10. (10 分)如图,$CA$平分$∠ DCE$,且与$BE$的延长线交于点$A$.
(1) 如果$∠ A = 35^{\circ}$,$∠ B = 30^{\circ}$,则$∠ BEC=$
(2) 小明通过改变$∠ A$,$∠ B$的度数进行多次探究,得出$∠ A$,$∠ B$,$∠ BEC$三个角之间存在固定的数量关系,请你用一个等式表示出这个关系,并说明理由.
(1) 如果$∠ A = 35^{\circ}$,$∠ B = 30^{\circ}$,则$∠ BEC=$
$100^{\circ }$
;(2) 小明通过改变$∠ A$,$∠ B$的度数进行多次探究,得出$∠ A$,$∠ B$,$∠ BEC$三个角之间存在固定的数量关系,请你用一个等式表示出这个关系,并说明理由.
答案：10. (1)$100^{\circ }$
(2)解:$∠BEC=2∠A+∠B$。
理由:因为 CA 平分$∠DCE$，
所以$∠ACD=∠ACE$。
因为$∠BEC=∠A+∠ACE=∠A+∠ACD$，
$∠ACD=∠A+∠B$，
所以$∠BEC=∠A+∠A+∠B=2∠A+∠B$。
(2)解:$∠BEC=2∠A+∠B$。
理由:因为 CA 平分$∠DCE$，
所以$∠ACD=∠ACE$。
因为$∠BEC=∠A+∠ACE=∠A+∠ACD$，
$∠ACD=∠A+∠B$，
所以$∠BEC=∠A+∠A+∠B=2∠A+∠B$。
11. (10 分)已知$1 - a$,$1 + a$,$4 - 2a$在数轴上的位置如图所示,求$a$的取值范围.
答案：11. 解:由题意,得$\{\begin{array}{l} 1-a＜1+a,\\ 1+a＜4-2a,\end{array} $解得$0＜ a＜1$。
所以 a 的取值范围是$0＜ a＜1$。
所以 a 的取值范围是$0＜ a＜1$。
12. (10 分)如图,直线$AB$,$CD$被直线$AE$所截,直线$AM$,$EN$被$MN$所截. 请你从以下三个条件:①$AB// CD$;②$AM// EN$;③$∠ BAM=∠ CEN$中选出两个作为已知条件,另一个作为结论,得出一个正确的命题.
(1) 请按照:“因为
(2) 在(1)所写的命题中选择一个加以证明,写出推理过程.
(1) 请按照:“因为
$AB// CD$
,$AM// EN$
,所以$∠BAM=∠CEN$
”的形式,写出所有正确的命题;(2) 在(1)所写的命题中选择一个加以证明,写出推理过程.
答案：12. 解:(1)命题 1:因为$AB// CD,AM// EN$，
所以$∠BAM=∠CEN$。
命题 2:因为$AB// CD,∠BAM=∠CEN$，
所以$AM// EN$。
命题 3:因为$AM// EN,∠BAM=∠CEN$，
所以$AB// CD$。
(2)证明命题 1:
因为$AB// CD$,所以$∠BAE=∠CEA$。
因为$AM// EN$,所以$∠MAE=∠AEN$，
所以$∠BAE-∠MAE=∠CEA-∠AEN$，
即$∠BAM=∠CEN$。
所以$∠BAM=∠CEN$。
命题 2:因为$AB// CD,∠BAM=∠CEN$，
所以$AM// EN$。
命题 3:因为$AM// EN,∠BAM=∠CEN$，
所以$AB// CD$。
(2)证明命题 1:
因为$AB// CD$,所以$∠BAE=∠CEA$。
因为$AM// EN$,所以$∠MAE=∠AEN$，
所以$∠BAE-∠MAE=∠CEA-∠AEN$，
即$∠BAM=∠CEN$。
13. (12 分)(2024·湖南)某村决定种植脐橙和黄金贡柚,助推村民增收致富. 已知购买 1 棵脐橙树苗和 2 棵黄金贡柚树苗共需 110 元;购买 2 棵脐橙树苗和 3 棵黄金贡柚树苗共需 190 元.
(1) 求脐橙树苗和黄金贡柚树苗的单价;
(2) 该村计划购买脐橙树苗和黄金贡柚树苗共 1000 棵,总费用不超过 38000 元,问最多可以购买脐橙树苗多少棵?
(1) 求脐橙树苗和黄金贡柚树苗的单价;
(2) 该村计划购买脐橙树苗和黄金贡柚树苗共 1000 棵,总费用不超过 38000 元,问最多可以购买脐橙树苗多少棵?
答案：13. 解:(1)设脐橙树苗的单价为 x 元,黄金贡柚树苗的单价为 y 元，
由题意,得$\{\begin{array}{l} x+2y=110,\\ 2x+3y=190,\end{array} $解得$\{\begin{array}{l} x=50,\\ y=30。\end{array} $
答:脐橙树苗的单价为 50 元,黄金贡柚树苗的单价为 30 元。
(2)设可以购买脐橙树苗 m 棵,则购买黄金贡柚树苗$(1000-m)$棵，
由题意,得$50m+30(1000-m)≤38000$,解得$m≤400$。
答:最多可以购买脐橙树苗 400 棵。
由题意,得$\{\begin{array}{l} x+2y=110,\\ 2x+3y=190,\end{array} $解得$\{\begin{array}{l} x=50,\\ y=30。\end{array} $
答:脐橙树苗的单价为 50 元,黄金贡柚树苗的单价为 30 元。
(2)设可以购买脐橙树苗 m 棵,则购买黄金贡柚树苗$(1000-m)$棵，
由题意,得$50m+30(1000-m)≤38000$,解得$m≤400$。
答:最多可以购买脐橙树苗 400 棵。