专题提优 5 整体思想在整式化简中的应用
1. 阅读：已知 $x^{2}y = 3$，求 $2xy(x^{5}y^{2}-3x^{3}y - 4x)$的值。
分析：考虑到 $x$，$y$ 的可能值较多，不能逐一代入求解，故考虑整体思想，将 $x^{2}y = 3$ 整体代入。
解：$2xy(x^{5}y^{2}-3x^{3}y - 4x)$
$= 2x^{6}y^{3}-6x^{4}y^{2}-8x^{2}y$
$= 2(x^{2}y)^{3}-6(x^{2}y)^{2}-8(x^{2}y)$
$= 2×3^{3}-6×3^{2}-8×3$
$= -24$。
请用上述方法解决以下问题：
(1) 已知 $ab = 3$，求 $(2a^{3}b^{2}-3a^{2}b + 4a)·(-2b)$的值；
(2) 已知 $x^{2}y = 2$，求 $2xy(x^{5}y^{2}-3x^{3}y - 4x)$的值。
1. 阅读：已知 $x^{2}y = 3$，求 $2xy(x^{5}y^{2}-3x^{3}y - 4x)$的值。
分析：考虑到 $x$，$y$ 的可能值较多，不能逐一代入求解，故考虑整体思想，将 $x^{2}y = 3$ 整体代入。
解：$2xy(x^{5}y^{2}-3x^{3}y - 4x)$
$= 2x^{6}y^{3}-6x^{4}y^{2}-8x^{2}y$
$= 2(x^{2}y)^{3}-6(x^{2}y)^{2}-8(x^{2}y)$
$= 2×3^{3}-6×3^{2}-8×3$
$= -24$。
请用上述方法解决以下问题：
(1) 已知 $ab = 3$，求 $(2a^{3}b^{2}-3a^{2}b + 4a)·(-2b)$的值；
(2) 已知 $x^{2}y = 2$，求 $2xy(x^{5}y^{2}-3x^{3}y - 4x)$的值。
答案：1. (1) $(2a^{3}b^{2}-3a^{2}b + 4a)·(-2b)=-4a^{3}b^{3}+6a^{2}b^{2}-8ab=-4(ab)^{3}+6(ab)^{2}-8(ab)=-4×3^{3}+6×3^{2}-8×3=-78$.(2) 因为 $x^{2}y = 2$，所以 $2xy(x^{5}y^{2}-3x^{3}y - 4x)=2x^{6}y^{3}-6x^{4}y^{2}-8x^{2}y=2(x^{2}y)^{3}-6(x^{2}y)^{2}-8x^{2}y=2×2^{3}-6×2^{2}-8×2=16 - 24 - 16=-24$.
2. 观察规律，完成下列问题：
例：计算：$2025^{3}-2024×2025×2026$。
解：设 $2025 = x$，则原式 $= x^{3}-(x - 1)x(x + 1)=x^{3}-x(x^{2}-1)=x = 2025$。
(1) 计算：①$223^{2}-224×222$；
②$3.456×2.456×5.456-3.456^{3}-1.456^{2}$。
(2) 若 $M = 123456789×123456786$，$N = 123456788×123456787$，请比较 $M$，$N$ 的大小。
例：计算：$2025^{3}-2024×2025×2026$。
解：设 $2025 = x$，则原式 $= x^{3}-(x - 1)x(x + 1)=x^{3}-x(x^{2}-1)=x = 2025$。
(1) 计算：①$223^{2}-224×222$；
②$3.456×2.456×5.456-3.456^{3}-1.456^{2}$。
(2) 若 $M = 123456789×123456786$，$N = 123456788×123456787$，请比较 $M$，$N$ 的大小。
答案：2. (1) ①设 $223 = x$，则原式 $=x^{2}-(x + 1)(x - 1)=x^{2}-(x^{2}-1)=x^{2}-x^{2}+1 = 1$.
②设 $3.456 = a$，则 $2.456 = a - 1$，$5.456 = a + 2$，$1.456 = a - 2$，可得 $3.456×2.456×5.456 - 3.456^{3}-1.456^{2}=a×(a - 1)×(a + 2)-a^{3}-(a - 2)^{2}=a^{3}+a^{2}-2a - a^{3}-a^{2}+4a - 4 = 2a - 4$. 因为 $a = 3.456$，所以原式 $=2a - 4 = 2×3.456 - 4 = 2.912$.
(2) 设 $123456788 = x$，$123456786 = y$，因为 $M - N = 123456789×123456786 - 123456788×123456787=(x + 1)y - x(y + 1)=xy + y - xy - x = y - x=-2＜0$，所以 $M＜ N$.
②设 $3.456 = a$，则 $2.456 = a - 1$，$5.456 = a + 2$，$1.456 = a - 2$，可得 $3.456×2.456×5.456 - 3.456^{3}-1.456^{2}=a×(a - 1)×(a + 2)-a^{3}-(a - 2)^{2}=a^{3}+a^{2}-2a - a^{3}-a^{2}+4a - 4 = 2a - 4$. 因为 $a = 3.456$，所以原式 $=2a - 4 = 2×3.456 - 4 = 2.912$.
(2) 设 $123456788 = x$，$123456786 = y$，因为 $M - N = 123456789×123456786 - 123456788×123456787=(x + 1)y - x(y + 1)=xy + y - xy - x = y - x=-2＜0$，所以 $M＜ N$.
3. 已知 $a=\frac{3}{8}x - 20$，$b=\frac{3}{8}x - 18$，$c=\frac{3}{8}x - 16$，求 $a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab - ac - bc$的值。
答案：3. 令 $\frac{3}{8}x - 18 = m$，则 $a = m - 2$，$b = m$，$c = m + 2$，则 $a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab - ac - bc=(m - 2)^{2}+m^{2}+(m + 2)^{2}-m(m - 2)-(m - 2)(m + 2)-m(m + 2)=12$.
一题多解 $a - b=-2$，$b - c=-2$，$c - a = 4$，所以 $(a - b)^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab = 4$，$(b - c)^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc = 4$，$(c - a)^{2}=c^{2}+a^{2}-2ca = 16$，所以 $a^{2}+b^{2}-2ab + b^{2}+c^{2}-2bc + c^{2}+a^{2}-2ca = 2(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab - ac - bc)=24$，所以 $a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab - ac - bc = 12$.
一题多解 $a - b=-2$，$b - c=-2$，$c - a = 4$，所以 $(a - b)^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab = 4$，$(b - c)^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc = 4$，$(c - a)^{2}=c^{2}+a^{2}-2ca = 16$，所以 $a^{2}+b^{2}-2ab + b^{2}+c^{2}-2bc + c^{2}+a^{2}-2ca = 2(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab - ac - bc)=24$，所以 $a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab - ac - bc = 12$.
4. (1) 已知 $a - b = 1$，$b - c = -3$，求 $2(b - a)^{2}-3(b - c)^{2}+4(a - c)^{2}$的值；
(2) 已知 $a - b = b - c=\frac{3}{5}$，$a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$，求 $ab + bc + ac$的值；
(3) 已知 $a + b + c = 0$，$a^{2}+b^{2}+c^{2}=4$，求 $a^{4}+b^{4}+c^{4}$的值。
(2) 已知 $a - b = b - c=\frac{3}{5}$，$a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$，求 $ab + bc + ac$的值；
(3) 已知 $a + b + c = 0$，$a^{2}+b^{2}+c^{2}=4$，求 $a^{4}+b^{4}+c^{4}$的值。
答案：4. (1) 因为 $a - b = 1$，$b - c=-3$，所以 $a - b+(b - c)=a - c=-2$，所以 $2(b - a)^{2}-3(b - c)^{2}+4(a - c)^{2}=2×1 - 3×(-3)^{2}+4×(-2)^{2}=2 - 27 + 16=-9$.
(2) 因为 $a - b = b - c=\frac{3}{5}$，所以 $a - c=\frac{6}{5}$，所以 $(a - b)^{2}=\frac{9}{25}$，$(b - c)^{2}=\frac{9}{25}$，$(a - c)^{2}=\frac{36}{25}$，所以 $a^{2}+b^{2}-2ab + b^{2}+c^{2}-2bc + a^{2}+c^{2}-2ac=\frac{9}{25}+\frac{9}{25}+\frac{36}{25}=\frac{54}{25}$，所以 $2(a^{2}+b^{2}+c^{2})-\frac{54}{25}=2ab + 2ac + 2bc$，所以 $-\frac{4}{25}=2ab + 2ac + 2bc$，所以 $ab + bc + ac=-\frac{2}{25}$.
(3) 因为 $a + b + c = 0$，$a^{2}+b^{2}+c^{2}=4$，$(a + b + c)^{2}=(a^{2}+b^{2}+c^{2})+2(ab + bc + ca)$，所以 $ab + bc + ac=-2$，$a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}=(ab + bc + ac)^{2}-2(a + b + c)· abc=(-2)^{2}-2×0 = 4$，所以 $a^{4}+b^{4}+c^{4}=(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}-2(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})=4^{2}-2×4 = 8$.
(2) 因为 $a - b = b - c=\frac{3}{5}$，所以 $a - c=\frac{6}{5}$，所以 $(a - b)^{2}=\frac{9}{25}$，$(b - c)^{2}=\frac{9}{25}$，$(a - c)^{2}=\frac{36}{25}$，所以 $a^{2}+b^{2}-2ab + b^{2}+c^{2}-2bc + a^{2}+c^{2}-2ac=\frac{9}{25}+\frac{9}{25}+\frac{36}{25}=\frac{54}{25}$，所以 $2(a^{2}+b^{2}+c^{2})-\frac{54}{25}=2ab + 2ac + 2bc$，所以 $-\frac{4}{25}=2ab + 2ac + 2bc$，所以 $ab + bc + ac=-\frac{2}{25}$.
(3) 因为 $a + b + c = 0$，$a^{2}+b^{2}+c^{2}=4$，$(a + b + c)^{2}=(a^{2}+b^{2}+c^{2})+2(ab + bc + ca)$，所以 $ab + bc + ac=-2$，$a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}=(ab + bc + ac)^{2}-2(a + b + c)· abc=(-2)^{2}-2×0 = 4$，所以 $a^{4}+b^{4}+c^{4}=(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}-2(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})=4^{2}-2×4 = 8$.