1. 已知$x^{2n}=3$，则计算$(x^{3n})^{2}-3(x^{2})^{2n}$的结果是(
A.$1$
B.$-1$
C.$0$
D.$2$
C
)A.$1$
B.$-1$
C.$0$
D.$2$
答案：1. C
解析：
$(x^{3n})^{2}-3(x^{2})^{2n}=(x^{2n})^{3}-3(x^{2n})^{2}$，将$x^{2n}=3$代入，得$3^{3}-3×3^{2}=27 - 27=0$。
C
C
2. (1)若$2^{n}+2^{n}+2^{n}+2^{n}=2^{8}$，则$n=$
(2)若$2^{x + 2}+2^{x + 1}=96$，则$x=$
(3)计算：$2x^{n}· x^{n - 2}-x^{n - 1}· x^{n - 1}-x^{n + 1}· x^{n - 3}=$
(4)若$a + 3b - 3 = 0$，则$3^{a}×27^{b}=$
6
；(2)若$2^{x + 2}+2^{x + 1}=96$，则$x=$
4
；(3)计算：$2x^{n}· x^{n - 2}-x^{n - 1}· x^{n - 1}-x^{n + 1}· x^{n - 3}=$
0
；(4)若$a + 3b - 3 = 0$，则$3^{a}×27^{b}=$
27
.答案：2. (1) 6 (2) 4 (3) 0 (4) 27
解析：
(1) $2^{n}+2^{n}+2^{n}+2^{n}=4×2^{n}=2^{2}×2^{n}=2^{n+2}=2^{8}$，则$n+2=8$，解得$n=6$；
(2) $2^{x + 2}+2^{x + 1}=2×2^{x + 1}+2^{x + 1}=3×2^{x + 1}=96$，即$2^{x + 1}=32=2^{5}$，则$x + 1=5$，解得$x=4$；
(3) $2x^{n}· x^{n - 2}-x^{n - 1}· x^{n - 1}-x^{n + 1}· x^{n - 3}=2x^{2n - 2}-x^{2n - 2}-x^{2n - 2}=0$；
(4) 由$a + 3b - 3 = 0$得$a + 3b=3$，$3^{a}×27^{b}=3^{a}×(3^{3})^{b}=3^{a}×3^{3b}=3^{a + 3b}=3^{3}=27$。
(2) $2^{x + 2}+2^{x + 1}=2×2^{x + 1}+2^{x + 1}=3×2^{x + 1}=96$，即$2^{x + 1}=32=2^{5}$，则$x + 1=5$，解得$x=4$；
(3) $2x^{n}· x^{n - 2}-x^{n - 1}· x^{n - 1}-x^{n + 1}· x^{n - 3}=2x^{2n - 2}-x^{2n - 2}-x^{2n - 2}=0$；
(4) 由$a + 3b - 3 = 0$得$a + 3b=3$，$3^{a}×27^{b}=3^{a}×(3^{3})^{b}=3^{a}×3^{3b}=3^{a + 3b}=3^{3}=27$。
3. 在学习了“幂的运算法则”后，经常遇到比较幂的大小的问题，对于此类问题，通常有两种解决方法，一种是将幂化为底数相同的形式，另一种是将幂化为指数相同的形式.请阅读下列材料：若$a^{3}=2$，$b^{5}=3$，则$a$，$b$的大小关系是$a\_\_\_\_\_\_b$.(填“$＜$”或“$＞$”)
解：因为$a^{15}=(a^{3})^{5}=2^{5}=32$，$b^{15}=(b^{5})^{3}=3^{3}=27$，且$32＞27$，所以$a^{15}＞b^{15}$，所以$a＞b$.
类比材料的方法，解答下列问题：
(1)上述求解过程中，逆用了哪一条幂的运算性质(
A. 同底数幂的乘法
B. 同底数幂的除法
C. 幂的乘方
D. 积的乘方
(2)比较$81^{31}$，$27^{41}$，$9^{61}$的大小；
(3)比较$2^{100}$与$3^{75}$的大小；
(4)比较$17^{14}$与$31^{11}$的大小；
(5)已知$5^{a}=108$，$5^{b}=2$，$5^{c}=27$，求$a$，$b$，$c$之间的等量关系.
解：因为$a^{15}=(a^{3})^{5}=2^{5}=32$，$b^{15}=(b^{5})^{3}=3^{3}=27$，且$32＞27$，所以$a^{15}＞b^{15}$，所以$a＞b$.
类比材料的方法，解答下列问题：
(1)上述求解过程中，逆用了哪一条幂的运算性质(
C
)A. 同底数幂的乘法
B. 同底数幂的除法
C. 幂的乘方
D. 积的乘方
(2)比较$81^{31}$，$27^{41}$，$9^{61}$的大小；
(3)比较$2^{100}$与$3^{75}$的大小；
(4)比较$17^{14}$与$31^{11}$的大小；
(5)已知$5^{a}=108$，$5^{b}=2$，$5^{c}=27$，求$a$，$b$，$c$之间的等量关系.
答案：3. (1) C
(2) 解: 因为 $81^{31}=(3^{4})^{31}=3^{124}$，$27^{41}=(3^{3})^{41}=3^{123}$，$9^{61}=(3^{2})^{61}=3^{122}$，$3^{124}＞3^{123}＞3^{122}$，所以 $81^{31}＞27^{41}＞9^{61}$。
(3) 解: 因为 $2^{100}=(2^{4})^{25}=16^{25}$，$3^{75}=(3^{3})^{25}=27^{25}$，$16^{25}＜27^{25}$，所以 $2^{100}＜3^{75}$。
(4) 解: 因为 $17^{14}＞16^{14}$，$16^{14}=(2^{4})^{14}=2^{56}$，所以 $17^{14}＞2^{56}＞2^{55}$。因为 $2^{55}=(2^{5})^{11}=32^{11}$，$32^{11}＞31^{11}$，所以 $17^{14}＞31^{11}$。
(5) 解: 因为 $108=4×27=2^{2}×27$，所以 $5^{a}=(5^{b})^{2}×5^{c}$，所以 $5^{a}=5^{2b}×5^{c}$，所以 $5^{a}=5^{2b+c}$，所以 $a=2b+c$。
(2) 解: 因为 $81^{31}=(3^{4})^{31}=3^{124}$，$27^{41}=(3^{3})^{41}=3^{123}$，$9^{61}=(3^{2})^{61}=3^{122}$，$3^{124}＞3^{123}＞3^{122}$，所以 $81^{31}＞27^{41}＞9^{61}$。
(3) 解: 因为 $2^{100}=(2^{4})^{25}=16^{25}$，$3^{75}=(3^{3})^{25}=27^{25}$，$16^{25}＜27^{25}$，所以 $2^{100}＜3^{75}$。
(4) 解: 因为 $17^{14}＞16^{14}$，$16^{14}=(2^{4})^{14}=2^{56}$，所以 $17^{14}＞2^{56}＞2^{55}$。因为 $2^{55}=(2^{5})^{11}=32^{11}$，$32^{11}＞31^{11}$，所以 $17^{14}＞31^{11}$。
(5) 解: 因为 $108=4×27=2^{2}×27$，所以 $5^{a}=(5^{b})^{2}×5^{c}$，所以 $5^{a}=5^{2b}×5^{c}$，所以 $5^{a}=5^{2b+c}$，所以 $a=2b+c$。