1. 有若干张面积分别为 $a^{2},b^{2}$ 的正方形纸片和面积为 $ab$ 的长方形纸片，小明从中抽取了1张面积为 $b^{2}$ 的正方形纸片，6张面积为 $ab$ 的长方形纸片。若他想拼成一个大正方形，则还需要抽取面积为 $a^{2}$ 的正方形纸片 (
A.4张
B.8张
C.9张
D.10张
C
)A.4张
B.8张
C.9张
D.10张
答案：1. C 解析:要拼成正方形,则$b^{2}+6ab+ka^{2}$是完全平方式,$(b+3a)^{2}=b^{2}+6ab+9a^{2}$,故还需面积为$a^{2}$的正方形纸片9张.故选C.
2. (2025·漯河期末)两个边长为 $a$ 的大正方形与两个边长为 $b$ 的小正方形按如图所示放置，如果 $a - b = 2$，$ab = 26$，那么阴影部分的面积是 (
A.30
B.34
C.40
D.44
A
)A.30
B.34
C.40
D.44
答案：2. A 解析:因为$a - b = 2$,$ab = 26$,所以$(a - b)^{2}=a^{2}-2ab + b^{2}=4$,所以$a^{2}+b^{2}=4 + 2ab = 4 + 52 = 56$,阴影部分的面积$=2×\frac{1}{2}(a - b)×a + 2×\frac{1}{2}b×b=a(a - b)+b^{2}=a^{2}+b^{2}-ab=56 - 26 = 30$.故选A.
3. (2025·徐州期中)已知两个边长都为 $a$ cm 的大正方形，两个边长都为 $b$ cm 的小正方形和五个长、宽分别是 $a$ cm、$b$ cm 的小长方形 ($a＞b$)，按如图所示的方式正好不重叠地拼成一个大长方形。已知拼成的大长方形周长为 72 cm，图中阴影部分四个正方形的面积之和为 $240$ cm²，则图中每个小长方形的面积为 (
A.$11$ cm²
B.$12$ cm²
C.$24$ cm²
D.$36$ cm²
B
)A.$11$ cm²
B.$12$ cm²
C.$24$ cm²
D.$36$ cm²
答案：3. B 解析:因为大长方形周长为72cm,所以$2[(2a + b)+(a + 2b)] = 72$,所以$a + b = 12$.因为四个阴影正方形的面积之和为$240cm^{2}$,所以$2a^{2}+2b^{2}=240$,所以$a^{2}+b^{2}=120$.因为$(a + b)^{2}=a^{2}+2ab + b^{2}$,所以$144 = 120 + 2ab$,所以$ab = 12$.故选B.
4. (2025·宿迁期中)如图，在线段 $CE$ 上取一点 $D(CD＞DE)$，分别以 $CD$，$DE$ 为边作正方形 $CDAB$，$DEFG$，连接 $BG$，$CG$，$DF$。已知图中阴影部分的面积之和为 $10.5$，$△ CDG$ 面积为 6，则 $AG$ 的长度为
3
。答案：4. 3 解析:设$CD = a$,$DE = b$,因为$CD ＞ DE$,所以$a ＞ b ＞ 0$,$a - b ＞ 0$,因为四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形,所以$CD = AD = AB = a$,$∠A = ∠CDG = 90^{\circ}$,$DG = FG = b$,$∠DGF = 90^{\circ}$,所以$AG = AD - DG = a - b$,所以$S_{△ABG}=\frac{1}{2}AB· AG=\frac{1}{2}a(a - b)$,$S_{△DCF}=\frac{1}{2}DG· FG=\frac{1}{2}b^{2}$.因为题图中阴影部分的面积之和为10.5,所以$\frac{1}{2}a(a - b)+\frac{1}{2}b^{2}=10.5$,整理得$a^{2}-ab + b^{2}=21$ ①.又因为$△CDG$面积为6,所以$\frac{1}{2}CD· DG=\frac{1}{2}ab = 6$,整理得$ab = 12$ ②,① - ②,得$a^{2}-2ab + b^{2}=9$,所以$(a - b)^{2}=9$.因为$a - b ＞ 0$,所以$a - b = 3$,所以$AG = a - b = 3$.
解析：
设$CD = a$，$DE = b$，且$a ＞ b ＞ 0$。
因为四边形$ABCD$和$DEFG$是正方形，所以$CD = AD = AB = a$，$DG = FG = b$，$∠ A = ∠ DGF = 90°$。
$AG = AD - DG = a - b$。
$S_{△ ABG} = \frac{1}{2}AB · AG = \frac{1}{2}a(a - b)$，$S_{△ DGF} = \frac{1}{2}DG · FG = \frac{1}{2}b^2$。
阴影部分面积之和为$10.5$，则$\frac{1}{2}a(a - b) + \frac{1}{2}b^2 = 10.5$，整理得$a^2 - ab + b^2 = 21$ ①。
$△ CDG$面积为$6$，$\frac{1}{2}CD · DG = \frac{1}{2}ab = 6$，得$ab = 12$ ②。
① - ②得$a^2 - 2ab + b^2 = 9$，即$(a - b)^2 = 9$。
因为$a - b ＞ 0$，所以$a - b = 3$，即$AG = 3$。
3
因为四边形$ABCD$和$DEFG$是正方形，所以$CD = AD = AB = a$，$DG = FG = b$，$∠ A = ∠ DGF = 90°$。
$AG = AD - DG = a - b$。
$S_{△ ABG} = \frac{1}{2}AB · AG = \frac{1}{2}a(a - b)$，$S_{△ DGF} = \frac{1}{2}DG · FG = \frac{1}{2}b^2$。
阴影部分面积之和为$10.5$，则$\frac{1}{2}a(a - b) + \frac{1}{2}b^2 = 10.5$，整理得$a^2 - ab + b^2 = 21$ ①。
$△ CDG$面积为$6$，$\frac{1}{2}CD · DG = \frac{1}{2}ab = 6$，得$ab = 12$ ②。
① - ②得$a^2 - 2ab + b^2 = 9$，即$(a - b)^2 = 9$。
因为$a - b ＞ 0$，所以$a - b = 3$，即$AG = 3$。
3
5. 两个边长分别为 $a$ 和 $b$ 的正方形如图放置(如图①)，其未叠合部分(阴影)面积为 $S_{1}$；若再在图①中大正方形的右下角摆放一个边长为 $b$ 的小正方形(如图②)，两个小正方形叠合部分(阴影)面积为 $S_{2}$。
(1)用含 $a$，$b$ 的代数式分别表示 $S_{1}$，$S_{2}$。
(2)若 $a - b = 8$，$ab = 13$，求 $S_{1} + S_{2}$ 的值。
(3)用含 $a$，$b$ 的代数式表示 $S_{3}$；当 $S_{1} + S_{2} = 34$ 时，求出图③中阴影部分的面积 $S_{3}$。
(1)用含 $a$，$b$ 的代数式分别表示 $S_{1}$，$S_{2}$。
(2)若 $a - b = 8$，$ab = 13$，求 $S_{1} + S_{2}$ 的值。
(3)用含 $a$，$b$ 的代数式表示 $S_{3}$；当 $S_{1} + S_{2} = 34$ 时，求出图③中阴影部分的面积 $S_{3}$。
答案：5. (1)由题图可得$S_{1}=a^{2}-b^{2}$,$S_{2}=2b^{2}-ab$.
(2)因为$a - b = 8$,$ab = 13$,所以$S_{1}+S_{2}=a^{2}-b^{2}+2b^{2}-ab=a^{2}+b^{2}-ab=(a - b)^{2}+ab=8^{2}+13=64 + 13 = 77$,所以$S_{1}+S_{2}$的值为77.
(3)由题图可得$S_{3}=a^{2}+b^{2}-\frac{1}{2}b(a + b)-\frac{1}{2}a^{2}=\frac{1}{2}(a^{2}+b^{2}-ab)$.因为$S_{1}+S_{2}=a^{2}+b^{2}-ab = 34$,所以$S_{3}=\frac{1}{2}×34 = 17$.所以题图③中阴影部分的面积$S_{3}$为17.
(2)因为$a - b = 8$,$ab = 13$,所以$S_{1}+S_{2}=a^{2}-b^{2}+2b^{2}-ab=a^{2}+b^{2}-ab=(a - b)^{2}+ab=8^{2}+13=64 + 13 = 77$,所以$S_{1}+S_{2}$的值为77.
(3)由题图可得$S_{3}=a^{2}+b^{2}-\frac{1}{2}b(a + b)-\frac{1}{2}a^{2}=\frac{1}{2}(a^{2}+b^{2}-ab)$.因为$S_{1}+S_{2}=a^{2}+b^{2}-ab = 34$,所以$S_{3}=\frac{1}{2}×34 = 17$.所以题图③中阴影部分的面积$S_{3}$为17.