例 1 已知 $ A $、$ B $ 两个数的最大公因数是 $ 12 $，最小公倍数是 $ 72 $，$ A $ 是 $ 36 $，则 $ B $ 是多少？
解析
$ A $、$ B $ 两个数与这两个数的最大公因数和最小公倍数存在以下关系：
$ A × B = (A, B) × [A, B] $
其中 $ (A, B) $ 表示 $ A $ 和 $ B $ 的最大公因数，$ [A, B] $ 表示 $ A $ 和 $ B $ 的最小公倍数。
题目中已知最大公因数是 $ 12 $，最小公倍数是 $ 72 $，$ A = 36 $，可以根据上述关系求出 $ B $。
解析
$ A $、$ B $ 两个数与这两个数的最大公因数和最小公倍数存在以下关系：
$ A × B = (A, B) × [A, B] $
其中 $ (A, B) $ 表示 $ A $ 和 $ B $ 的最大公因数，$ [A, B] $ 表示 $ A $ 和 $ B $ 的最小公倍数。
题目中已知最大公因数是 $ 12 $，最小公倍数是 $ 72 $，$ A = 36 $，可以根据上述关系求出 $ B $。
答案：答案
$ 72 × 12 = 864 $ $ 864 ÷ 36 = 24 $
答：$ B $ 是 $ 24 $。
小结
两个数的积等于这两个数的最大公因数乘这两个数的最小公倍数。如果已知其中的三个数求第四个数，那么可以根据这一关系快速求解。
$ 72 × 12 = 864 $ $ 864 ÷ 36 = 24 $
答：$ B $ 是 $ 24 $。
小结
两个数的积等于这两个数的最大公因数乘这两个数的最小公倍数。如果已知其中的三个数求第四个数，那么可以根据这一关系快速求解。
1. 两个数的最大公因数是 $ 6 $，最小公倍数是 $ 90 $，已知一个数是 $ 18 $，另一个数是(
A.$ 90 $
B.$ 15 $
C.$ 18 $
D.$ 30 $
D
)。A.$ 90 $
B.$ 15 $
C.$ 18 $
D.$ 30 $
答案：1. D 【提示】两个数的最大公因数与它们的最小公倍数的积等于这两个数的积，即另一个数是 $6×90÷18 = 30$。
2. 两个自然数的最大公因数是 $ 6 $，最小公倍数是 $ 72 $，这两个数可能是(
72
)和(6
)，也可能是(18
)和(24
)。答案：2. 72 6 18 24 【提示】因为最小公倍数含有最大公因数和各自独有的因数，所以 $72÷6 = 12$，12 可以是 $1×12$，得出 $6×1$ 和 $6×12$ 这两个数；12 也可以是 $3×4$，得出 $6×3$ 和 $6×4$ 这两个数；12 也可以分为 $2×6$，这样还有公因数 2，两个数的最大公因数就是 12，不符合题意。
解析：
6；72；18；24
3. 自然数 $ a $ 和 $ b $ 的最小公倍数是 $ 140 $，最大公因数是 $ 5 $，$ a + b $ 的最大值是(
145
)。答案：3. 145 【提示】$140 = 2×2×5×7$，因为自然数 $a$ 和 $b$ 的最小公倍数是 140，所以 $a$ 和 $b$ 是 2，2，5，7 中的一个数或多个数相乘得到的数。因为 $a$ 和 $b$ 的最大公因数是 5，所以这两个数都含有质因数 5，其中一个数就是 5，要使 $a + b$ 的值最大，另一个数是 140，所以 $a + b$ 的最大值是 $5 + 140 = 145$。
解析：
因为自然数$a$和$b$的最大公因数是$5$，设$a = 5m$，$b = 5n$（$m$、$n$为互质的自然数）。
又因为最小公倍数是$140$，所以$5mn = 140$，即$mn = 28$。
$28$的因数对有$(1,28)$、$(4,7)$。
当$m = 1$，$n = 28$时，$a = 5×1 = 5$，$b = 5×28 = 140$，$a + b = 5 + 140 = 145$；
当$m = 4$，$n = 7$时，$a = 5×4 = 20$，$b = 5×7 = 35$，$a + b = 20 + 35 = 55$。
比较可得$a + b$的最大值是$145$。
145
又因为最小公倍数是$140$，所以$5mn = 140$，即$mn = 28$。
$28$的因数对有$(1,28)$、$(4,7)$。
当$m = 1$，$n = 28$时，$a = 5×1 = 5$，$b = 5×28 = 140$，$a + b = 5 + 140 = 145$；
当$m = 4$，$n = 7$时，$a = 5×4 = 20$，$b = 5×7 = 35$，$a + b = 20 + 35 = 55$。
比较可得$a + b$的最大值是$145$。
145
4. 两个自然数的差是 $ 24 $，最大公因数是 $ 4 $，最小公倍数是 $ 28 $。这两个数各是多少？
答案：4. 设这两个数分别是 $4× m$ 和 $4× n$。$(n ＞ m)$
最小公倍数是：$4× m× n = 28$ $m× n = 7$
$4×(n - m) = 24$ $n - m = 6$ $n = 7$，$m = 1$
所以这两个数分别是 $4×1$ 和 $4×7$，即 4 和 28。
【提示】两个数都是 4 的倍数，设两个数分别是 $4× m$ 和 $4× n$，再根据最小公倍数和相差关系求解。
最小公倍数是：$4× m× n = 28$ $m× n = 7$
$4×(n - m) = 24$ $n - m = 6$ $n = 7$，$m = 1$
所以这两个数分别是 $4×1$ 和 $4×7$，即 4 和 28。
【提示】两个数都是 4 的倍数，设两个数分别是 $4× m$ 和 $4× n$，再根据最小公倍数和相差关系求解。
例 2 $ A $ 和 $ B $ 两个数都只含有质因数 $ 3 $ 和 $ 5 $，它们的最大公因数是 $ 15 $。已知 $ A $ 有 $ 4 $ 个因数，$ B $ 有 $ 6 $ 个因数，则 $ A $ 和 $ B $ 各是多少？
解析
因为 $ A $ 和 $ B $ 两个数都只含有质因数 $ 3 $ 和 $ 5 $，同时 $ A $ 有 $ 4 $ 个因数，我们可以知道 $ A $ 的因数分别是 $ 1 $、$ 3 $、$ 5 $ 和 $ A $。所以 $ A $ 就是 $ 15 $。因为 $ B $ 有 $ 6 $ 个因数，所以 $ B $ 的因数可能是 $ 1 $、$ 3 $、$ 5 $、$ 9 $、$ 15 $ 和 $ B $，也可能是 $ 1 $、$ 3 $、$ 5 $、$ 15 $、$ 25 $ 和 $ B $。所以 $ B $ 可能是 $ 45 $，也可能是 $ 75 $。
解析
因为 $ A $ 和 $ B $ 两个数都只含有质因数 $ 3 $ 和 $ 5 $，同时 $ A $ 有 $ 4 $ 个因数，我们可以知道 $ A $ 的因数分别是 $ 1 $、$ 3 $、$ 5 $ 和 $ A $。所以 $ A $ 就是 $ 15 $。因为 $ B $ 有 $ 6 $ 个因数，所以 $ B $ 的因数可能是 $ 1 $、$ 3 $、$ 5 $、$ 9 $、$ 15 $ 和 $ B $，也可能是 $ 1 $、$ 3 $、$ 5 $、$ 15 $、$ 25 $ 和 $ B $。所以 $ B $ 可能是 $ 45 $，也可能是 $ 75 $。
答案：答案
$ A $ 的因数：$ 1 $、$ 3 $、$ 5 $ 和 $ A $
$ B $ 的因数：$ 1 $、$ 3 $、$ 5 $、$ 9 $、$ 15 $、$ B $ 或 $ 1 $、$ 3 $、$ 5 $、$ 15 $、$ 25 $、$ B $
$ A = 3 × 5 = 15 $
$ B = 3 × 3 × 5 = 45 $ 或 $ B = 3 × 5 × 5 = 75 $
答：$ A $ 是 $ 15 $，$ B $ 是 $ 45 $ 或 $ 75 $。
小结
解决本题的关键是要根据因数个数与最大公因数的概念进行推理分析。先找出因数个数少的数是多少，然后在此基础上进一步考虑另一个数是否有多种情况。
$ A $ 的因数：$ 1 $、$ 3 $、$ 5 $ 和 $ A $
$ B $ 的因数：$ 1 $、$ 3 $、$ 5 $、$ 9 $、$ 15 $、$ B $ 或 $ 1 $、$ 3 $、$ 5 $、$ 15 $、$ 25 $、$ B $
$ A = 3 × 5 = 15 $
$ B = 3 × 3 × 5 = 45 $ 或 $ B = 3 × 5 × 5 = 75 $
答：$ A $ 是 $ 15 $，$ B $ 是 $ 45 $ 或 $ 75 $。
小结
解决本题的关键是要根据因数个数与最大公因数的概念进行推理分析。先找出因数个数少的数是多少，然后在此基础上进一步考虑另一个数是否有多种情况。
5. 甲、乙两数均只含有质因数 $ 3 $ 和 $ 5 $，它们的最大公因数是 $ 45 $。已知甲有 $ 6 $ 个因数，乙有 $ 9 $ 个因数，则甲、乙两数各是多少？
答案：5. 因为 45 刚好有 6 个因数，所以甲是 45。因为乙只含有质因数 3 和 5，所以乙是 $45×3 = 135$ 或 $45×5 = 225$。又因为乙有 9 个因数，所以乙是 225。
【提示】甲数就是 45，乙数是甲数的倍数（3 倍或 5 倍），并且有 9 个因数，据此分析。
【提示】甲数就是 45，乙数是甲数的倍数（3 倍或 5 倍），并且有 9 个因数，据此分析。
6. 把 $ 49 $、$ 10 $、$ 14 $、$ 21 $、$ 15 $、$ 9 $ 平均分成两组，使两组三个数的乘积相等，可以怎样分？
答案：6. $49 = 7×7$ $10 = 2×5$ $14 = 2×7$ $21 = 3×7$ $15 = 3×5$ $9 = 3×3$
共有 2 个 2，4 个 3，2 个 5 和 4 个 7，所以 14、21、15 一组，49、10、9 一组。
【提示】要使两组三个数的乘积相等，就必须使这两组三个数的乘积中，所含的质因数完全相同，因此可先将这六个数分别分解质因数后再通过调整分组。
共有 2 个 2，4 个 3，2 个 5 和 4 个 7，所以 14、21、15 一组，49、10、9 一组。
【提示】要使两组三个数的乘积相等，就必须使这两组三个数的乘积中，所含的质因数完全相同，因此可先将这六个数分别分解质因数后再通过调整分组。