类型一 求 $(x\pm y)^{2}$，$x^{2}+y^{2}$，$xy$ 的值
①$(x + y)^{2} = (x - y)^{2} + 4xy$，
$(x - y)^{2} = (x + y)^{2} - 4xy$；
②$x^{2} + y^{2} = (x + y)^{2} - 2xy = (x - y)^{2} + 2xy$；
③$xy = \frac{(x + y)^{2} - (x^{2} + y^{2})}{2} = \frac{(x^{2} + y^{2}) - (x - y)^{2}}{2}$。
1. (1)已知 $(x + y)^{2} = 10$，$xy = 2$，则 $(x - y)^{2} =$
(2)已知 $(x - 3y)^{2} = 7$，$xy = 3$，则 $x^{2} + 9y^{2} =$
(3)已知 $x^{2} + \frac{1}{4}y^{2} = 6$，$2x + y = 4$，则 $xy =$
①$(x + y)^{2} = (x - y)^{2} + 4xy$，
$(x - y)^{2} = (x + y)^{2} - 4xy$；
②$x^{2} + y^{2} = (x + y)^{2} - 2xy = (x - y)^{2} + 2xy$；
③$xy = \frac{(x + y)^{2} - (x^{2} + y^{2})}{2} = \frac{(x^{2} + y^{2}) - (x - y)^{2}}{2}$。
1. (1)已知 $(x + y)^{2} = 10$，$xy = 2$，则 $(x - y)^{2} =$
2
；(2)已知 $(x - 3y)^{2} = 7$，$xy = 3$，则 $x^{2} + 9y^{2} =$
25
；(3)已知 $x^{2} + \frac{1}{4}y^{2} = 6$，$2x + y = 4$，则 $xy =$
-2
。答案：1. (1) 2 解析:$(x - y)^2 = (x + y)^2 - 4xy = 2$.(2) 25 解析:$x^2 + 9y^2 = (x - 3y)^2 + 6xy = 25$.(3) -2 解析:因为$x^2 + \frac{1}{4}y^2 = 6$, 所以$4x^2 + y^2 = 24$, 所以$(2x + y)^2 - (4x^2 + y^2) = 4xy = 16 - 24 = -8$, 所以$xy = -2$.
2. （1）已知 $a + 2b = 5$，$ab = 2$，求 $a - 2b$ 的值；
（2）已知 $m - n = 4$，$mn + t^{2} + 4 = 0$，求 $m + n$ 的值。
（2）已知 $m - n = 4$，$mn + t^{2} + 4 = 0$，求 $m + n$ 的值。
答案：2. (1)$(a - 2b)^2 = (a + 2b)^2 - 8ab = 9$, 所以$a - 2b = \pm 3$.
(2) 因为$mn + t^2 + 4 = 0$, 所以$mn = -t^2 - 4$. 又$m - n = 4$, 所以$(m + n)^2 = (m - n)^2 + 4mn = 4^2 + 4(-t^2 - 4) = -4t^2 ≥ 0$, 所以$t^2 ≤ 0$. 又$t^2 ≥ 0$, 所以$t^2 = 0$, 所以$(m + n)^2 = 0$, 所以$m + n = 0$.
(2) 因为$mn + t^2 + 4 = 0$, 所以$mn = -t^2 - 4$. 又$m - n = 4$, 所以$(m + n)^2 = (m - n)^2 + 4mn = 4^2 + 4(-t^2 - 4) = -4t^2 ≥ 0$, 所以$t^2 ≤ 0$. 又$t^2 ≥ 0$, 所以$t^2 = 0$, 所以$(m + n)^2 = 0$, 所以$m + n = 0$.
3. (1)若 $a + \frac{1}{a} = 2$，则 $a^{2} + \frac{1}{a^{2}} =$
(2)(2025·无锡校级月考)已知 $2^{n} + 2^{-n} = k$，则 $4^{n} + 4^{-n} =$
2
；(2)(2025·无锡校级月考)已知 $2^{n} + 2^{-n} = k$，则 $4^{n} + 4^{-n} =$
$k^2 - 2$
(用含 $k$ 的代数式表示)。答案：3. (1) 2 解析:将等式两边平方得$(a + \frac{1}{a})^2 = a^2 + 2 + \frac{1}{a^2} = 4$, 则$a^2 + \frac{1}{a^2} = 2$.
(2)$k^2 - 2$ 解析:因为$2^n + 2^{-n} = k$, 所以$4^n + 4^{-n} = (2^n)^2 + (2^{-n})^2 = (2^n + 2^{-n})^2 - 2 = k^2 - 2$.
(2)$k^2 - 2$ 解析:因为$2^n + 2^{-n} = k$, 所以$4^n + 4^{-n} = (2^n)^2 + (2^{-n})^2 = (2^n + 2^{-n})^2 - 2 = k^2 - 2$.
4. （1）已知 $a^{2} - a - 2 = 0$，求 $a^{2} + \frac{4}{a^{2}}$ 的值；
（2）已知 $x^{2} + 3x - 1 = 0$，求 $4x^{2} + 9x + \frac{1}{x^{2}} + 2$ 的值。
（2）已知 $x^{2} + 3x - 1 = 0$，求 $4x^{2} + 9x + \frac{1}{x^{2}} + 2$ 的值。
答案：4. (1) 由$a^2 - a - 2 = 0$方程两边同时除以$a$得$a - 1 - \frac{2}{a} = 0$, 即$a - \frac{2}{a} = 1$, 则$a^2 + \frac{4}{a^2} = (a - \frac{2}{a})^2 + 4 = 1 + 4 = 5$.
(2) 因为$x^2 + 3x - 1 = 0$, 所以$x^2 + 3x = 1$, 所以$4x^2 + 9x + \frac{1}{x^2} + 2 = 3x^2 + 9x + x^2 + \frac{1}{x^2} + 2 = x^2 + \frac{1}{x^2} + 5$. 因为$x^2 + 3x - 1 = 0$, 所以$x + 3 - \frac{1}{x} = 0$, 所以$x - \frac{1}{x} = -3$, 所以$(x - \frac{1}{x})^2 = 9$, 所以$x^2 + \frac{1}{x^2} = 11$, 所以$5 + \frac{1}{x^2} + x^2 = 5 + 11 = 16$. 因此,$4x^2 + 9x + \frac{1}{x^2} + 2$的值是 16.
(2) 因为$x^2 + 3x - 1 = 0$, 所以$x^2 + 3x = 1$, 所以$4x^2 + 9x + \frac{1}{x^2} + 2 = 3x^2 + 9x + x^2 + \frac{1}{x^2} + 2 = x^2 + \frac{1}{x^2} + 5$. 因为$x^2 + 3x - 1 = 0$, 所以$x + 3 - \frac{1}{x} = 0$, 所以$x - \frac{1}{x} = -3$, 所以$(x - \frac{1}{x})^2 = 9$, 所以$x^2 + \frac{1}{x^2} = 11$, 所以$5 + \frac{1}{x^2} + x^2 = 5 + 11 = 16$. 因此,$4x^2 + 9x + \frac{1}{x^2} + 2$的值是 16.
5. 已知 $(1 + a + b)^{2} + (a + b - 3)^{2} = 6$，则 $(1 + a + b)(a + b - 3)$ 的值为
-5
。答案：5. -5 解析:因为$(1 + a + b) - (a + b - 3) = 4$, 所以$[(1 + a + b) - (a + b - 3)]^2 = (1 + a + b)^2 + (a + b - 3)^2 - 2(1 + a + b)(a + b - 3) = 16$, 即$6 - 2(1 + a + b)(a + b - 3) = 16$, 所以$(1 + a + b)(a + b - 3) = -5$.
解析：
设$x = 1 + a + b$，$y = a + b - 3$，则$x - y = (1 + a + b) - (a + b - 3) = 4$。
已知$x^2 + y^2 = 6$，根据完全平方公式$(x - y)^2 = x^2 + y^2 - 2xy$，可得$4^2 = 6 - 2xy$，即$16 = 6 - 2xy$。
解得$2xy = 6 - 16 = -10$，所以$xy = -5$，即$(1 + a + b)(a + b - 3) = -5$。
-5
已知$x^2 + y^2 = 6$，根据完全平方公式$(x - y)^2 = x^2 + y^2 - 2xy$，可得$4^2 = 6 - 2xy$，即$16 = 6 - 2xy$。
解得$2xy = 6 - 16 = -10$，所以$xy = -5$，即$(1 + a + b)(a + b - 3) = -5$。
-5
6. 已知 $(7 - 2m)(m - 3) = -\frac{9}{4}$，求 $\frac{1}{4}(7 - 2m)^{2} + (m - 3)^{2}$ 的值。
答案：6. 因为$(7 - 2m)(m - 3) = -\frac{9}{4}$, 所以$2(7 - 2m)(m - 3) = -\frac{9}{2}$, 所以$(7 - 2m)(2m - 6) = -\frac{9}{2}$. 因为$(7 - 2m) + (2m - 6) = 1$, 所以$(7 - 2m)^2 + (2m - 6)^2 = [(7 - 2m) + (2m - 6)]^2 - 2(7 - 2m) · (2m - 6) = 1 + 2 × \frac{9}{2} = 10$, 所以$\frac{1}{4} × [(7 - 2m)^2 + (2m - 6)^2] = \frac{1}{4}(7 - 2m)^2 + (m - 3)^2 = \frac{5}{2}$.
解析：
因为$(7 - 2m)(m - 3) = -\frac{9}{4}$，所以$2(7 - 2m)(m - 3) = -\frac{9}{2}$，即$(7 - 2m)(2m - 6) = -\frac{9}{2}$。
因为$(7 - 2m) + (2m - 6) = 1$，所以$(7 - 2m)^2 + (2m - 6)^2 = [(7 - 2m) + (2m - 6)]^2 - 2(7 - 2m)(2m - 6) = 1^2 - 2×(-\frac{9}{2}) = 1 + 9 = 10$。
则$\frac{1}{4}(7 - 2m)^2 + (m - 3)^2 = \frac{1}{4}(7 - 2m)^2 + \frac{1}{4}(2m - 6)^2 = \frac{1}{4}[(7 - 2m)^2 + (2m - 6)^2] = \frac{1}{4}×10 = \frac{5}{2}$。
$\frac{5}{2}$
因为$(7 - 2m) + (2m - 6) = 1$，所以$(7 - 2m)^2 + (2m - 6)^2 = [(7 - 2m) + (2m - 6)]^2 - 2(7 - 2m)(2m - 6) = 1^2 - 2×(-\frac{9}{2}) = 1 + 9 = 10$。
则$\frac{1}{4}(7 - 2m)^2 + (m - 3)^2 = \frac{1}{4}(7 - 2m)^2 + \frac{1}{4}(2m - 6)^2 = \frac{1}{4}[(7 - 2m)^2 + (2m - 6)^2] = \frac{1}{4}×10 = \frac{5}{2}$。
$\frac{5}{2}$
7. 如图，在长方形 $ABCD$ 中，$AB = 24$，$AD = 16$，点 $G$，$O$ 是 $AB$，$AD$ 上的点，且 $BG = OD = x$，分别以 $AG$，$AO$ 为边在长方形 $ABCD$ 外侧作正方形 $AEFG$ 和 $APQO$，若长方形 $AGHO$ 的面积为 $120$，求图中阴影部分的面积和。
答案：7. 因为$AB = 24$,$AD = 16$,$BG = OD = x$, 所以$AG = 24 - x$,$AO = 16 - x$. 因为长方形$AGHO$的面积为 120, 所以$AG · AO = (24 - x)(16 - x) = 120$, 所以$(24 - x)(x - 16) = -120$, 设$24 - x = a$,$x - 16 = b$, 则$ab = -120$,$a + b = 8$, 所以$S_{阴影} = AG^2 + AO^2 = (24 - x)^2 + (16 - x)^2 = a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab = 8^2 - 2 × (-120) = 304$.
解析：
因为 $ AB = 24 $，$ AD = 16 $，$ BG = OD = x $，所以 $ AG = AB - BG = 24 - x $，$ AO = AD - OD = 16 - x $。
由于长方形 $ AGHO $ 的面积为 120，且长方形面积等于长乘宽，所以 $ AG · AO = 120 $，即 $ (24 - x)(16 - x) = 120 $。
设 $ a = 24 - x $，$ b = 16 - x $，则 $ a · b = 120 $，且 $ a - b = (24 - x) - (16 - x) = 8 $。
阴影部分面积为正方形 $ AEFG $ 与正方形 $ APQO $ 的面积之和，即 $ AG^2 + AO^2 = a^2 + b^2 $。
因为 $ a^2 + b^2 = (a - b)^2 + 2ab $，将 $ a - b = 8 $，$ ab = 120 $ 代入，可得 $ a^2 + b^2 = 8^2 + 2×120 = 64 + 240 = 304 $。
故阴影部分的面积和为 $ 304 $。
由于长方形 $ AGHO $ 的面积为 120，且长方形面积等于长乘宽，所以 $ AG · AO = 120 $，即 $ (24 - x)(16 - x) = 120 $。
设 $ a = 24 - x $，$ b = 16 - x $，则 $ a · b = 120 $，且 $ a - b = (24 - x) - (16 - x) = 8 $。
阴影部分面积为正方形 $ AEFG $ 与正方形 $ APQO $ 的面积之和，即 $ AG^2 + AO^2 = a^2 + b^2 $。
因为 $ a^2 + b^2 = (a - b)^2 + 2ab $，将 $ a - b = 8 $，$ ab = 120 $ 代入，可得 $ a^2 + b^2 = 8^2 + 2×120 = 64 + 240 = 304 $。
故阴影部分的面积和为 $ 304 $。