1. 计算下面各题。
(1)$1 + 3\frac{1}{6} + 5\frac{1}{12} + 7\frac{1}{20} + 9\frac{1}{30} + 11\frac{1}{42} + 13\frac{1}{56} + 15\frac{1}{72} + 17\frac{1}{90}$
(2)$\frac{1}{2} + \frac{5}{6} + \frac{11}{12} + ··· + \frac{89}{90}$
(3)$\frac{1}{2} + \frac{3}{4} + \frac{7}{8} + \frac{15}{16} + \frac{31}{32} + \frac{63}{64} + \frac{127}{128}$
(1)$1 + 3\frac{1}{6} + 5\frac{1}{12} + 7\frac{1}{20} + 9\frac{1}{30} + 11\frac{1}{42} + 13\frac{1}{56} + 15\frac{1}{72} + 17\frac{1}{90}$
(2)$\frac{1}{2} + \frac{5}{6} + \frac{11}{12} + ··· + \frac{89}{90}$
(3)$\frac{1}{2} + \frac{3}{4} + \frac{7}{8} + \frac{15}{16} + \frac{31}{32} + \frac{63}{64} + \frac{127}{128}$
答案：1. (1) $ 1 + 3\frac{1}{6} + 5\frac{1}{12} + 7\frac{1}{20} + 9\frac{1}{30} + 11\frac{1}{42} + 13\frac{1}{56} + 15\frac{1}{72} + 17\frac{1}{90} $
$ = (1 + 3 + 5 + ··· + 15 + 17) + (\frac{1}{6} + \frac{1}{12} + \frac{1}{20} + ··· + \frac{1}{72} + \frac{1}{90}) $
$ = 81 + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} - \frac{1}{5} + ··· + \frac{1}{8} - \frac{1}{9} + \frac{1}{9} - \frac{1}{10}) $
$ = 81 + (\frac{1}{2} - \frac{1}{10}) $
$ = 81 + \frac{2}{5} $
$ = 81\frac{2}{5} $
(2) $ \frac{1}{2} + \frac{5}{6} + \frac{11}{12} + ··· + \frac{89}{90} $
$ = 1 - \frac{1}{2} + 1 - \frac{1}{6} + 1 - \frac{1}{12} + ··· + 1 - \frac{1}{90} $
$ = 1 × 9 - (\frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} + ··· + \frac{1}{90}) $
$ = 9 - (1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + ··· + \frac{1}{9} - \frac{1}{10}) $
$ = 9 - (1 - \frac{1}{10}) $
$ = 9 - 1 + \frac{1}{10} $
$ = 8\frac{1}{10} $
(3) $ \frac{1}{2} + \frac{3}{4} + \frac{7}{8} + \frac{15}{16} + \frac{31}{32} + \frac{63}{64} + \frac{127}{128} $
$ = 1 - \frac{1}{2} + 1 - \frac{1}{4} + 1 - \frac{1}{8} + 1 - \frac{1}{16} + 1 - \frac{1}{32} + 1 - \frac{1}{64} + 1 - \frac{1}{128} $
$ = (1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1) - (\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \frac{1}{32} + \frac{1}{64} + \frac{1}{128}) $
$ = 7 - (1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} - \frac{1}{8} + \frac{1}{8} - \frac{1}{16} + \frac{1}{16} - \frac{1}{32} + \frac{1}{32} - \frac{1}{64} + \frac{1}{64} - \frac{1}{128}) $
$ = 7 - (1 - \frac{1}{128}) $
$ = 7 - 1 + \frac{1}{128} $
$ = 6\frac{1}{128} $
【提示】根据 $ \frac{1}{n(n + 1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1} $ 和 $ \frac{1}{n} - \frac{1}{2n} = \frac{1}{2n} $（$ n $ 是不为 $ 0 $ 的自然数），将给出的算式进行变式，互相消去，运用规律即可简算。
$ = (1 + 3 + 5 + ··· + 15 + 17) + (\frac{1}{6} + \frac{1}{12} + \frac{1}{20} + ··· + \frac{1}{72} + \frac{1}{90}) $
$ = 81 + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} - \frac{1}{5} + ··· + \frac{1}{8} - \frac{1}{9} + \frac{1}{9} - \frac{1}{10}) $
$ = 81 + (\frac{1}{2} - \frac{1}{10}) $
$ = 81 + \frac{2}{5} $
$ = 81\frac{2}{5} $
(2) $ \frac{1}{2} + \frac{5}{6} + \frac{11}{12} + ··· + \frac{89}{90} $
$ = 1 - \frac{1}{2} + 1 - \frac{1}{6} + 1 - \frac{1}{12} + ··· + 1 - \frac{1}{90} $
$ = 1 × 9 - (\frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} + ··· + \frac{1}{90}) $
$ = 9 - (1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + ··· + \frac{1}{9} - \frac{1}{10}) $
$ = 9 - (1 - \frac{1}{10}) $
$ = 9 - 1 + \frac{1}{10} $
$ = 8\frac{1}{10} $
(3) $ \frac{1}{2} + \frac{3}{4} + \frac{7}{8} + \frac{15}{16} + \frac{31}{32} + \frac{63}{64} + \frac{127}{128} $
$ = 1 - \frac{1}{2} + 1 - \frac{1}{4} + 1 - \frac{1}{8} + 1 - \frac{1}{16} + 1 - \frac{1}{32} + 1 - \frac{1}{64} + 1 - \frac{1}{128} $
$ = (1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1) - (\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \frac{1}{32} + \frac{1}{64} + \frac{1}{128}) $
$ = 7 - (1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} - \frac{1}{8} + \frac{1}{8} - \frac{1}{16} + \frac{1}{16} - \frac{1}{32} + \frac{1}{32} - \frac{1}{64} + \frac{1}{64} - \frac{1}{128}) $
$ = 7 - (1 - \frac{1}{128}) $
$ = 7 - 1 + \frac{1}{128} $
$ = 6\frac{1}{128} $
【提示】根据 $ \frac{1}{n(n + 1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1} $ 和 $ \frac{1}{n} - \frac{1}{2n} = \frac{1}{2n} $（$ n $ 是不为 $ 0 $ 的自然数），将给出的算式进行变式，互相消去，运用规律即可简算。
2. 在括号里填入不同的自然数（0 除外），使等式成立。
$\frac{17}{18}=\frac{1}{(\quad\quad)}+\frac{1}{(\quad\quad)}+\frac{1}{(\quad\quad)}$
$\frac{17}{18}=\frac{1}{(\quad\quad)}+\frac{1}{(\quad\quad)}+\frac{1}{(\quad\quad)}$
答案：2. $ 2 $ $ 3 $ $ 9 $ 【提示】 $ \frac{17}{18} = \frac{9 + 6 + 2}{18} = \frac{9}{18} + \frac{6}{18} + \frac{2}{18} = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} $
3. 已知$\frac{1}{24}=\frac{1}{M}+\frac{1}{N}+\frac{1}{Q}$，M、N、Q 是不同的非 0 自然数，则 M、N、Q 分别是多少？
答案：3. $ \frac{1}{24} = \frac{1 × (1 + 2 + 3)}{24 × (1 + 2 + 3)} = \frac{1 + 2 + 3}{24 × 6} = \frac{1 + 2 + 3}{144} = \frac{1}{144} + \frac{2}{144} + \frac{3}{144} = \frac{1}{144} + \frac{1}{72} + \frac{1}{48} $
$ M $、$ N $、$ Q $ 分别是 $ 144 $、$ 72 $、$ 48 $。（答案不唯一）
【提示】方法不唯一，可以把 $ \frac{1}{24} $ 的分子、分母同时乘 $ 24 $ 的 $ 3 $ 个因数之和，再变形分解。
$ M $、$ N $、$ Q $ 分别是 $ 144 $、$ 72 $、$ 48 $。（答案不唯一）
【提示】方法不唯一，可以把 $ \frac{1}{24} $ 的分子、分母同时乘 $ 24 $ 的 $ 3 $ 个因数之和，再变形分解。
4. 从算式$\frac{2}{3} + \frac{1}{6} + \frac{1}{9} + \frac{1}{12} + \frac{1}{15} + \frac{1}{18}$中去掉哪几个分数，才能使余下的分数之和为 1？
答案：4. 去掉 $ \frac{1}{12} $ 和 $ \frac{1}{15} $ 这两个分数，才能使余下的分数之和为 $ 1 $。
【提示】 $ \frac{2}{3} + \frac{1}{6} + \frac{1}{9} + \frac{1}{12} + \frac{1}{15} + \frac{1}{18} - 1 = \frac{2}{3} + \frac{1}{6} + \frac{2}{18} + \frac{1}{18} + \frac{1}{12} + \frac{1}{15} - 1 = \frac{2}{3} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} + \frac{1}{15} - 1 = \frac{2}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{12} + \frac{1}{15} - 1 = 1 + \frac{1}{12} + \frac{1}{15} - 1 = \frac{1}{12} + \frac{1}{15} $
【提示】 $ \frac{2}{3} + \frac{1}{6} + \frac{1}{9} + \frac{1}{12} + \frac{1}{15} + \frac{1}{18} - 1 = \frac{2}{3} + \frac{1}{6} + \frac{2}{18} + \frac{1}{18} + \frac{1}{12} + \frac{1}{15} - 1 = \frac{2}{3} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} + \frac{1}{15} - 1 = \frac{2}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{12} + \frac{1}{15} - 1 = 1 + \frac{1}{12} + \frac{1}{15} - 1 = \frac{1}{12} + \frac{1}{15} $
5. 在算式$\frac{△}{11} + \frac{◯}{3}=\frac{17}{33}$中，如果$△$和$◯$均表示不同的自然数，那么$△$与$◯$的和是多少？
答案：5. $ △ $ 与 $ ◯ $ 的和是 $ 3 $。【提示】因为 $ \frac{△}{11} + \frac{◯}{3} = \frac{3△}{33} + \frac{11◯}{33} = \frac{3△ + 11◯}{33} = \frac{17}{33} $，所以 $ 3△ + 11◯ = 17 $，因为 $ △ $ 和 $ ◯ $ 均表示不同的自然数，所以 $ △ = 2 $，$ ◯ = 1 $，$ △ + ◯ = 2 + 1 = 3 $。
解析：
因为$\frac{△}{11} + \frac{◯}{3} = \frac{3△}{33} + \frac{11◯}{33} = \frac{3△ + 11◯}{33} = \frac{17}{33}$，所以$3△ + 11◯ = 17$。
因为$△$和$◯$均为自然数，当$◯ = 1$时，$3△ + 11×1 = 17$，解得$3△ = 6$，$△ = 2$；当$◯ = 0$时，$3△ = 17$，$△$不是自然数；当$◯ ≥ 2$时，$11◯ ≥ 22 ＞ 17$，不符合题意。
又因为$△$和$◯$不同，$△ = 2$，$◯ = 1$符合条件，所以$△ + ◯ = 2 + 1 = 3$。
$3$
因为$△$和$◯$均为自然数，当$◯ = 1$时，$3△ + 11×1 = 17$，解得$3△ = 6$，$△ = 2$；当$◯ = 0$时，$3△ = 17$，$△$不是自然数；当$◯ ≥ 2$时，$11◯ ≥ 22 ＞ 17$，不符合题意。
又因为$△$和$◯$不同，$△ = 2$，$◯ = 1$符合条件，所以$△ + ◯ = 2 + 1 = 3$。
$3$