11. (2025·哈尔滨期中)探索规律。
乐乐在计算：$2^{2} - 1^{2}$，$3^{2} - 2^{2}$……这样的算式时，他想到用“数形结合”的方法来探索：以算式中的两个数分别构造两个正方形，用大正方形的面积减小正方形的面积，求剩余图形的面积。他发现“剩余图形可以转化成长方形，求它的面积可用下面的算式表示”：
① $2^{2} - 1^{2} = (2 + 1)×(2 - 1)$
② $3^{2} - 2^{2} = (3 + 2)×(3 - 2)$
③ $4^{2} - 3^{2} = (4 + 3)×(4 - 3)$
(1)图④的阴影部分表示 $5^{2} - 4^{2}$，这个阴影部分可以转化成长是
(2)根据以上规律计算：$(2^{2} + 4^{2} + 6^{2} + ··· + 100^{2}) - (1^{2} + 3^{2} + 5^{2} + ··· + 99^{2})$。
乐乐在计算：$2^{2} - 1^{2}$，$3^{2} - 2^{2}$……这样的算式时，他想到用“数形结合”的方法来探索：以算式中的两个数分别构造两个正方形，用大正方形的面积减小正方形的面积，求剩余图形的面积。他发现“剩余图形可以转化成长方形，求它的面积可用下面的算式表示”：
① $2^{2} - 1^{2} = (2 + 1)×(2 - 1)$
② $3^{2} - 2^{2} = (3 + 2)×(3 - 2)$
③ $4^{2} - 3^{2} = (4 + 3)×(4 - 3)$
(1)图④的阴影部分表示 $5^{2} - 4^{2}$，这个阴影部分可以转化成长是
9
，宽是1
的长方形；(2)根据以上规律计算：$(2^{2} + 4^{2} + 6^{2} + ··· + 100^{2}) - (1^{2} + 3^{2} + 5^{2} + ··· + 99^{2})$。
答案：11. (1)9 1 解析:$5^{2}-4^{2}=(5 + 4)×(5 - 4)=9×1$,这个阴影部分可以转化成长是9,宽是1的长方形.
(2)$(2^{2}+4^{2}+6^{2}+... +100^{2})-(1^{2}+3^{2}+5^{2}+... +99^{2})=(2^{2}-1^{2})+(4^{2}-3^{2})+(6^{2}-5^{2})+... +(100^{2}-99^{2})=(2 + 1)(2 - 1)+(4 + 3)(4 - 3)+... +(100 + 99)(100 - 99)=(2 + 1)+(4 + 3)+... +(100 + 99)=1 + 2 + 3 + 4 +... +100=\frac{100×101}{2}=5050$.
(2)$(2^{2}+4^{2}+6^{2}+... +100^{2})-(1^{2}+3^{2}+5^{2}+... +99^{2})=(2^{2}-1^{2})+(4^{2}-3^{2})+(6^{2}-5^{2})+... +(100^{2}-99^{2})=(2 + 1)(2 - 1)+(4 + 3)(4 - 3)+... +(100 + 99)(100 - 99)=(2 + 1)+(4 + 3)+... +(100 + 99)=1 + 2 + 3 + 4 +... +100=\frac{100×101}{2}=5050$.
12. (2025·深圳期中)【实践探究】如图①，在边长为 $a$ 的大正方形中剪去一个边长为 $b$ 的小正方形 ($a ＞ b$)，把图①中 L 形的纸片按图②分成四个部分，并剪拼成如图③的一个大长方形；
(1)请写出从图①到图③所得的等式
【应用探究】(2)利用(1)中验证的公式简便计算：$499×501 + 1$；
【知识迁移】(3)类似地，我们还可以通过对立体图形进行变换得到代数恒等式。如图④，在一个棱长为 $a$ 的正方体中去掉一个棱长为 $b$ 的正方体，再把剩余立体图形切割分成如图⑤的三部分，利用立体图形的体积，可得恒等式为：$a^{3} - b^{3} =$
(1)请写出从图①到图③所得的等式
$a^{2}-b^{2}=(a + b)(a - b)$
，并说明理由；【应用探究】(2)利用(1)中验证的公式简便计算：$499×501 + 1$；
【知识迁移】(3)类似地，我们还可以通过对立体图形进行变换得到代数恒等式。如图④，在一个棱长为 $a$ 的正方体中去掉一个棱长为 $b$ 的正方体，再把剩余立体图形切割分成如图⑤的三部分，利用立体图形的体积，可得恒等式为：$a^{3} - b^{3} =$
$a^{2}(a - b)+b^{2}(a - b)+ab(a - b)$
。(结果不需要化简)答案：12. (1)$a^{2}-b^{2}=(a + b)(a - b)$ 理由:题图③整个大长方形的面积等于题图①阴影部分的面积,所以$a^{2}-b^{2}=(2a - 2b)· (\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b)=(a - b)(a + b)$.
(2)原式$=(500 - 1)×(500 + 1)+1=500^{2}-1^{2}+1=250000$.
(3)$a^{2}(a - b)+b^{2}(a - b)+ab(a - b)$ 解析:将立体图形分割成三部分,体积分别为$a^{2}(a - b)$,$b^{2}(a - b)$,$ab(a - b)$,其和为$a^{2}(a - b)+b^{2}(a - b)+ab(a - b)=a^{3}-b^{3}$.
(2)原式$=(500 - 1)×(500 + 1)+1=500^{2}-1^{2}+1=250000$.
(3)$a^{2}(a - b)+b^{2}(a - b)+ab(a - b)$ 解析:将立体图形分割成三部分,体积分别为$a^{2}(a - b)$,$b^{2}(a - b)$,$ab(a - b)$,其和为$a^{2}(a - b)+b^{2}(a - b)+ab(a - b)=a^{3}-b^{3}$.