1. 若 $16^{9m} = 2a$，$4^{37n} = \frac{1}{a}$，则 $(36m + 74n - 2)^{2025}$ 的值是(
A.1
B.-1
C.$2^{2025}$
D.$-2^{2025}$
B
)A.1
B.-1
C.$2^{2025}$
D.$-2^{2025}$
答案：1. B
解析：
因为$16^{9m}=(2^4)^{9m}=2^{36m}=2a$，$4^{37n}=(2^2)^{37n}=2^{74n}=\frac{1}{a}$，所以$2^{36m} × 2^{74n}=2a × \frac{1}{a}$，即$2^{36m + 74n}=2^1$，则$36m + 74n = 1$，所以$(36m + 74n - 2)^{2025}=(1 - 2)^{2025}=(-1)^{2025}=-1$。
B
B
2. 若 $2^m = a$，$32^n = b$，$m$，$n$ 为正整数，则 $2^{3m + 10n} =$
$ a ^ { 3 } b ^ { 2 } $
.(用含 $a$，$b$ 的式子表示)答案：2. $ a ^ { 3 } b ^ { 2 } $
解析：
因为$2^m = a$，所以$(2^m)^3 = a^3$，即$2^{3m}=a^3$。
因为$32^n = b$，而$32 = 2^5$，所以$(2^5)^n = b$，即$2^{5n}=b$，则$(2^{5n})^2 = b^2$，即$2^{10n}=b^2$。
所以$2^{3m + 10n}=2^{3m}×2^{10n}=a^3b^2$。
$a^3b^2$
因为$32^n = b$，而$32 = 2^5$，所以$(2^5)^n = b$，即$2^{5n}=b$，则$(2^{5n})^2 = b^2$，即$2^{10n}=b^2$。
所以$2^{3m + 10n}=2^{3m}×2^{10n}=a^3b^2$。
$a^3b^2$
3. 规定两数 $a$，$b$ 之间的一种运算记作 $a※b$，如果 $a^c = b$，那么 $a※b = c$.例如，因为 $3^2 = 9$，所以 $3※9 = 2$.
(1)根据上述规定，填空：$2※16 =$
(2)小明在研究这种运算时发现一个现象：$3^n※4^n = 3※4$，小明给出了如下说明：
设 $3^n※4^n = x$，则 $(3^n)^x = 4^n$，即 $(3^x)^n = 4^n$，
所以 $3^x = 4$，即 $3※4 = x$，
所以 $3^n※4^n = 3※4$.
请你尝试运用这种方法解决下列问题：
①试说明：$5※7 + 5※9 = 5※63$；
②猜想：$(x - 2)^n※(y + 1)^n + (x - 2)^n※(y - 3)^n =$
(1)根据上述规定，填空：$2※16 =$
4
，($\pm 6$)
※$36 = 2$.(2)小明在研究这种运算时发现一个现象：$3^n※4^n = 3※4$，小明给出了如下说明：
设 $3^n※4^n = x$，则 $(3^n)^x = 4^n$，即 $(3^x)^n = 4^n$，
所以 $3^x = 4$，即 $3※4 = x$，
所以 $3^n※4^n = 3※4$.
请你尝试运用这种方法解决下列问题：
①试说明：$5※7 + 5※9 = 5※63$；
②猜想：$(x - 2)^n※(y + 1)^n + (x - 2)^n※(y - 3)^n =$
($x - 2$)
※($y ^ { 2 } - 2y - 3$)
.(结果化成最简形式)答案：3. (1) 4 $ (\pm 6) $
(2) ①解：设 $ 5※7 = x $，$ 5※9 = y $，所以 $ 5 ^ { x } = 7 $，$ 5 ^ { y } = 9 $，
所以 $ 5 ^ { x } × 5 ^ { y } = 7 × 9 = 63 $，所以 $ 5 ^ { x + y } = 63 $，
所以 $ 5※63 = x + y $，所以 $ 5※7 + 5※9 = 5※63 $。
② $ (x - 2) $ $ (y ^ { 2 } - 2y - 3) $
(2) ①解：设 $ 5※7 = x $，$ 5※9 = y $，所以 $ 5 ^ { x } = 7 $，$ 5 ^ { y } = 9 $，
所以 $ 5 ^ { x } × 5 ^ { y } = 7 × 9 = 63 $，所以 $ 5 ^ { x + y } = 63 $，
所以 $ 5※63 = x + y $，所以 $ 5※7 + 5※9 = 5※63 $。
② $ (x - 2) $ $ (y ^ { 2 } - 2y - 3) $