17. 设$a=x-2023$，$b=x-2027$，$c=x-2025$.若$a^{2}=32-b^{2}$，则$c^{2}$的值为
12
。答案：17. 12 解析:因为 $ a = x - 2023 $，$ b = x - 2027 $，$ c = x - 2025 $，所以 $ a - 2 = x - 2025 = c = b + 2 $，$ a - b = 4 $。因为 $ a^{2} = 32 - b^{2} $，所以 $ a^{2}+b^{2} = 32 $，所以 $ (a - b)^{2}+2ab = 32 $，所以 $ ab = 8 $，所以 $ c^{2} = (a - 2)·(b + 2) = ab + 2(a - b)-4 = 8 + 2×4 - 4 = 12 $。
解析：
因为$a = x - 2023$，$b = x - 2027$，$c = x - 2025$，所以$a - c = 2$，$c - b = 2$，即$a = c + 2$，$b = c - 2$，$a - b = 4$。
因为$a^{2} = 32 - b^{2}$，所以$a^{2} + b^{2} = 32$。
又因为$(a - b)^{2} = a^{2} - 2ab + b^{2}$，所以$4^{2} = 32 - 2ab$，即$16 = 32 - 2ab$，解得$ab = 8$。
则$c^{2} = (a - 2)(b + 2) = ab + 2a - 2b - 4 = ab + 2(a - b) - 4 = 8 + 2×4 - 4 = 12$。
12
因为$a^{2} = 32 - b^{2}$，所以$a^{2} + b^{2} = 32$。
又因为$(a - b)^{2} = a^{2} - 2ab + b^{2}$，所以$4^{2} = 32 - 2ab$，即$16 = 32 - 2ab$，解得$ab = 8$。
则$c^{2} = (a - 2)(b + 2) = ab + 2a - 2b - 4 = ab + 2(a - b) - 4 = 8 + 2×4 - 4 = 12$。
12
18. (2025·资阳期中)如图，在大长方形中放入三个正方形$ABCD$，$EFGH$，$LIJK$，边长分别为4，3，2.若3个阴影部分的面积满足$3S_{3}+2S_{1}-S_{2}=10$，则大长方形的面积为
23
。答案：18. 23 解析:设 $ EK = x $，$ EA = y $。因为三个正方形 $ ABCD $，$ EFGH $，$ LIJK $的边长分别为 4，3，2，所以 $ ED = y - 4 $，$ EH = 3 $，$ HL = x - EH - LK = x - 3 - 2 = x - 5 $，所以 $ S_{1} = 3(y - 4) = 3y - 12 $，$ S_{2} = [4 - 3-(x - 5)][4-(y - 2)] = 36 - 6y - 6x + xy $，$ S_{3} = (x - 4)(y - 2) = xy - 2x - 4y + 8 $。因为 $ 3S_{3}+2S_{1}-S_{2} = 10 $，所以 $ 3(xy - 2x - 4y + 8)+2(3y - 12)-(36 - 6y - 6x + xy) = 10 $，化简整理得 $ 2xy - 36 = 10 $，所以 $ xy = 23 $，即大长方形的面积为 23。
三、解答题（共46分）
19. （6分）计算：
（1）$(2x-y)^{2}-(x-y)(x+y)$；
（2）$(3x+y)^{2}(3x-y)^{2}$；
（3）$(x+2y+3z)(x+2y-3z)$.
19. （6分）计算：
（1）$(2x-y)^{2}-(x-y)(x+y)$；
（2）$(3x+y)^{2}(3x-y)^{2}$；
（3）$(x+2y+3z)(x+2y-3z)$.
答案：19. (1)原式 $ = 4x^{2}-4xy + y^{2}-x^{2}+y^{2} = 3x^{2}-4xy + 2y^{2} $。
(2)原式 $ = [(3x + y)(3x - y)]^{2} = (9x^{2}-y^{2})^{2} = 81x^{4}-18x^{2}y^{2}+y^{4} $。
(3)原式 $ = [(x + 2y)+3z][(x + 2y)-3z] = (x + 2y)^{2}-9z^{2} = x^{2}+4xy + 4y^{2}-9z^{2} $。
(2)原式 $ = [(3x + y)(3x - y)]^{2} = (9x^{2}-y^{2})^{2} = 81x^{4}-18x^{2}y^{2}+y^{4} $。
(3)原式 $ = [(x + 2y)+3z][(x + 2y)-3z] = (x + 2y)^{2}-9z^{2} = x^{2}+4xy + 4y^{2}-9z^{2} $。
20. （6分）先化简，再求值：
（1）$(2y+3x)(3x-2y)-4y(x-y)$，其中$x=\frac{1}{3}$，$y=-2$；
（2）$(x-3)^{2}+2(x-2)(x+7)-(x+2)(x-2)$，其中$x^{2}+2x-4=0$.
（1）$(2y+3x)(3x-2y)-4y(x-y)$，其中$x=\frac{1}{3}$，$y=-2$；
（2）$(x-3)^{2}+2(x-2)(x+7)-(x+2)(x-2)$，其中$x^{2}+2x-4=0$.
答案：20. (1)原式 $ = 9x^{2}-4y^{2}-4xy + 4y^{2} = 9x^{2}-4xy $，当 $ x = \frac{1}{3} $，$ y = -2 $时，原式 $ = 9×(\frac{1}{3})^{2}-4×\frac{1}{3}×(-2) = \frac{11}{3} $。
(2)原式 $ = x^{2}-6x + 9 + 2x^{2}+14x - 4x - 28 - x^{2}+4 = 2x^{2}+4x - 15 $，因为 $ x^{2}+2x - 4 = 0 $，所以 $ x^{2}+2x = 4 $。当 $ x^{2}+2x = 4 $时，原式 $ = 2(x^{2}+2x)-15 = 2×4 - 15 = -7 $。
(2)原式 $ = x^{2}-6x + 9 + 2x^{2}+14x - 4x - 28 - x^{2}+4 = 2x^{2}+4x - 15 $，因为 $ x^{2}+2x - 4 = 0 $，所以 $ x^{2}+2x = 4 $。当 $ x^{2}+2x = 4 $时，原式 $ = 2(x^{2}+2x)-15 = 2×4 - 15 = -7 $。
21. （6分）（2025·苏州校级月考）2025年1月7日，长征三号乙运载火箭成功将实践二十五号卫星发射升空，标志着2025年中国航天发射任务的“开门红”.某校的一个数学兴趣小组看到新闻后，产生浓厚的兴趣，制作了如图①所示的航天火箭模型，参加了学校科技节比赛，为了向全校同学宣传自己的科技作品，用KT板制作了如图②所示的宣传版画，它由一个三角形、两个梯形组成，已知KT板（阴影部分）的尺寸如图②所示.
（1）用含$a$，$b$的代数式表示图②的KT板模型的总面积（结果需化简）；
（2）若$a+b=7$，$ab=\frac{25}{2}$，求KT板总面积.
（1）用含$a$，$b$的代数式表示图②的KT板模型的总面积（结果需化简）；
（2）若$a+b=7$，$ab=\frac{25}{2}$，求KT板总面积.
答案：21. (1)由题图可得 $ KT $板模型的总面积为 $ \frac{1}{2}b· a+\frac{1}{2}(b + 3b)·\frac{3}{2}b+\frac{1}{2}(b + 6a - 2b)· a = \frac{1}{2}ab + 3b^{2}+3a^{2}-\frac{1}{2}ab = 3b^{2}+3a^{2} $。
(2)因为 $ a + b = 7 $，$ ab = \frac{25}{2} $，所以 $ a^{2}+b^{2} = (a + b)^{2}-2ab = 7^{2}-2×\frac{25}{2} = 49 - 25 = 24 $，所以 $ KT $板模型的总面积为 $ 3b^{2}+3a^{2} = 3(a^{2}+b^{2}) = 3×24 = 72 $。
(2)因为 $ a + b = 7 $，$ ab = \frac{25}{2} $，所以 $ a^{2}+b^{2} = (a + b)^{2}-2ab = 7^{2}-2×\frac{25}{2} = 49 - 25 = 24 $，所以 $ KT $板模型的总面积为 $ 3b^{2}+3a^{2} = 3(a^{2}+b^{2}) = 3×24 = 72 $。
22. (8分)(2025·石家庄期中)李老师在黑板上写了三个算式，希望同学们认真观察，发现规律，请你结合这些算式解答下列问题.
请观察以下算式：
①$3^{2}-1^{2}=8×1$；②$5^{2}-3^{2}=8×2$；③$7^{2}-5^{2}=8×3$……
(1)请结合上述三个算式的规律，写出第④个算式：
(2)设两个连续奇数为$2n-1$，$2n+1$(其中$n$为正整数)，写出它们的平方差，并说明结果是8的倍数；
(3)试说明：任意三个连续的奇数中，最大的数与最小的数的平方差是8的倍数.
请观察以下算式：
①$3^{2}-1^{2}=8×1$；②$5^{2}-3^{2}=8×2$；③$7^{2}-5^{2}=8×3$……
(1)请结合上述三个算式的规律，写出第④个算式：
$9^{2}-7^{2} = 8×4$
；(2)设两个连续奇数为$2n-1$，$2n+1$(其中$n$为正整数)，写出它们的平方差，并说明结果是8的倍数；
(3)试说明：任意三个连续的奇数中，最大的数与最小的数的平方差是8的倍数.
答案：22. (1) $ 9^{2}-7^{2} = 8×4 $
(2)设两个连续奇数为 $ 2n - 1 $，$ 2n + 1 $（其中 $ n $为正整数），则 $ (2n + 1)^{2}-(2n - 1)^{2} = (2n + 1 + 2n - 1)(2n + 1 - 2n + 1) = 4n×2 = 8n $。故两个连续奇数的平方差是 8 的倍数。
(3)设三个连续奇数为 $ 2n - 3 $，$ 2n - 1 $，$ 2n + 1 $（其中 $ n $为正整数）。因为 $ (2n + 1)^{2}-(2n - 3)^{2} = (2n + 1 + 2n - 3)(2n + 1 - 2n + 3) = (4n - 2)×4 = 16n - 8 = 8(2n - 1) $，所以任意三个连续的奇数中，最大的数与最小的数的平方差是 8 的倍数。
(2)设两个连续奇数为 $ 2n - 1 $，$ 2n + 1 $（其中 $ n $为正整数），则 $ (2n + 1)^{2}-(2n - 1)^{2} = (2n + 1 + 2n - 1)(2n + 1 - 2n + 1) = 4n×2 = 8n $。故两个连续奇数的平方差是 8 的倍数。
(3)设三个连续奇数为 $ 2n - 3 $，$ 2n - 1 $，$ 2n + 1 $（其中 $ n $为正整数）。因为 $ (2n + 1)^{2}-(2n - 3)^{2} = (2n + 1 + 2n - 3)(2n + 1 - 2n + 3) = (4n - 2)×4 = 16n - 8 = 8(2n - 1) $，所以任意三个连续的奇数中，最大的数与最小的数的平方差是 8 的倍数。