23. (10分)阅读以下材料，回答下列问题：
小明遇到这样一个问题：求计算$(x+2)(2x+3)(3x+4)$所得多项式的一次项系数.小明想通过计算$(x+2)(2x+3)(3x+4)$所得的多项式解决上面的问题，但感觉有些繁琐，他想探寻一下，是否有相对简洁的方法.
他决定从简单情况开始，先找$(x+2)(2x+3)$所得多项式中的一次项系数.通过观察发现：
也就是说，只需用$x+2$中的一次项系数1乘$2x+3$中的常数项3，再用$x+2$中的常数项2乘$2x+3$中的一次项系数2，两个积相加$1×3+2×2=7$，即可得到一次项系数.
延续上面的方法，求计算$(x+2)(2x+3)·(3x+4)$所得多项式的一次项系数.可以先用$x+2$的一次项系数1，$2x+3$的常数项3，$3x+4$的常数项4，相乘得到12；再用$2x+3$的一次项系数2，$x+2$的常数项2，$3x+4$的常数项4，相乘得到16；然后用$3x+4$的一次项系数3，$x+2$的常数项2，$2x+3$的常数项3，相乘得到18，最后将12，16，18相加，得到的一次项系数为46.
参考小明思考问题的方法，解决下列问题：
(1)计算$(2x+1)(3x+2)$所得多项式的一次项系数为
(2)计算$(x+1)(3x+2)(4x-3)$所得多项式的一次项系数为
(3)若计算$(x^{2}-x+1)(x^{2}-3x+a)(2x-1)$所得多项式的一次项系数为0，则$a=$
(4)计算$(x+1)^{5}$所得多项式的一次项系数为
(5)计算$(2x-1)^{5}$所得多项式的一次项系数为
小明遇到这样一个问题：求计算$(x+2)(2x+3)(3x+4)$所得多项式的一次项系数.小明想通过计算$(x+2)(2x+3)(3x+4)$所得的多项式解决上面的问题，但感觉有些繁琐，他想探寻一下，是否有相对简洁的方法.
他决定从简单情况开始，先找$(x+2)(2x+3)$所得多项式中的一次项系数.通过观察发现：
也就是说，只需用$x+2$中的一次项系数1乘$2x+3$中的常数项3，再用$x+2$中的常数项2乘$2x+3$中的一次项系数2，两个积相加$1×3+2×2=7$，即可得到一次项系数.
延续上面的方法，求计算$(x+2)(2x+3)·(3x+4)$所得多项式的一次项系数.可以先用$x+2$的一次项系数1，$2x+3$的常数项3，$3x+4$的常数项4，相乘得到12；再用$2x+3$的一次项系数2，$x+2$的常数项2，$3x+4$的常数项4，相乘得到16；然后用$3x+4$的一次项系数3，$x+2$的常数项2，$2x+3$的常数项3，相乘得到18，最后将12，16，18相加，得到的一次项系数为46.
参考小明思考问题的方法，解决下列问题：
(1)计算$(2x+1)(3x+2)$所得多项式的一次项系数为
7
；(2)计算$(x+1)(3x+2)(4x-3)$所得多项式的一次项系数为
-7
；(3)若计算$(x^{2}-x+1)(x^{2}-3x+a)(2x-1)$所得多项式的一次项系数为0，则$a=$
-1
；(4)计算$(x+1)^{5}$所得多项式的一次项系数为
5
；(5)计算$(2x-1)^{5}$所得多项式的一次项系数为
10
，二次项系数为-40
。答案：23. (1)7 解析: $ 2×2 + 1×3 = 7 $。
(2)-7 解析: $ 1×(-3)×2 + 3×1×(-3)+4×1×2 = -6 - 9 + 8 = -7 $。
(3)-1 解析:由题意得 $ (-1)×a×(-1)+(-3)×1×(-1)+2×1×a = 0 $，即 $ a + 3 + 2a = 0 $，得 $ a = -1 $。
(4)5 解析:因为 $ (x + 1)^{5} = (x + 1)(x + 1)(x + 1)(x + 1)(x + 1) = (x^{2}+2x + 1)(x^{2}+2x + 1)(x + 1) $，所以一次项系数为 $ 2×1×1 + 2×1×1 + 1×1×1 = 5 $。
(5)10 -40 解析:因为 $ (2x - 1)^{5} = (2x - 1)(2x - 1)(2x - 1)(2x - 1)(2x - 1) = (4x^{2}-4x + 1)(4x^{2}-4x + 1)(2x - 1) $，所以一次项系数为 $ -4×1×(-1)+(-4)×1×(-1)+2×1×1 = 10 $，二次项系数为 $ 4×1×(-1)×2 + 2×(-4)×1×2 + (-4)×(-4)×(-1) = -40 $。
(2)-7 解析: $ 1×(-3)×2 + 3×1×(-3)+4×1×2 = -6 - 9 + 8 = -7 $。
(3)-1 解析:由题意得 $ (-1)×a×(-1)+(-3)×1×(-1)+2×1×a = 0 $，即 $ a + 3 + 2a = 0 $，得 $ a = -1 $。
(4)5 解析:因为 $ (x + 1)^{5} = (x + 1)(x + 1)(x + 1)(x + 1)(x + 1) = (x^{2}+2x + 1)(x^{2}+2x + 1)(x + 1) $，所以一次项系数为 $ 2×1×1 + 2×1×1 + 1×1×1 = 5 $。
(5)10 -40 解析:因为 $ (2x - 1)^{5} = (2x - 1)(2x - 1)(2x - 1)(2x - 1)(2x - 1) = (4x^{2}-4x + 1)(4x^{2}-4x + 1)(2x - 1) $，所以一次项系数为 $ -4×1×(-1)+(-4)×1×(-1)+2×1×1 = 10 $，二次项系数为 $ 4×1×(-1)×2 + 2×(-4)×1×2 + (-4)×(-4)×(-1) = -40 $。
24. (10分)(2025·连云港月考)综合与实践.
学习整式乘法时，老师拿出三种型号的卡片，如图①，$A$型卡片是边长为$a$的正方形，$B$型卡片是边长为$b$的正方形，$C$型卡片是长和宽分别为$a$，$b$的长方形.
(1)选取1张$A$型卡片，2张$C$型卡片，1张$B$型卡片，在纸上按照图②的方式摆成一个边长为$(a+b)$的大正方形，通过用不同方式表示大正方形的面积，可得到乘法公式
(2)如果用若干张$A$，$B$，$C$三种卡片拼成一个长方形，边长分别为$(2a+b)$和$(a+2b)$，在虚线框中画出你的拼图；
(3)选取1张$A$型卡片，4张$C$型卡片按图③的方式不重叠地放在长方形$MNPQ$框架内，已知$NP$的长度固定不变，$MN$的长度可以变化，图中两阴影部分(长方形)的面积分别表示为$S_{1}$，$S_{2}$，若$Q=S_{1}-S_{2}$，且$Q$为定值，则$a$与$b$的关系是
学习整式乘法时，老师拿出三种型号的卡片，如图①，$A$型卡片是边长为$a$的正方形，$B$型卡片是边长为$b$的正方形，$C$型卡片是长和宽分别为$a$，$b$的长方形.
(1)选取1张$A$型卡片，2张$C$型卡片，1张$B$型卡片，在纸上按照图②的方式摆成一个边长为$(a+b)$的大正方形，通过用不同方式表示大正方形的面积，可得到乘法公式
$(a + b)^{2} = a^{2}+2ab + b^{2}$
；(2)如果用若干张$A$，$B$，$C$三种卡片拼成一个长方形，边长分别为$(2a+b)$和$(a+2b)$，在虚线框中画出你的拼图；
(3)选取1张$A$型卡片，4张$C$型卡片按图③的方式不重叠地放在长方形$MNPQ$框架内，已知$NP$的长度固定不变，$MN$的长度可以变化，图中两阴影部分(长方形)的面积分别表示为$S_{1}$，$S_{2}$，若$Q=S_{1}-S_{2}$，且$Q$为定值，则$a$与$b$的关系是
$a = 3b$
。答案：
24. (1) $ (a + b)^{2} = a^{2}+2ab + b^{2} $
(2)答案不唯一，示例：
(3) $ a = 3b $ 解析:设 $ MN $的长为 $ x $，因为 $ S_{1} = a[x-(a + b)] = ax - a^{2}-ab $，$ S_{2} = 3b(x - a) = 3bx - 3ab $，所以 $ Q = S_{1}-S_{2} = (a - 3b)x - a^{2}+2ab $。因为 $ Q $为定值，所以 $ a - 3b = 0 $，所以 $ a = 3b $。
24. (1) $ (a + b)^{2} = a^{2}+2ab + b^{2} $
(2)答案不唯一，示例：
(3) $ a = 3b $ 解析:设 $ MN $的长为 $ x $，因为 $ S_{1} = a[x-(a + b)] = ax - a^{2}-ab $，$ S_{2} = 3b(x - a) = 3bx - 3ab $，所以 $ Q = S_{1}-S_{2} = (a - 3b)x - a^{2}+2ab $。因为 $ Q $为定值，所以 $ a - 3b = 0 $，所以 $ a = 3b $。