1. 小明的哥哥是一名初中生。他参加歌唱竞赛(满分100分)取得了好成绩，已知他的名次、年龄及得分的乘积是2660。小明哥哥的年龄是几岁？成绩是多少分(得分为整数)？获得了第几名？
答案：1. $2660 = 2×2×5×7×19 = 2×14×95$
小明哥哥的年龄是 14 岁，成绩是 95 分，获得了第二名。
【提示】将 2660 分解质因数可得 $2660 = 2×2×5×7×19$。因为小明哥哥是一名初中生，所以他的年龄应在 13～16 岁，根据 $2660 = 2×14×95$，分析各个数据可能表示的含义即可。
小明哥哥的年龄是 14 岁，成绩是 95 分，获得了第二名。
【提示】将 2660 分解质因数可得 $2660 = 2×2×5×7×19$。因为小明哥哥是一名初中生，所以他的年龄应在 13～16 岁，根据 $2660 = 2×14×95$，分析各个数据可能表示的含义即可。
2. 陈老师带领学生去养老院擦玻璃。学生们恰好能被平均分成4组，并且陈老师与学生每人擦玻璃的块数同样多。已知陈老师与学生一共擦了102块玻璃，则平均每人擦了多少块玻璃？
答案：2. $102 = 2×3×17$ $17 - 1 = 16$（名）
一共有 17 名学生，平均每人擦了 6 块玻璃。
【提示】将 102 分解质因数可得 $102 = 2×3×17$，根据题意，学生能被平均分 4 组和 1 位老师一起擦玻璃。师生总人数有可能是 17、34、51、102，而师生总人数减 1 应是 4 的倍数，符合条件的只有 17，因此师生总人数为 17 人，平均每人擦了 $2×3 = 6$（块）玻璃。
一共有 17 名学生，平均每人擦了 6 块玻璃。
【提示】将 102 分解质因数可得 $102 = 2×3×17$，根据题意，学生能被平均分 4 组和 1 位老师一起擦玻璃。师生总人数有可能是 17、34、51、102，而师生总人数减 1 应是 4 的倍数，符合条件的只有 17，因此师生总人数为 17 人，平均每人擦了 $2×3 = 6$（块）玻璃。
3. 班主任李老师带领五(1)班的学生去植树，学生正好被平均分成4组，师生一共植树222棵。如果李老师和学生每人植树的棵数相同，那么五(1)班有学生多少人？每人植树多少棵？
答案：3. $222 = 2×3×37$
每人植树 2 棵：$3×37 - 1 = 110$（人）
每人植树 3 棵：$2×37 - 1 = 73$（人）
每人植树 6 棵：$37 - 1 = 36$（人）
每人植树 2 棵：$3×37 - 1 = 110$（人）
每人植树 3 棵：$2×37 - 1 = 73$（人）
每人植树 6 棵：$37 - 1 = 36$（人）
4. 小雨用长6cm、宽4cm的卡片(数量足够多)在一张宽为8cm的硬纸板上玩游戏(如下图)。她发现下面两种摆法都正好从该硬纸板(沿长边)的一端摆到另一端，这张硬纸板的长度可能是(
A.30
B.45
C.60
D.75
C
)cm。A.30
B.45
C.60
D.75
答案：4. C 【提示】这张硬纸板的长度是 6 和 4 的公倍数，6 和 4 的最小公倍数是 12，6 和 4 的公倍数有 12，24，36，48，60，72，84，…这张硬纸板的长度可能是 60 厘米。
5. 钱塘江大潮是世界三大涌潮之一，为方便游人观潮，在钱塘江的某段江畔修了亲水栈道，在靠江的一边等距离安装一些夜景灯，且两端和转折点处都要安装(如右下图)。在夜景灯价格一定的情况下，请你设计一个最省钱的方案。至少需要安装多少盏？
答案：5. 180、264 和 144 的最大公因数是 12。
$180÷12 = 15$（个） $264÷12 = 22$（个）
$144÷12 = 12$（个）
$15 + 22 + 12 + 1 = 50$（盏）
【提示】先求出每相邻两盏夜景灯之间的最大距离，再求出一共有多少个间隔，注意在求夜景灯盏数的时候要用到“植树问题”的知识点，弄清间隔数和盏数之间的关系。
方法归纳
用转换法解题
解决这类问题时，可运用转化法将这类问题转化成求几个数的最大公因数问题，据此求出每段的间隔数，每段的间隔数 + 1 = 每段最少安装的盏数（两端都安装）。
$180÷12 = 15$（个） $264÷12 = 22$（个）
$144÷12 = 12$（个）
$15 + 22 + 12 + 1 = 50$（盏）
【提示】先求出每相邻两盏夜景灯之间的最大距离，再求出一共有多少个间隔，注意在求夜景灯盏数的时候要用到“植树问题”的知识点，弄清间隔数和盏数之间的关系。
方法归纳
用转换法解题
解决这类问题时，可运用转化法将这类问题转化成求几个数的最大公因数问题，据此求出每段的间隔数，每段的间隔数 + 1 = 每段最少安装的盏数（两端都安装）。
6. 小明、小军、小利三人沿300m的环形跑道从同一地点同时同方向出发，小明每秒跑3m，小军每秒跑4m，小利每秒跑2m，至少经过多长时间三人在起点再次相遇？此时三人分别跑了几圈？
答案：6. $300÷3 = 100$（秒）
$300÷4 = 75$（秒）
$300÷2 = 150$（秒）
100、75 和 150 的最小公倍数是 300。
$300÷100 = 3$（圈）
$300÷75 = 4$（圈）
$300÷150 = 2$（圈）
至少经过 300 秒三人在起点再次相遇，此时小明跑了 3 圈，小军跑了 4 圈，小利跑了 2 圈。
【提示】此题要先求出三人跑一圈分别用的时间，再找出这三个数的最小公倍数。
$300÷4 = 75$（秒）
$300÷2 = 150$（秒）
100、75 和 150 的最小公倍数是 300。
$300÷100 = 3$（圈）
$300÷75 = 4$（圈）
$300÷150 = 2$（圈）
至少经过 300 秒三人在起点再次相遇，此时小明跑了 3 圈，小军跑了 4 圈，小利跑了 2 圈。
【提示】此题要先求出三人跑一圈分别用的时间，再找出这三个数的最小公倍数。