6. 借助图形直观感受数与形之间的关系，我们常常可以发现一些重要结论。
【初步应用】
(1)①如图①，大长方形的面积可以看成4个小长方形的面积之和，由此得到多项式乘多项式的运算法则：
②如图②，借助①，写出一个我们学过的公式：
【深入探究】
(2)仿照图②，构造图形并计算 $(a + b + c)^{2}$。
【拓展延伸】
借助以上探究经验，解决下列问题：
(3)①代数式 $(a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} + a_{5})^{2}$ 展开、合并同类项后，得到的多项式一共有
②若正数 $x$，$y$，$z$ 和正数 $m$，$n$，$p$ 满足 $x + m = y + n = z + p = t$，请通过构造图形比较 $px + my + nz$ 与 $t^{2}$ 的大小(画出图形，无需说明理由)。
【初步应用】
(1)①如图①，大长方形的面积可以看成4个小长方形的面积之和，由此得到多项式乘多项式的运算法则：
(a + b)(c + d)=ac + ad + bc + bd
(用图中字母表示)；②如图②，借助①，写出一个我们学过的公式：
$(a + b)^{2}=a^{2}+2ab + b^{2}$
(用图中字母表示)。【深入探究】
(2)仿照图②，构造图形并计算 $(a + b + c)^{2}$。
【拓展延伸】
借助以上探究经验，解决下列问题：
(3)①代数式 $(a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} + a_{5})^{2}$ 展开、合并同类项后，得到的多项式一共有
15
项；②若正数 $x$，$y$，$z$ 和正数 $m$，$n$，$p$ 满足 $x + m = y + n = z + p = t$，请通过构造图形比较 $px + my + nz$ 与 $t^{2}$ 的大小(画出图形，无需说明理由)。
答案：
6. (1)①$(a + b)(c + d)=ac + ad + bc + bd$ ②$(a + b)^{2}=a^{2}+2ab + b^{2}$
(2)已知大正方形的边长为$a + b + c$,如图①所示.(构造图形合理即可)利用图形的面积关系可得$(a + b + c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab + 2bc + 2ac$.
(3)①15 解析:$(a_{1}+a_{2})^{2}=(a_{1}^{2}+a_{2}^{2})+2a_{1}a_{2}$,所以一共有$2 + 1 = 3$(项);$(a_{1}+a_{2}+a_{3})^{2}=(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2})+(2a_{1}a_{2}+2a_{1}a_{3})+2a_{2}a_{3}$,所以一共有$3 + 2 + 1 = 6$(项);$(a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4})^{2}=(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+a_{4}^{2})+(2a_{1}a_{2}+2a_{1}a_{3}+2a_{1}a_{4})+(2a_{2}a_{3}+2a_{2}a_{4})+2a_{3}a_{4}$,所以一共有$4 + 3 + 2 + 1 = 10$(项);$(a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5})^{2}=(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+a_{4}^{2}+a_{5}^{2})+(2a_{1}a_{2}+2a_{1}a_{3}+2a_{1}a_{4}+2a_{1}a_{5})+(2a_{2}a_{3}+2a_{2}a_{4}+2a_{2}a_{5})+(2a_{3}a_{4}+2a_{3}a_{5})+2a_{4}a_{5}$,所以一共有$5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15$(项).故答案为15.②如图②,由图形得$px + my + nz ＜ t^{2}$.(构造图形合理即可)
6. (1)①$(a + b)(c + d)=ac + ad + bc + bd$ ②$(a + b)^{2}=a^{2}+2ab + b^{2}$
(2)已知大正方形的边长为$a + b + c$,如图①所示.(构造图形合理即可)利用图形的面积关系可得$(a + b + c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab + 2bc + 2ac$.
(3)①15 解析:$(a_{1}+a_{2})^{2}=(a_{1}^{2}+a_{2}^{2})+2a_{1}a_{2}$,所以一共有$2 + 1 = 3$(项);$(a_{1}+a_{2}+a_{3})^{2}=(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2})+(2a_{1}a_{2}+2a_{1}a_{3})+2a_{2}a_{3}$,所以一共有$3 + 2 + 1 = 6$(项);$(a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4})^{2}=(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+a_{4}^{2})+(2a_{1}a_{2}+2a_{1}a_{3}+2a_{1}a_{4})+(2a_{2}a_{3}+2a_{2}a_{4})+2a_{3}a_{4}$,所以一共有$4 + 3 + 2 + 1 = 10$(项);$(a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5})^{2}=(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+a_{4}^{2}+a_{5}^{2})+(2a_{1}a_{2}+2a_{1}a_{3}+2a_{1}a_{4}+2a_{1}a_{5})+(2a_{2}a_{3}+2a_{2}a_{4}+2a_{2}a_{5})+(2a_{3}a_{4}+2a_{3}a_{5})+2a_{4}a_{5}$,所以一共有$5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15$(项).故答案为15.②如图②,由图形得$px + my + nz ＜ t^{2}$.(构造图形合理即可)
7. (2025·烟台期末)数形结合是数学解题中常用的思想方法，现有甲、乙、丙三种方案，能借助图形面积验证 $(a + b)(a - b) = a^{2} - b^{2}$ 正确性的方案是 (
A.只有甲
B.甲、乙
C.乙、丙
D.甲、乙、丙
D
)A.只有甲
B.甲、乙
C.乙、丙
D.甲、乙、丙
答案：7. D 解析:甲:阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差,即$a^{2}-b^{2}$,也可以看作两个长方形的面积和,即$a(a - b)+b(a - b)=(a + b)(a - b)$,因此有$a^{2}-b^{2}=(a + b)(a - b)$,故甲符合题意;乙:阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差,即$a^{2}-b^{2}$,也可以看作三个梯形的面积和,即$\frac{1}{2}(a + b)×\frac{a - b}{2}×2+\frac{1}{2}(a + b)· (a - b)=(a + b)(a - b)$,所以有$a^{2}-b^{2}=(a + b)(a - b)$,故乙符合题意;丙:阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差,即$a^{2}-b^{2}$,也可以看作四个梯形的面积和,即$\frac{1}{2}(a + b)×\frac{a - b}{2}×4=(a + b)· (a - b)$,所以有$a^{2}-b^{2}=(a + b)(a - b)$,故丙符合题意.故选D.
8. 如图，点 $D$，$C$，$H$，$G$ 分别在长方形 $ABJI$ 的边上，点 $E$，$F$ 在 $CD$ 上，若正方形 $ABCD$ 的面积等于 10，图中阴影部分的面积总和为 4，则正方形 $EFGH$ 的面积等于 (
A.3
B.2.5
C.2
D.1.5
C
)A.3
B.2.5
C.2
D.1.5
答案：8. C 解析:设大、小正方形边长分别为$a$,$b$,则有$a^{2}=10$,阴影部分面积为$\frac{1}{2}×(a + b)(a - b)=4$,即$a^{2}-b^{2}=8$,可得$b^{2}=2$,即所求面积是2.故选C.
9. (2025·南阳期中)一个正方形，如果先把一组对边加长 4 cm，再把另一组对边减少 4 cm，这时得到的长方形面积与原正方形的边长减少 2 cm 后的正方形面积相等，则原正方形的面积是
25
cm²。答案：9. 25 解析:设原正方形的边长为$xcm$,则所得到的长方形的长为$(x + 4)cm$,宽为$(x - 4)cm$,所得到的正方形的边长为$(x - 2)cm$.根据题意得$(x + 4)(x - 4)=(x - 2)^{2}$.整理得$x^{2}-16=x^{2}-4x + 4$,即$4x = 20$,解得$x = 5$,所以$x^{2}=5^{2}=25$.
解析：
设原正方形的边长为$x\ \mathrm{cm}$，则得到的长方形的长为$(x + 4)\ \mathrm{cm}$，宽为$(x - 4)\ \mathrm{cm}$，边长减少$2\ \mathrm{cm}$后的正方形边长为$(x - 2)\ \mathrm{cm}$。
根据题意，得$(x + 4)(x - 4) = (x - 2)^2$。
整理，得$x^2 - 16 = x^2 - 4x + 4$。
移项、合并同类项，得$4x = 20$。
解得$x = 5$。
所以原正方形的面积为$x^2 = 5^2 = 25\ \mathrm{cm}^2$。
25
根据题意，得$(x + 4)(x - 4) = (x - 2)^2$。
整理，得$x^2 - 16 = x^2 - 4x + 4$。
移项、合并同类项，得$4x = 20$。
解得$x = 5$。
所以原正方形的面积为$x^2 = 5^2 = 25\ \mathrm{cm}^2$。
25
10. (2025·连云港期中)如图，大正方形与小正方形的面积之差是 80，则阴影部分的面积是
40
。答案：10. 40 解析:设大正方形的边长为$a$,小正方形的边长为$b$,则$AE = a - b$,由于大正方形与小正方形的面积之差是80,即$a^{2}-b^{2}=80$,$S_{阴影部分}=S_{△ACE}+S_{△ADE}=\frac{1}{2}(a - b)· a+\frac{1}{2}(a - b)· b=\frac{1}{2}(a + b)(a - b)=\frac{1}{2}(a^{2}-b^{2})=\frac{1}{2}×80 = 40$.