1. 观察等式:$2 + 2^{2} = 2^{3} - 2$;$2 + 2^{2} + 2^{3} = 2^{4} - 2$;$2 + 2^{2} + 2^{3} + 2^{4} = 2^{5} - 2$,…,已知按一定规律排列的一组数:$2^{100}$,$2^{101}$,$2^{102}$,…,$2^{199}$,$2^{200}$,若$2^{100} = S$,用含$S$的式子表示这组数据的和是(
A.$2S^{2} - S$
B.$2S^{2} + S$
C.$2S^{2} - 2S$
D.$2S^{2} - 2S - 2$
A
)A.$2S^{2} - S$
B.$2S^{2} + S$
C.$2S^{2} - 2S$
D.$2S^{2} - 2S - 2$
答案:1. A 点拨:$2^{100}+2^{101}+2^{102}+... +2^{199}+2^{200}=2^{100}(1+2+2^{2}+... +2^{99}+2^{100})=2^{100}(1+2^{101}-2)=2^{100}(2^{101}-1)=2^{100}(2^{100}×2-1)=S(2S-1)=2S^{2}-S$。
2. 规定一种新运算:$a\otimes b = a^{b}$,$a※b = b^{a}$,其中$a$,$b$为有理数。
(1)计算:$(0.25\otimes 100)· (100※4)$;
(2)若$4\otimes x = (x + 3)※2$,求$x$的值。
(1)计算:$(0.25\otimes 100)· (100※4)$;
(2)若$4\otimes x = (x + 3)※2$,求$x$的值。
答案:2. 解:(1)原式$=(\frac {1}{4})^{100}×4^{100}=(\frac {1}{4}×4)^{100}=1$。
(2)由题意,得$4^{x}=2^{x+3}$,所以$2^{2x}=2^{x+3}$,则$2x=x+3$,解得$x=3$。
(2)由题意,得$4^{x}=2^{x+3}$,所以$2^{2x}=2^{x+3}$,则$2x=x+3$,解得$x=3$。
3. 阅读下列材料,并解决问题。
我们知道,加减运算是互逆运算,乘除运算也是互逆运算,其实乘方运算也有逆运算,如我们规定式子$2^{3} = 8$可以变形为$\log_{2}8 = 3$,$\log_{5}25 = 2$也可以变形为$5^{2} = 25$。在式子$2^{3} = 8$中,$3$叫作以$2$为底$8$的对数,记为$\log_{2}8$。一般地,若$a^{n} = b(a > 0$且$a≠ 1$,$b > 0)$,则$n$叫作以$a$为底$b$的对数,记为$\log_{a}b$(即$\log_{a}b = n$),且具有性质:①$\log_{a}b^{n} = n\log_{a}b$;②$\log_{a}a^{n} = n$;③$\log_{a}M + \log_{a}N = \log_{a}(M· N)$。其中$a > 0$且$a≠ 1$,$b > 0$,$M > 0$,$N > 0$。
根据上面的规定,请解决下列问题:
(1)计算:$\log_{3}1 =$
(2)已知$x = \log_{3}2$,$y = \log_{3}72$,请用含$x$的代数式表示$y$。(写出必要的过程)
我们知道,加减运算是互逆运算,乘除运算也是互逆运算,其实乘方运算也有逆运算,如我们规定式子$2^{3} = 8$可以变形为$\log_{2}8 = 3$,$\log_{5}25 = 2$也可以变形为$5^{2} = 25$。在式子$2^{3} = 8$中,$3$叫作以$2$为底$8$的对数,记为$\log_{2}8$。一般地,若$a^{n} = b(a > 0$且$a≠ 1$,$b > 0)$,则$n$叫作以$a$为底$b$的对数,记为$\log_{a}b$(即$\log_{a}b = n$),且具有性质:①$\log_{a}b^{n} = n\log_{a}b$;②$\log_{a}a^{n} = n$;③$\log_{a}M + \log_{a}N = \log_{a}(M· N)$。其中$a > 0$且$a≠ 1$,$b > 0$,$M > 0$,$N > 0$。
根据上面的规定,请解决下列问题:
(1)计算:$\log_{3}1 =$
0
,$\log_{10}25 + \log_{10}4 =$2
;(2)已知$x = \log_{3}2$,$y = \log_{3}72$,请用含$x$的代数式表示$y$。(写出必要的过程)
答案:(1)0 2 点拨:因为$3^{0}=1$,所以$log_{3}1=0$。$log_{10}25+log_{10}4=log_{10}(25×4)=log_{10}100=log_{10}10^{2}=2$。
(2)解:因为$x=log_{3}2$,
所以$y=log_{3}72=log_{3}(8×9)=log_{3}8+log_{3}9=log_{3}2^{3}+log_{3}3^{2}=3log_{3}2+2=3x+2$。
(2)解:因为$x=log_{3}2$,
所以$y=log_{3}72=log_{3}(8×9)=log_{3}8+log_{3}9=log_{3}2^{3}+log_{3}3^{2}=3log_{3}2+2=3x+2$。