一个作为结论，构造一个真命题，并给出证明；
条件：
证明.
(2)在(1)的条件下，若$∠ A=∠ BDF = 2∠ EDC$，求$∠ AFD$的度数.
(1)给出下列三个选项：①$DF// AE$；②$∠ FDE=∠ A$；③$DE// BA$.请你用其中两个选项作为条件，另一个作为结论，构造一个真命题，并给出证明；
条件：
①②
，结论：③
，(填序号)证明.
(2)在(1)的条件下，若$∠ A=∠ BDF = 2∠ EDC$，求$∠ AFD$的度数.
答案：22.（1）答案不唯一. ①②为条件，③为结论，证明如下：$\because DF// AE$，$\therefore ∠A = ∠DFB$. $\because ∠FDE = ∠A$，$\therefore ∠FDE = ∠DFB$，$\therefore DE// BA$.
或①③为条件，②为结论，证明如下：$\because DF// AE$，$DE// BA$，$\therefore ∠A = ∠DFB$，$∠FDE = ∠DFB$，$\therefore ∠FDE = ∠A$.
或②③为条件，①为结论，证明如下：$\because DE// BA$，$\therefore ∠FDE = ∠DFB$. $\because ∠FDE = ∠A$，$\therefore ∠A = ∠DFB$，$\therefore DF// AE$.
（2）$\because ∠FDE = ∠A$，$∠A = ∠BDF = 2∠EDC$，$∠FDE + ∠BDF + ∠EDC = 180^{\circ}$，$\therefore ∠A + ∠A + \frac{1}{2}∠A = 180^{\circ}$，$\therefore ∠A = 72^{\circ}$. $\because DF// AE$，$\therefore ∠AFD = 180^{\circ}-∠A = 108^{\circ}$.
或①③为条件，②为结论，证明如下：$\because DF// AE$，$DE// BA$，$\therefore ∠A = ∠DFB$，$∠FDE = ∠DFB$，$\therefore ∠FDE = ∠A$.
或②③为条件，①为结论，证明如下：$\because DE// BA$，$\therefore ∠FDE = ∠DFB$. $\because ∠FDE = ∠A$，$\therefore ∠A = ∠DFB$，$\therefore DF// AE$.
（2）$\because ∠FDE = ∠A$，$∠A = ∠BDF = 2∠EDC$，$∠FDE + ∠BDF + ∠EDC = 180^{\circ}$，$\therefore ∠A + ∠A + \frac{1}{2}∠A = 180^{\circ}$，$\therefore ∠A = 72^{\circ}$. $\because DF// AE$，$\therefore ∠AFD = 180^{\circ}-∠A = 108^{\circ}$.
23. （8分）（2025·扬州期末）定义一种新运算$M(x,y)=axy + by + 3$（其中$a$，$b$均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算.例如：$M(1,0)=a× 1× 0 + b× 0 + 3 = 3$.已知$M(3,1)=11$，$M(-1,3)=-9$.
（1）求$a$，$b$的值；
（2）若无论$n$取何值时，$M(m,6n)$的值均不变，求$m$的值；
（3）若$x = 3$是$M(x,2)≥ 5 - 2a$的一个解，求$a$的取值范围.
（1）求$a$，$b$的值；
（2）若无论$n$取何值时，$M(m,6n)$的值均不变，求$m$的值；
（3）若$x = 3$是$M(x,2)≥ 5 - 2a$的一个解，求$a$的取值范围.
答案：23.（1）$\because M(x, y) = axy + by + 3$，$M(3, 1) = 11$，$M(-1, 3) = -9$，$\therefore \begin{cases}3a + b + 3 = 11,\\-3a + 3b + 3 = -9,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}a = 3,\\b = -1.\end{cases}$
（2）由（1）得 $M(x, y) = 3xy - y + 3$，$\therefore M(m, 6n) = 3· m·6n - 6n + 3 = 6n(3m - 1) + 3$. $\because$ 若无论 $n$ 取何值时，$M(m, 6n)$ 的值均不变，$\therefore 3m - 1 = 0$，解得 $m = \frac{1}{3}$.
（3）根据题意得 $M(x, 2) = 3· x·2 - 2 + 3 = 6x + 1$，$\because M(x, 2)≥5 - 2a$，$\therefore 6x + 1≥5 - 2a$，解得 $x≥\frac{2}{3}-\frac{1}{3}a$. $\because x = 3$ 是 $M(x, 2)≥5 - 2a$ 的一个解，$\therefore \frac{2}{3}-\frac{1}{3}a≤3$，解得 $a≥ -7$.
（2）由（1）得 $M(x, y) = 3xy - y + 3$，$\therefore M(m, 6n) = 3· m·6n - 6n + 3 = 6n(3m - 1) + 3$. $\because$ 若无论 $n$ 取何值时，$M(m, 6n)$ 的值均不变，$\therefore 3m - 1 = 0$，解得 $m = \frac{1}{3}$.
（3）根据题意得 $M(x, 2) = 3· x·2 - 2 + 3 = 6x + 1$，$\because M(x, 2)≥5 - 2a$，$\therefore 6x + 1≥5 - 2a$，解得 $x≥\frac{2}{3}-\frac{1}{3}a$. $\because x = 3$ 是 $M(x, 2)≥5 - 2a$ 的一个解，$\therefore \frac{2}{3}-\frac{1}{3}a≤3$，解得 $a≥ -7$.
24. （8分）（1）如图①，将两张正方形纸片$A$与三张正方形纸片$B$放在一起（不重叠无缝隙），拼成一个宽为10的长方形，求正方形纸片$A$，$B$的边长；
（2）如图②，将一张正方形纸片$D$放在一正方形纸片$C$的内部，阴影部分的面积为4；如图③，将正方形纸片$C$，$D$各一张并列放置后构造一个新的正方形，阴影部分的面积为48，求正方形$C$，$D$的面积之和.
（2）如图②，将一张正方形纸片$D$放在一正方形纸片$C$的内部，阴影部分的面积为4；如图③，将正方形纸片$C$，$D$各一张并列放置后构造一个新的正方形，阴影部分的面积为48，求正方形$C$，$D$的面积之和.
答案：24.（1）设正方形纸片 $A$，$B$ 的边长分别为 $a$，$b$，由题意得 $\begin{cases}2a = 3b,\\a + b = 10,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}a = 6,\\b = 4.\end{cases}$ 答：正方形纸片 $A$，$B$ 的边长分别为 $6$，$4$.
（2）设正方形 $C$，$D$ 的边长分别为 $c$，$d$，则由题图②得 $(c - d)^{2} = 4$，即 $c^{2} - 2cd + d^{2} = 4$. 由题图③得 $(c + d)^{2} - c^{2} - d^{2} = 48$，即 $2cd = 48$，$\therefore c^{2} + d^{2} - 48 = 4$，$\therefore c^{2} + d^{2} = 52$，即正方形 $C$，$D$ 的面积之和为 $52$.
（2）设正方形 $C$，$D$ 的边长分别为 $c$，$d$，则由题图②得 $(c - d)^{2} = 4$，即 $c^{2} - 2cd + d^{2} = 4$. 由题图③得 $(c + d)^{2} - c^{2} - d^{2} = 48$，即 $2cd = 48$，$\therefore c^{2} + d^{2} - 48 = 4$，$\therefore c^{2} + d^{2} = 52$，即正方形 $C$，$D$ 的面积之和为 $52$.
25. （8分）（2025·南京期中）（1）从“数”的角度证明：当$a ＞ 0$，$b ＞ 0$时，$(a + b)^{2} ＞ a^{2} + b^{2}$；
（2）从“形”的角度说明：当$a ＞ 0$，$b ＞ 0$时，$(a + b)^{2} ＞ a^{2} + b^{2}$.
（2）从“形”的角度说明：当$a ＞ 0$，$b ＞ 0$时，$(a + b)^{2} ＞ a^{2} + b^{2}$.
答案：
25.（1）$\because (a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$，$\therefore (a + b)^{2} - a^{2} - b^{2} = 2ab$. $\because a ＞ 0$，$b ＞ 0$，$\therefore 2ab ＞ 0$. 即 $(a + b)^{2} - a^{2} - b^{2} = 2ab ＞ 0$. $\therefore$ 当 $a ＞ 0$，$b ＞ 0$ 时，$(a + b)^{2} ＞ a^{2} + b^{2}$.
（2）当 $a ＞ 0$，$b ＞ 0$ 时，如图，根据图形，边长为 $(a + b)$ 的正方形面积大于边长分别为 $a$，$b$ 的正方形面积之和，$\therefore$ 当 $a ＞ 0$，$b ＞ 0$ 时，$(a + b)^{2} ＞ a^{2} + b^{2}$.
25.（1）$\because (a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$，$\therefore (a + b)^{2} - a^{2} - b^{2} = 2ab$. $\because a ＞ 0$，$b ＞ 0$，$\therefore 2ab ＞ 0$. 即 $(a + b)^{2} - a^{2} - b^{2} = 2ab ＞ 0$. $\therefore$ 当 $a ＞ 0$，$b ＞ 0$ 时，$(a + b)^{2} ＞ a^{2} + b^{2}$.
（2）当 $a ＞ 0$，$b ＞ 0$ 时，如图，根据图形，边长为 $(a + b)$ 的正方形面积大于边长分别为 $a$，$b$ 的正方形面积之和，$\therefore$ 当 $a ＞ 0$，$b ＞ 0$ 时，$(a + b)^{2} ＞ a^{2} + b^{2}$.