1. (2025·龙口期末)计算下列各式,其结果为$a^{2}-1$的是 (
A.$(a - 1)^{2}$
B.$(-a - 1)(a + 1)$
C.$(-a + 1)(-a + 1)$
D.$(-a + 1)(-a - 1)$
D
)A.$(a - 1)^{2}$
B.$(-a - 1)(a + 1)$
C.$(-a + 1)(-a + 1)$
D.$(-a + 1)(-a - 1)$
答案：1. D 解析：A. $(a - 1)^2 = a^2 - 2a + 1$，故本选项不符合题意；B. $(-a - 1)(a + 1) = -(a + 1)(a + 1) = -a^2 - 2a - 1$，故本选项不符合题意；C. $(-a + 1)(-a + 1) = (-a + 1)^2 = a^2 - 2a + 1$，故本选项不符合题意；D. $(-a + 1)(-a - 1) = (-a)^2 - 1^2 = a^2 - 1$，故本选项符合题意. 故选 D.
2. (2025·赣州期末)从边长为$a$的大正方形纸板上挖去一个边长为$b$的小正方形纸板后,将其裁成四个相同的等腰梯形(如图①),然后拼成一个平行四边形(如图②),那么通过计算两个图形阴影部分的面积,可以验证成立的公式为 (
A.$(a - b)^{2}=a^{2}-b^{2}$
B.$(a + b)^{2}=a^{2}+2ab + b^{2}$
C.$(a - b)^{2}=a^{2}-2ab + b^{2}$
D.$(a + b)(a - b)=a^{2}-b^{2}$
D
)A.$(a - b)^{2}=a^{2}-b^{2}$
B.$(a + b)^{2}=a^{2}+2ab + b^{2}$
C.$(a - b)^{2}=a^{2}-2ab + b^{2}$
D.$(a + b)(a - b)=a^{2}-b^{2}$
答案：2. D 解析：题图①中阴影部分的面积为 $a^2 - b^2$，题图②中阴影部分的面积为 $(a + b)(a - b)$，因为两个图形中阴影部分的面积相等，所以 $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$. 故选 D.
3. 要用平方差公式计算$(a - b + c)(a + b - c)$,必须先变形,下列变形中,正确的是 (
A.$[(a + c)-b][(a - c)+b]$
B.$[(a - c)+b][(a + c)-b]$
C.$[(b + c)-a][(b - c)+a]$
D.$[a-(b - c)][a+(b - c)]$
D
)A.$[(a + c)-b][(a - c)+b]$
B.$[(a - c)+b][(a + c)-b]$
C.$[(b + c)-a][(b - c)+a]$
D.$[a-(b - c)][a+(b - c)]$
答案：3. D 解析：A. $[(a + c) - b][(a - c) + b]$ 不符合平方差公式的结构特征，不符合题意；B. $[(a - c) + b][(a + c) - b]$ 不符合平方差公式的结构特征，不符合题意；C. $[(b + c) - a][(b - c) + a]$ 与原式不相等，不符合题意；D. $[a - (b - c)][a + (b - c)]$ 符合平方差公式的结构特征，符合题意. 故选 D.
4. 教材变式 填空:
(1)$(2 + a)(a - 2)=$
(2)$(a^{n}+b^{2n})$ (
(3)$(2x + 3y^{2})$ (
(4)(
(5)(
(1)$(2 + a)(a - 2)=$
$a^2 - 4$
；(2)$(a^{n}+b^{2n})$ (
$a^n - b^{2n}$
)$=a^{2n}-b^{4n}$；(3)$(2x + 3y^{2})$ (
$3y^2 - 2x$
)$=9y^{4}-4x^{2}$；(4)(
$-5x - y$
)$(5x - y)=y^{2}-25x^{2}$；(5)(
$-x^2 - 1$
)$(1 + x)(1 - x)=x^{4}-1$。答案：4. (1) $a^2 - 4$ (2) $a^n - b^{2n}$ (3) $3y^2 - 2x$ (4) $-5x - y$ (5) $-x^2 - 1$
5. (1)已知$m,n$同时满足$2m + n = 3$与$2m - n = 1$,则$4m^{2}-n^{2}$的值是
(2)已知$x^{2}-y^{2}=-1$,化简:$(x + y)^{2025}(x - y)^{2025}=$
3
；(2)已知$x^{2}-y^{2}=-1$,化简:$(x + y)^{2025}(x - y)^{2025}=$
-1
。答案：5. (1) 3 解析：因为 $2m + n = 3$，$2m - n = 1$，所以 $(2m + n)(2m - n) = 4m^2 - n^2 = 3×1 = 3$.
(2) -1 解析：$(x + y)^{2025}(x - y)^{2025} = (x^2 - y^2)^{2025} = -1$.
(2) -1 解析：$(x + y)^{2025}(x - y)^{2025} = (x^2 - y^2)^{2025} = -1$.
6. 用乘法公式计算:
(1)$(-2x - 1)(-2x + 1)$；
(2)$(-5x - 4y)(5x - 4y)$；
(3)$(\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{3}y^{2})(\frac{1}{3}y^{2}-\frac{1}{2}x^{2})$；
(4)$(x + 2y)(2y - x)-(2x - y)(y + 2x)$。
(1)$(-2x - 1)(-2x + 1)$；
(2)$(-5x - 4y)(5x - 4y)$；
(3)$(\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{3}y^{2})(\frac{1}{3}y^{2}-\frac{1}{2}x^{2})$；
(4)$(x + 2y)(2y - x)-(2x - y)(y + 2x)$。
答案：6. (1) 原式 $= (2x + 1)(2x - 1) = 4x^2 - 1$.
(2) 原式 $= (4y + 5x)(4y - 5x) = 16y^2 - 25x^2$.
(3) 原式 $= ( \frac{1}{3}y^2 + \frac{1}{2}x^2 ) ( \frac{1}{3}y^2 - \frac{1}{2}x^2 ) = \frac{1}{9}y^4 - \frac{1}{4}x^4$.
(4) 原式 $= (2y + x)(2y - x) - (2x - y)(2x + y) = 4y^2 - x^2 - (4x^2 - y^2) = 5y^2 - 5x^2$.
(2) 原式 $= (4y + 5x)(4y - 5x) = 16y^2 - 25x^2$.
(3) 原式 $= ( \frac{1}{3}y^2 + \frac{1}{2}x^2 ) ( \frac{1}{3}y^2 - \frac{1}{2}x^2 ) = \frac{1}{9}y^4 - \frac{1}{4}x^4$.
(4) 原式 $= (2y + x)(2y - x) - (2x - y)(2x + y) = 4y^2 - x^2 - (4x^2 - y^2) = 5y^2 - 5x^2$.
7. (邵阳中考)先化简,再求值:$(a - 2b)(a + 2b)-(a - 2b)^{2}+8b^{2}$,其中$a = -2,b=\frac{1}{2}$。
答案：7. $(a - 2b)(a + 2b) - (a - 2b)^2 + 8b^2 = a^2 - 4b^2 - a^2 + 4ab - 4b^2 + 8b^2 = 4ab$，当 $a = -2$，$b = \frac{1}{2}$ 时，原式 $= -4$.
解析：
$(a - 2b)(a + 2b) - (a - 2b)^2 + 8b^2$
$=a^2 - (2b)^2 - (a^2 - 4ab + 4b^2) + 8b^2$
$=a^2 - 4b^2 - a^2 + 4ab - 4b^2 + 8b^2$
$=4ab$
当$a = -2$，$b = \frac{1}{2}$时，原式$=4×(-2)×\frac{1}{2}=-4$
$=a^2 - (2b)^2 - (a^2 - 4ab + 4b^2) + 8b^2$
$=a^2 - 4b^2 - a^2 + 4ab - 4b^2 + 8b^2$
$=4ab$
当$a = -2$，$b = \frac{1}{2}$时，原式$=4×(-2)×\frac{1}{2}=-4$
8. (2025·十堰模拟)原有一块边长为$a$米$(a＞6)$的正方形土地,现在把这块地的一边增加$6$米,相邻的另一边减少$6$米,变成长方形土地,则土地面积会 (
A.没有变化
B.变大
C.变小
D.无法确定
C
)A.没有变化
B.变大
C.变小
D.无法确定
答案：8. C 解析：现在长方形土地的面积为 $(a + 6)(a - 6) = a^2 - 36$，所以长方形土地的面积比正方形土地的面积 $a^2$ 小了 36 平方米. 故选 C.