9. 已知$A = 99×100×101,B = 98×100×102$,则$A - B$的值是 (
A.100
B.200
C.300
D.400
C
)A.100
B.200
C.300
D.400
答案：9. C 解析：因为 $A = 99×100×101$，$B = 98×100×102$，所以 $A - B = 99×100×101 - 98×100×102 = 100×(99×101 - 98×102) = 100×[(100 - 1)×(100 + 1) - (100 - 2)×(100 + 2)] = 100×(10000 - 1 - 10000 + 4) = 300$.
10. 若$(a^{2}+b^{2}+1)(a^{2}+b^{2}-1)=35$,则$a^{2}+b^{2}=$
6
。答案：10. 6 解析：因为 $(a^2 + b^2 + 1)(a^2 + b^2 - 1) = 35$，所以 $(a^2 + b^2)^2 - 1 = 35$，所以 $(a^2 + b^2)^2 = 36$，得 $a^2 + b^2 = ±6$. 因为 $a^2 + b^2$ 是一个非负数，所以 $a^2 + b^2 = 6$.
解析：
设$x = a^2 + b^2$，则原方程可化为$(x + 1)(x - 1) = 35$，即$x^2 - 1 = 35$，$x^2 = 36$，解得$x = ±6$。因为$a^2 + b^2$是非负数，所以$x = 6$，即$a^2 + b^2 = 6$。
11. (1)(广安中考)已知$a + b = 1$,则代数式$a^{2}-b^{2}+2b + 9$的值为
(2)若$x^{2}-y^{2}=8,x^{2}-z^{2}=5$,则$(x + y)(y + z)·(z + x)(x - y)(y - z)(z - x)$的值为
10
；(2)若$x^{2}-y^{2}=8,x^{2}-z^{2}=5$,则$(x + y)(y + z)·(z + x)(x - y)(y - z)(z - x)$的值为
120
。答案：11. (1) 10 解析：因为 $a + b = 1$，所以 $a^2 - b^2 + 2b + 9 = (a + b)(a - b) + 2b + 9 = a - b + 2b + 9 = a + b + 9 = 1 + 9 = 10$.
(2) 120 解析：由 $x^2 - y^2 = 8$，$x^2 - z^2 = 5$，得 $y^2 - z^2 = -3$，所以 $(x + y)(y + z)(z + x)(x - y)(y - z)(z - x) = (x^2 - y^2)(y^2 - z^2)(z^2 - x^2) = 120$.
(2) 120 解析：由 $x^2 - y^2 = 8$，$x^2 - z^2 = 5$，得 $y^2 - z^2 = -3$，所以 $(x + y)(y + z)(z + x)(x - y)(y - z)(z - x) = (x^2 - y^2)(y^2 - z^2)(z^2 - x^2) = 120$.
12. 用简便方法计算:
(1)$40\frac{1}{3}×(-39\frac{2}{3})$；
(2)$2025^{2}-2024×2026$；
(3)$\frac{1}{5}×7.35^{2}-5×1.07^{2}$。
(1)$40\frac{1}{3}×(-39\frac{2}{3})$；
(2)$2025^{2}-2024×2026$；
(3)$\frac{1}{5}×7.35^{2}-5×1.07^{2}$。
答案：12. (1) 原式 $= ( 40 + \frac{1}{3} ) × ( \frac{1}{3} - 40 ) = ( \frac{1}{3} )^2 - 40^2 = \frac{1}{9} - 1600 = -1599\frac{8}{9}$.
(2) 原式 $= 2025^2 - (2025 - 1)×(2025 + 1) = 2025^2 - 2025^2 + 1 = 1$.
(3) 原式 $= \frac{1}{5}×7.35^2 - \frac{1}{5}×25×1.07^2 = \frac{1}{5}×(7.35^2 - 5^2×1.07^2) = \frac{1}{5}×(7.35^2 - 5.35^2) = \frac{1}{5}×(7.35 - 5.35)×(7.35 + 5.35) = \frac{1}{5}×2×12.7 = 5.08$.
(2) 原式 $= 2025^2 - (2025 - 1)×(2025 + 1) = 2025^2 - 2025^2 + 1 = 1$.
(3) 原式 $= \frac{1}{5}×7.35^2 - \frac{1}{5}×25×1.07^2 = \frac{1}{5}×(7.35^2 - 5^2×1.07^2) = \frac{1}{5}×(7.35^2 - 5.35^2) = \frac{1}{5}×(7.35 - 5.35)×(7.35 + 5.35) = \frac{1}{5}×2×12.7 = 5.08$.
13. 逆向思维是中学数学解题中的一种重要思想,如图①,边长为$a$的大正方形中有一个边长为$b$的小正方形,把图①中的阴影部分拼成如图②所示的长方形。
(1)根据图①和图②的阴影部分的面积关系,可得等式
(2)运用以上等式计算:
$(1-\frac{1}{2^{2}})×(1-\frac{1}{3^{2}})×(1-\frac{1}{4^{2}})×(1-\frac{1}{5^{2}})×···×(1-\frac{1}{2023^{2}})×(1-\frac{1}{2024^{2}})$。
(3)如图③,$100$个圆由小到大套在一起,从外向里相间画阴影,最外面的圆的半径为$100\ cm$,向里依次为$99\ cm,98\ cm,···,1\ cm$,那么在这个图形中,所有阴影部分的面积和是多少? (结果保留$π$)
]
(1)根据图①和图②的阴影部分的面积关系,可得等式
$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$
。(用字母$a,b$表示)(2)运用以上等式计算:
$(1-\frac{1}{2^{2}})×(1-\frac{1}{3^{2}})×(1-\frac{1}{4^{2}})×(1-\frac{1}{5^{2}})×···×(1-\frac{1}{2023^{2}})×(1-\frac{1}{2024^{2}})$。
(3)如图③,$100$个圆由小到大套在一起,从外向里相间画阴影,最外面的圆的半径为$100\ cm$,向里依次为$99\ cm,98\ cm,···,1\ cm$,那么在这个图形中,所有阴影部分的面积和是多少? (结果保留$π$)
]
答案：13. (1) $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$
(2) $( 1 - \frac{1}{2^2} )·( 1 - \frac{1}{3^2} )·( 1 - \frac{1}{4^2} )·( 1 - \frac{1}{5^2} )·····( 1 - \frac{1}{2023^2} )·( 1 - \frac{1}{2024^2} ) = ( 1 + \frac{1}{2} )·( 1 - \frac{1}{2} )·( 1 + \frac{1}{3} )·( 1 - \frac{1}{3} )·( 1 + \frac{1}{4} )·( 1 - \frac{1}{4} )·····( 1 + \frac{1}{2023} )·( 1 - \frac{1}{2023} )·( 1 + \frac{1}{2024} )·( 1 - \frac{1}{2024} ) = ( 1 + \frac{1}{2} )·( 1 + \frac{1}{3} )·( 1 + \frac{1}{4} )·····( 1 + \frac{1}{2023} )·( 1 + \frac{1}{2024} )·( 1 - \frac{1}{2} )·( 1 - \frac{1}{3} )·( 1 - \frac{1}{4} )·····( 1 - \frac{1}{2023} )·( 1 - \frac{1}{2024} ) = \frac{3}{2}×\frac{4}{3}×\frac{5}{4}×···×\frac{2024}{2023}×\frac{2025}{2024}×\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{3}{4}×···×\frac{2022}{2023}×\frac{2023}{2024} = \frac{2025}{2}×\frac{1}{2024} = \frac{2025}{4048}$.
(3) $100^2π - 99^2π + ··· + 4^2π - 3^2π + 2^2π - 1^2π = π(100^2 - 99^2 + ··· + 4^2 - 3^2 + 2^2 - 1^2) = π(100 + 99 + ··· + 4 + 3 + 2 + 1) = π·\frac{100×(1 + 100)}{2} = 5050π(cm^2)$，故所有阴影部分的面积和为 $5050π cm^2$.
(2) $( 1 - \frac{1}{2^2} )·( 1 - \frac{1}{3^2} )·( 1 - \frac{1}{4^2} )·( 1 - \frac{1}{5^2} )·····( 1 - \frac{1}{2023^2} )·( 1 - \frac{1}{2024^2} ) = ( 1 + \frac{1}{2} )·( 1 - \frac{1}{2} )·( 1 + \frac{1}{3} )·( 1 - \frac{1}{3} )·( 1 + \frac{1}{4} )·( 1 - \frac{1}{4} )·····( 1 + \frac{1}{2023} )·( 1 - \frac{1}{2023} )·( 1 + \frac{1}{2024} )·( 1 - \frac{1}{2024} ) = ( 1 + \frac{1}{2} )·( 1 + \frac{1}{3} )·( 1 + \frac{1}{4} )·····( 1 + \frac{1}{2023} )·( 1 + \frac{1}{2024} )·( 1 - \frac{1}{2} )·( 1 - \frac{1}{3} )·( 1 - \frac{1}{4} )·····( 1 - \frac{1}{2023} )·( 1 - \frac{1}{2024} ) = \frac{3}{2}×\frac{4}{3}×\frac{5}{4}×···×\frac{2024}{2023}×\frac{2025}{2024}×\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{3}{4}×···×\frac{2022}{2023}×\frac{2023}{2024} = \frac{2025}{2}×\frac{1}{2024} = \frac{2025}{4048}$.
(3) $100^2π - 99^2π + ··· + 4^2π - 3^2π + 2^2π - 1^2π = π(100^2 - 99^2 + ··· + 4^2 - 3^2 + 2^2 - 1^2) = π(100 + 99 + ··· + 4 + 3 + 2 + 1) = π·\frac{100×(1 + 100)}{2} = 5050π(cm^2)$，故所有阴影部分的面积和为 $5050π cm^2$.
14. 先观察下面的解题过程,然后解答问题:
例题:化简$(2 + 1)×(2^{2}+1)×(2^{4}+1)$。
解:$(2 + 1)×(2^{2}+1)×(2^{4}+1)$
$=(2 - 1)×(2 + 1)×(2^{2}+1)×(2^{4}+1)$
$=(2^{2}-1)×(2^{2}+1)×(2^{4}+1)$
$=(2^{4}-1)×(2^{4}+1)$
$=2^{8}-1$。
问题:
(1)化简:$(2 + 1)×(2^{2}+1)×(2^{4}+1)×(2^{8}+1)×···×(2^{64}+1)$；
(2)计算:$4×(3 + 1)×(3^{2}+1)×(3^{4}+1)×(3^{8}+1)×(3^{16}+1)+1$值的末位数字是
例题:化简$(2 + 1)×(2^{2}+1)×(2^{4}+1)$。
解:$(2 + 1)×(2^{2}+1)×(2^{4}+1)$
$=(2 - 1)×(2 + 1)×(2^{2}+1)×(2^{4}+1)$
$=(2^{2}-1)×(2^{2}+1)×(2^{4}+1)$
$=(2^{4}-1)×(2^{4}+1)$
$=2^{8}-1$。
问题:
(1)化简:$(2 + 1)×(2^{2}+1)×(2^{4}+1)×(2^{8}+1)×···×(2^{64}+1)$；
(2)计算:$4×(3 + 1)×(3^{2}+1)×(3^{4}+1)×(3^{8}+1)×(3^{16}+1)+1$值的末位数字是
1
。答案：14. (1) $(2 + 1)×(2^2 + 1)×(2^4 + 1)×(2^8 + 1)×···×(2^{64} + 1)$
$= (2 - 1)×(2 + 1)×(2^2 + 1)×(2^4 + 1)×(2^8 + 1)×···×(2^{64} + 1)$
$= (2^2 - 1)×(2^2 + 1)×(2^4 + 1)×(2^8 + 1)×···×(2^{64} + 1) = 2^{128} - 1$.
(2) 1 解析：$4×(3 + 1)×(3^2 + 1)×(3^4 + 1)×(3^8 + 1)×(3^{16} + 1) + 1 = 2×(3 - 1)×(3 + 1)×(3^2 + 1)×(3^4 + 1)×(3^8 + 1)×(3^{16} + 1) + 1 = 2×(3^{32} - 1) + 1$. 由 $3^1$ 末位数字为 3，$3^2$ 末位数字为 9，$3^3$ 末位数字为 7，$3^4$ 末位数字为 1，$3^5$ 末位数字为 3……可知 4 次一循环，由规律可得 $3^{32}$ 和 $3^4$ 末位数字相同，为 1，所以原式的值的末位数字为 $2×(1 - 1) + 1 = 1$.
### 一题多解
因为 $3^2 + 1 = 10$，整数与 10 相乘，积的末位数字是 0，所以 $4×(3 + 1)×(3^2 + 1)×(3^4 + 1)×(3^8 + 1)×(3^{16} + 1) + 1$ 的值的末位数字为 1.
$= (2 - 1)×(2 + 1)×(2^2 + 1)×(2^4 + 1)×(2^8 + 1)×···×(2^{64} + 1)$
$= (2^2 - 1)×(2^2 + 1)×(2^4 + 1)×(2^8 + 1)×···×(2^{64} + 1) = 2^{128} - 1$.
(2) 1 解析：$4×(3 + 1)×(3^2 + 1)×(3^4 + 1)×(3^8 + 1)×(3^{16} + 1) + 1 = 2×(3 - 1)×(3 + 1)×(3^2 + 1)×(3^4 + 1)×(3^8 + 1)×(3^{16} + 1) + 1 = 2×(3^{32} - 1) + 1$. 由 $3^1$ 末位数字为 3，$3^2$ 末位数字为 9，$3^3$ 末位数字为 7，$3^4$ 末位数字为 1，$3^5$ 末位数字为 3……可知 4 次一循环，由规律可得 $3^{32}$ 和 $3^4$ 末位数字相同，为 1，所以原式的值的末位数字为 $2×(1 - 1) + 1 = 1$.
### 一题多解
因为 $3^2 + 1 = 10$，整数与 10 相乘，积的末位数字是 0，所以 $4×(3 + 1)×(3^2 + 1)×(3^4 + 1)×(3^8 + 1)×(3^{16} + 1) + 1$ 的值的末位数字为 1.