一、选择题(每小题3分，共24分)
1. 若$□ · 3xy=27x^{3}y^{4}$，则$□$内应填的单项式是(
A.$3x^{3}y^{4}$
B.$9x^{2}y^{2}$
C.$3x^{2}y^{3}$
D.$9x^{2}y^{3}$
1. 若$□ · 3xy=27x^{3}y^{4}$，则$□$内应填的单项式是(
D
)A.$3x^{3}y^{4}$
B.$9x^{2}y^{2}$
C.$3x^{2}y^{3}$
D.$9x^{2}y^{3}$
答案：1. D 解析:因为 $ 9x^{2}y^{3}· 3xy = 27x^{3}y^{4} $，所以应填的单项式为 $ 9x^{2}y^{3} $。故选 D.
2. 下列各运算中，正确的是(
A.$a^{2}(-3a)=-3a^{2}$
B.$2x(x^{2}-1)=2x^{3}-2x$
C.$(1+2a)^{2}=1+2a+4a^{2}$
D.$(2+3a)(2-3a)=4-6a^{2}$
B
)A.$a^{2}(-3a)=-3a^{2}$
B.$2x(x^{2}-1)=2x^{3}-2x$
C.$(1+2a)^{2}=1+2a+4a^{2}$
D.$(2+3a)(2-3a)=4-6a^{2}$
答案：2. B 解析:A. $ a^{2}(-3a) = -3a^{3} $，该选项错误；B. $ 2x(x^{2}-1) = 2x^{3}-2x $，该选项正确；C. $ (1 + 2a)^{2} = 1 + 4a + 4a^{2} $，该选项错误；D. $ (2 + 3a)(2 - 3a) = 4 - 9a^{2} $，该选项错误.故选 B.
3. 若$(y^{2}+ay+2)(2y-4)$的结果中不含$y^{2}$项，则$a$的值为(
A.0
B.2
C.$\frac{1}{2}$
D.-2
B
)A.0
B.2
C.$\frac{1}{2}$
D.-2
答案：3. B 解析: $ (y^{2}+ay + 2)(2y - 4) = 2y^{3}-4y^{2}+2ay^{2}-4ay + 4y - 8 = 2y^{3}+(-4 + 2a)y^{2}+(-4a + 4)y - 8 $。因为结果中不含 $ y^{2} $项，所以 $ -4 + 2a = 0 $，解得 $ a = 2 $。故选 B.
4. 如图所示的长方体中，棱$CG$的长度为$x$，长方形$ADFE$与长方形$DCGF$的面积如图所示，则长方形$ABCD$的面积为(
A.$2x^{4}+2x^{2}y$
B.$2x^{3}+2xy$
C.$2x^{2}+2y^{2}$
D.$2x^{2}+2y$
B
)A.$2x^{4}+2x^{2}y$
B.$2x^{3}+2xy$
C.$2x^{2}+2y^{2}$
D.$2x^{2}+2y$
答案：4. B 解析:因为长方形 $ DCGF $的面积为 $ 2x^{2} $，$ CG = x $，所以 $ CD = 2x $，$ DF = CG = x $。因为长方形 $ ADFE $的面积为 $ x^{3}+xy $，所以 $ AD = x^{2}+y $，所以长方形 $ ABCD $的面积为 $ AD· CD = (x^{2}+y)· 2x = 2x^{3}+2xy $。故选 B.
5. 若$2^{x^{2}+y^{2}}=m$，$2^{xy}=n$，则$2^{(x+y)^{2}}=$(
A.$m+n^{2}$
B.$m+2n$
C.$mn^{2}$
D.$2mn$
C
)A.$m+n^{2}$
B.$m+2n$
C.$mn^{2}$
D.$2mn$
答案：5. C 解析:因为 $ 2^{x^{2}+y^{2}} = m $，$ 2^{xy} = n $，所以 $ 2^{(x + y)^{2}} = 2^{x^{2}+y^{2}+2xy} = 2^{x^{2}+y^{2}}· 2^{2xy} = 2^{x^{2}+y^{2}}· (2^{xy})^{2} = mn^{2} $。故选 C.
6. (2025·衡阳月考)设有边长分别为$a$和$b(a＞b)$的$A$类和$B$类正方形纸片，长为$a$、宽为$b$的$C$类长方形纸片若干张.如图所示要拼一个边长为$a+b$的正方形，需要1张$A$类纸片、1张$B$类纸片和2张$C$类纸片.若要拼一个长为$3a+b$、宽为$2a+2b$的长方形，则需要$C$类纸片的张数为(
A.6
B.7
C.8
D.9
C
)A.6
B.7
C.8
D.9
答案：6. C 解析:因为 $ (3a + b)(2a + 2b) = 6a^{2}+6ab + 2ab + 2b^{2} = 6a^{2}+8ab + 2b^{2} $，所以若要拼一个长为 $ 3a + b $、宽为 $ 2a + 2b $的长方形，则需要 C 类纸片的张数为 8。故选 C.
7. 如图，依次输入数$x$，$y$，经过“数值交换机”$(x-2y)^{2}-(2y+1)(2y-1)-x(x-4y+2)+y$后会输出新数.若依次输入数$b$，$a$，输出的新数是-3.则$b-\frac{1}{2}a$的值分别为(
A.2
B.3
C.4
D.5
A
)A.2
B.3
C.4
D.5
答案：7. A 解析: $ (x - 2y)^{2}-(2y + 1)(2y - 1)-x(x - 4y + 2)+y = x^{2}-4xy + 4y^{2}-4y^{2}+1 - x^{2}+4xy - 2x + y = -2x + y + 1 $，由题意得 $ -2b + a + 1 = -3 $，所以 $ -2(b - \frac{1}{2}a) = -4 $，得 $ b - \frac{1}{2}a = 2 $。故选 A.
8. (2025·漳州期末)若$m=999913×999987$，则有理数$m$的末尾五位数是(
A.01131
B.11131
C.03131
D.13131
A
)A.01131
B.11131
C.03131
D.13131
答案：8. A 解析:设 $ a = 1000000 $，则 $ m = 999913×999987 = (a - 87)·(a - 13) = a^{2}-13a - 87a + 1131 = a^{2}-100a + 1131 $，因为 $ a^{2} $和 $ 100a $的末尾五位数都是 0，所以 $ a^{2}-100a + 1131 $的末尾五位数是 01131。故选 A.
二、填空题(每小题3分，共30分)
9. 计算：(1)$(2a)^{3}(-3ab^{2})=$
(2)$x(2x^{2}-3x+1)=$
9. 计算：(1)$(2a)^{3}(-3ab^{2})=$
$-24a^{4}b^{2}$
；(2)$x(2x^{2}-3x+1)=$
$2x^{3}-3x^{2}+x$
。答案：9. (1) $ -24a^{4}b^{2} $ (2) $ 2x^{3}-3x^{2}+x $
10. 若$x+y=-1$，$x^{2}-y^{2}=3$，则$y-x$的值为
3
。答案：10. 3 解析:因为 $ x^{2}-y^{2} = (x + y)(x - y) = 3 $，$ x + y = -1 $，所以 $ x - y = -3 $，所以 $ y - x = 3 $。
解析：
因为$x^{2}-y^{2}=(x + y)(x - y)=3$，$x + y=-1$，所以$x - y=-3$，则$y - x=3$。
11. (2025·南京期末)把$4a^{2}-2a+1$加上一个单项式
$-2a$（答案不唯一）
可以成为一个多项式的平方.(写出一个即可)答案：11. $ -2a $（答案不唯一） 解析:因为 $ (2a - 1)^{2} = 4a^{2}-4a + 1 $，所以 $ -4a - (-2a) = -2a $，所以原式加上一个单项式 $ -2a $可成为多项式 $ 2a - 1 $的平方.
解析：
$-2a$（答案不唯一）
12. 若一个长方体的长、宽、高分别是$3x-4$，$x+2$和$2x$，则它的体积是
$6x^{3}+4x^{2}-16x$
。答案：12. $ 6x^{3}+4x^{2}-16x $ 解析: $ 2x(3x - 4)(x + 2) = (6x^{2}-8x)(x + 2) = 6x^{3}+4x^{2}-16x $。
解析：
$2x(3x - 4)(x + 2)$
$=(6x^{2}-8x)(x + 2)$
$=6x^{3}+12x^{2}-8x^{2}-16x$
$=6x^{3}+4x^{2}-16x$
$=(6x^{2}-8x)(x + 2)$
$=6x^{3}+12x^{2}-8x^{2}-16x$
$=6x^{3}+4x^{2}-16x$
13. 若$(a+m)(a-1)=a^{2}-3a+n$，则$m+n$的值为
0
。答案：13. 0 解析:因为 $ (a + m)(a - 1) = a^{2}-a + ma - m $，所以 $ a^{2}-3a + n = a^{2}-a + ma - m $，即 $ a^{2}-3a + n = a^{2}-(1 - m)a - m $，所以 $ 1 - m = 3 $，$ -m = n $，解得 $ m = -2 $，$ n = 2 $，则 $ m + n = 0 $。
解析：
$(a + m)(a - 1) = a^{2}-a + ma - m$，
因为$(a + m)(a - 1)=a^{2}-3a + n$，
所以$a^{2}-a + ma - m=a^{2}-3a + n$，
即$a^{2}+(m - 1)a - m=a^{2}-3a + n$，
则$\begin{cases}m - 1=-3\\-m=n\end{cases}$，
解得$m=-2$，$n=2$，
所以$m + n=-2 + 2=0$。
因为$(a + m)(a - 1)=a^{2}-3a + n$，
所以$a^{2}-a + ma - m=a^{2}-3a + n$，
即$a^{2}+(m - 1)a - m=a^{2}-3a + n$，
则$\begin{cases}m - 1=-3\\-m=n\end{cases}$，
解得$m=-2$，$n=2$，
所以$m + n=-2 + 2=0$。
14. 某同学在计算一个多项式乘$4x^{2}$时，因抄错运算符号，算成了加上$4x^{2}$，得到的结果是$3x^{2}+2x-1$，那么正确的计算结果是
$-4x^{4}+8x^{3}-4x^{2}$
。答案：14. $ -4x^{4}+8x^{3}-4x^{2} $ 解析:在计算一个多项式乘 $ 4x^{2} $时，因抄错运算符号，算成了加上 $ 4x^{2} $，得到的结果是 $ 3x^{2}+2x - 1 $，设这个多项式为 $ M $，所以 $ M + 4x^{2} = 3x^{2}+2x - 1 $，所以 $ M = 3x^{2}+2x - 1 - 4x^{2} = -x^{2}+2x - 1 $，所以正确的结果为 $ (-x^{2}+2x - 1)· 4x^{2} = -4x^{4}+8x^{3}-4x^{2} $。
解析：
设这个多项式为$M$，
因为$M + 4x^{2} = 3x^{2}+2x - 1$，
所以$M = 3x^{2}+2x - 1 - 4x^{2} = -x^{2}+2x - 1$，
则正确的计算结果为$(-x^{2}+2x - 1)·4x^{2} = -4x^{4}+8x^{3}-4x^{2}$。
$-4x^{4}+8x^{3}-4x^{2}$
因为$M + 4x^{2} = 3x^{2}+2x - 1$，
所以$M = 3x^{2}+2x - 1 - 4x^{2} = -x^{2}+2x - 1$，
则正确的计算结果为$(-x^{2}+2x - 1)·4x^{2} = -4x^{4}+8x^{3}-4x^{2}$。
$-4x^{4}+8x^{3}-4x^{2}$
15. 新题型 新定义 定义：$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad-bc$，若$\begin{vmatrix}x+1&x+2\\x-1&x+3\end{vmatrix}=14$，则$x=$ ______ 。
答案：15. 3 解析:因为 $ \begin{vmatrix}x + 1 & x + 2\\x - 1 & x + 3\end{vmatrix} = 14 $，所以 $ (x + 1)(x + 3)-(x + 2)(x - 1) = 14 $，整理得 $ x^{2}+4x + 3-(x^{2}+x - 2) = 14 $，即 $ 3x + 5 = 14 $，解得 $ x = 3 $。
解析：
由定义可得：$(x+1)(x+3)-(x+2)(x-1)=14$，
展开得：$x^2 + 4x + 3 - (x^2 + x - 2) = 14$，
化简得：$3x + 5 = 14$，
解得：$x = 3$。
$3$
展开得：$x^2 + 4x + 3 - (x^2 + x - 2) = 14$，
化简得：$3x + 5 = 14$，
解得：$x = 3$。
$3$
16. 如图为某正方形房屋的平面图，其中主卧与客卧都为正方形，其面积之和比其余面积(阴影部分)多2.25平方米，则主卧与客卧的周长差为
6
米。答案：16. 6 解析:设主卧的边长为 $ a $米，客卧边长为 $ b $米，根据题意，得 $ (a^{2}+b^{2})-[(a + b)^{2}-(a^{2}+b^{2})] = 2.25 $，整理得 $ (a - b)^{2} = 2.25 $。又因为 $ 1.5^{2} = 2.25 $，所以 $ a - b = 1.5 $，所以主卧与客卧的周长差为 $ 4×1.5 = 6 $（米）。
解析：
设主卧的边长为 $a$ 米，客卧边长为 $b$ 米。
根据题意，得 $(a^{2}+b^{2})-[(a + b)^{2}-(a^{2}+b^{2})] = 2.25$，
整理得 $2(a^{2}+b^{2})-(a^{2}+2ab + b^{2})=2.25$，即 $a^{2}-2ab + b^{2}=2.25$，
则 $(a - b)^{2}=2.25$，
因为 $a ＞ b$，所以 $a - b=\sqrt{2.25}=1.5$，
故主卧与客卧的周长差为 $4a - 4b=4(a - b)=4×1.5=6$ 米。
6
根据题意，得 $(a^{2}+b^{2})-[(a + b)^{2}-(a^{2}+b^{2})] = 2.25$，
整理得 $2(a^{2}+b^{2})-(a^{2}+2ab + b^{2})=2.25$，即 $a^{2}-2ab + b^{2}=2.25$，
则 $(a - b)^{2}=2.25$，
因为 $a ＞ b$，所以 $a - b=\sqrt{2.25}=1.5$，
故主卧与客卧的周长差为 $4a - 4b=4(a - b)=4×1.5=6$ 米。
6