1. 设$m$，$n$是正整数，且$m＞n$。若$9^{m}$与$9^{n}$的末两位数字相同，则$m - n$的最小值为(
A.9
B.10
C.11
D.12
B
)A.9
B.10
C.11
D.12
答案：1. B 点拨:由题意知 $ 9^{m}-9^{n}=9^{n}(9^{m - n}-1) $ 是 100 的倍数. 因为 $ 9^{n} $ 与 100 互质, 所以 $ 9^{m - n}-1 $ 是 100 的倍数, 所以 $ 9^{m - n} $ 的末两位数字是 01, 所以 $ m - n $ 的值一定是偶数. 设 $ m - n = 2t $ ( $ t $ 为正整数), 则 $ 9^{m - n}=9^{2t}=(9^{2})^{t}=81^{t} $. 因为 $ 81^{2} $ 的末尾两位数字为 61, $ 81^{3} $ 的末尾两位数字为 41, $ 81^{4} $ 的末尾两位数字为 21, $ 81^{5} $ 的末尾两位数字为 01, 所以 $ t $ 的最小值为 5, 所以 $ m - n $ 的最小值为 10.
2. 若$a^{m}=20$，$b^{n}=20$，$ab = 20$，则$\frac{m + n}{mn}=$
1
。答案：2. 1 点拨:因为 $ ab = 20 $, 所以 $ (ab)^{n}=20^{n} $, 即 $ a^{n}b^{n}=20^{n} $. 因为 $ b^{n}=20 $, 所以 $ a^{n}×20 = 20^{n} $, 所以 $ a^{n}=20^{n - 1} $. 又因为 $ a^{m}=20 $, 所以 $ a^{m + n}=a^{m}·a^{n}=20×20^{n - 1}=20^{n} $, $ a^{mn}=(a^{m})^{n}=20^{n} $, 所以 $ a^{m + n}=a^{mn} $, 所以 $ m + n = mn $, 所以 $ \frac{m + n}{mn}=\frac{mn}{mn}=1 $.
解析：
因为 $ ab = 20 $，所以 $ (ab)^{n} = 20^{n} $，即 $ a^{n}b^{n} = 20^{n} $。
因为 $ b^{n} = 20 $，所以 $ a^{n} × 20 = 20^{n} $，所以 $ a^{n} = 20^{n - 1} $。
又因为 $ a^{m} = 20 $，所以 $ a^{m + n} = a^{m} · a^{n} = 20 × 20^{n - 1} = 20^{n} $，$ a^{mn} = (a^{m})^{n} = 20^{n} $。
所以 $ a^{m + n} = a^{mn} $，则 $ m + n = mn $。
因此 $ \frac{m + n}{mn} = \frac{mn}{mn} = 1 $。
1
因为 $ b^{n} = 20 $，所以 $ a^{n} × 20 = 20^{n} $，所以 $ a^{n} = 20^{n - 1} $。
又因为 $ a^{m} = 20 $，所以 $ a^{m + n} = a^{m} · a^{n} = 20 × 20^{n - 1} = 20^{n} $，$ a^{mn} = (a^{m})^{n} = 20^{n} $。
所以 $ a^{m + n} = a^{mn} $，则 $ m + n = mn $。
因此 $ \frac{m + n}{mn} = \frac{mn}{mn} = 1 $。
1
3. 阅读材料：$3^{1}$的末位数字是 3，$3^{2}$的末位数字是 9，$3^{3}$的末位数字是 7，$3^{4}$的末位数字是 1，$3^{5}$的末位数字是 3，…，观察规律，$3^{4n + 1}=(3^{4})^{n}×3$。因为$3^{4}$的末位数字是 1，所以$(3^{4})^{n}$的末位数字是 1，所以$(3^{4})^{n}×3$的末位数字是 3，同理可知，$3^{4n + 2}$的末位数字是 9，$3^{4n + 3}$的末位数字是 7。解答下列问题：
(1)$3^{2025}$的末位数字是
(2)求$2^{2022}$的末位数字；
(3)试说明：$12^{2024}+37^{2018}$能被 5 整除。
(1)$3^{2025}$的末位数字是
3
，$14^{2024}$的末位数字是6
；(2)求$2^{2022}$的末位数字；
(3)试说明：$12^{2024}+37^{2018}$能被 5 整除。
答案：3. (1) 3 6 点拨:因为 $ 3^{2025}=3^{4×506 + 1} $, 所以 $ 3^{2025} $ 的末位数字是 3. 因为 $ 14^{1} $ 的末位数字是 4, $ 14^{2} $ 的末位数字是 6, $ 14^{3} $ 的末位数字是 4, $ ··· $, 所以 $ 14^{2n + 1} $ 的末位数字是 4, $ 14^{2n} $ 的末位数字是 6, 所以 $ 14^{2024} $ 的末位数字是 6.
(2) 解:因为 $ 2^{1} $ 的末位数字是 2, $ 2^{2} $ 的末位数字是 4, $ 2^{3} $ 的末位数字是 8, $ 2^{4} $ 的末位数字是 6, $ 2^{5} $ 的末位数字是 2, $ ··· $, 所以 $ 2^{n} $ 的末位数字是以 2, 4, 8, 6 四个数为一组, 依次循环排列的. 而 $ 2022 = 4×505 + 2 $, 所以 $ 2^{2022} $ 的末位数字是 4.
(3) 解:因为 $ 12^{1} $ 的末位数字是 2, $ 12^{2} $ 的末位数字是 4, $ 12^{3} $ 的末位数字是 8, $ 12^{4} $ 的末位数字是 6, $ 12^{5} $ 的末位数字是 2, $ ··· $, 所以 $ 12^{4n + 1} $ 的末位数字是 2, $ 12^{4n + 2} $ 的末位数字是 4, $ 12^{4n + 3} $ 的末位数字是 8, $ 12^{4n} $ 的末位数字是 6, 所以 $ 12^{2024}=12^{4×506} $ 的末位数字是 6. 同理可得 $ 37^{4n + 1} $ 的末位数字是 7, $ 37^{4n + 2} $ 的末位数字是 9, $ 37^{4n + 3} $ 的末位数字是 3, $ 37^{4n} $ 的末位数字是 1, 所以 $ 37^{2018}=37^{4×504 + 2} $ 的末位数字是 9, 所以 $ 12^{2024}+37^{2018} $ 的末位数字是 5, 所以 $ 12^{2024}+37^{2018} $ 能被 5 整除.
(2) 解:因为 $ 2^{1} $ 的末位数字是 2, $ 2^{2} $ 的末位数字是 4, $ 2^{3} $ 的末位数字是 8, $ 2^{4} $ 的末位数字是 6, $ 2^{5} $ 的末位数字是 2, $ ··· $, 所以 $ 2^{n} $ 的末位数字是以 2, 4, 8, 6 四个数为一组, 依次循环排列的. 而 $ 2022 = 4×505 + 2 $, 所以 $ 2^{2022} $ 的末位数字是 4.
(3) 解:因为 $ 12^{1} $ 的末位数字是 2, $ 12^{2} $ 的末位数字是 4, $ 12^{3} $ 的末位数字是 8, $ 12^{4} $ 的末位数字是 6, $ 12^{5} $ 的末位数字是 2, $ ··· $, 所以 $ 12^{4n + 1} $ 的末位数字是 2, $ 12^{4n + 2} $ 的末位数字是 4, $ 12^{4n + 3} $ 的末位数字是 8, $ 12^{4n} $ 的末位数字是 6, 所以 $ 12^{2024}=12^{4×506} $ 的末位数字是 6. 同理可得 $ 37^{4n + 1} $ 的末位数字是 7, $ 37^{4n + 2} $ 的末位数字是 9, $ 37^{4n + 3} $ 的末位数字是 3, $ 37^{4n} $ 的末位数字是 1, 所以 $ 37^{2018}=37^{4×504 + 2} $ 的末位数字是 9, 所以 $ 12^{2024}+37^{2018} $ 的末位数字是 5, 所以 $ 12^{2024}+37^{2018} $ 能被 5 整除.