16. 如图，菱形 $ABCD$ 的面积为 $120\mathrm{cm}^2$，正方形 $AECF$ 的面积为 $50\mathrm{cm}^2$，则菱形 $ABCD$ 的边长为
13
$\mathrm{cm}$。答案：16. 13
解析：
证明：
∵ 正方形 $AECF$ 的面积为 $50\,\mathrm{cm}^2$，
∴ $AE = AF = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}\,\mathrm{cm}$，且 $∠ EAF = 90°$。
设菱形 $ABCD$ 的对角线 $AC = m$，$BD = n$。
∵ 菱形面积为 $\frac{1}{2}mn = 120$，即 $mn = 240$。
又
∵ 正方形 $AECF$ 的对角线为 $AC$，
∴ 正方形对角线 $AC = AE\sqrt{2} = 5\sqrt{2} × \sqrt{2} = 10\,\mathrm{cm}$，即 $m = 10$。
代入 $mn = 240$，得 $n = \frac{240}{10} = 24$。
菱形边长 $AB = \sqrt{(\frac{m}{2})^2 + (\frac{n}{2})^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{169} = 13\,\mathrm{cm}$。
13
∵ 正方形 $AECF$ 的面积为 $50\,\mathrm{cm}^2$，
∴ $AE = AF = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}\,\mathrm{cm}$，且 $∠ EAF = 90°$。
设菱形 $ABCD$ 的对角线 $AC = m$，$BD = n$。
∵ 菱形面积为 $\frac{1}{2}mn = 120$，即 $mn = 240$。
又
∵ 正方形 $AECF$ 的对角线为 $AC$，
∴ 正方形对角线 $AC = AE\sqrt{2} = 5\sqrt{2} × \sqrt{2} = 10\,\mathrm{cm}$，即 $m = 10$。
代入 $mn = 240$，得 $n = \frac{240}{10} = 24$。
菱形边长 $AB = \sqrt{(\frac{m}{2})^2 + (\frac{n}{2})^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{169} = 13\,\mathrm{cm}$。
13
17. (2025·泗洪一模)如图，在平行四边形 $ABCD$ 中，点 $E$ 在边 $AD$ 上，以 $BE$ 为折痕，将 $△ ABE$ 向上翻折，点 $A$ 正好落在 $CD$ 上的点 $F$ 处。若 $△ FDE$ 的周长为 8，$△ FCB$ 的周长为 22，则 $FC$ 的长为
7
。答案：17. 7
解析：
解：
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
$\therefore AD=BC$，$AB=CD$。
由折叠性质得：$AE=EF$，$AB=BF$。
$\because △ FDE$的周长为$8$，
$\therefore DE + EF + DF = 8$，即$DE + AE + DF = AD + DF = 8$。
$\because △ FCB$的周长为$22$，
$\therefore FC + BC + BF = 22$，即$FC + AD + AB = 22$。
设$FC = x$，$DF = y$，则$CD = AB = x + y$，$AD = 8 - y$。
代入$FC + AD + AB = 22$得：$x + (8 - y) + (x + y) = 22$，
化简得$2x + 8 = 22$，解得$x = 7$。
$\therefore FC = 7$。
7
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
$\therefore AD=BC$，$AB=CD$。
由折叠性质得：$AE=EF$，$AB=BF$。
$\because △ FDE$的周长为$8$，
$\therefore DE + EF + DF = 8$，即$DE + AE + DF = AD + DF = 8$。
$\because △ FCB$的周长为$22$，
$\therefore FC + BC + BF = 22$，即$FC + AD + AB = 22$。
设$FC = x$，$DF = y$，则$CD = AB = x + y$，$AD = 8 - y$。
代入$FC + AD + AB = 22$得：$x + (8 - y) + (x + y) = 22$，
化简得$2x + 8 = 22$，解得$x = 7$。
$\therefore FC = 7$。
7
18. (2025·宿城新区期中)如图，矩形 $ABCD$ 的边 $AB=4$，$BC=8$，$E$ 是 $AD$ 上一点，$DE=2$，$F$ 是 $BC$ 上一动点，$P$，$Q$ 分别是 $EF$，$AE$ 的中点，则 $PE+PQ$ 的最小值为
5
。答案：
18. 5 点拨:如答图，作点A关于直线BC的对称点M，连接ME交BC于点F，连接AF.
此时$ FA + FE $最小，$ \because P,Q $分别是EF,AE的中点，
$ \therefore PQ = \frac{1}{2}AF$，$PE = \frac{1}{2}EF$，$ \therefore PE + PQ $最小。
$ \because AB = 4$，$BC = 8$，$DE = 2$，$ \therefore AE = 6$，$AM = 8$，
又$ ∠ MAE = 90^{\circ} $，
$ \therefore ME = \sqrt{6^{2} + 8^{2}} = 10$，$ \therefore FA + FE $的最小值为10。
$ \therefore PE + PQ $的最小值为5。
18. 5 点拨:如答图，作点A关于直线BC的对称点M，连接ME交BC于点F，连接AF.
此时$ FA + FE $最小，$ \because P,Q $分别是EF,AE的中点，
$ \therefore PQ = \frac{1}{2}AF$，$PE = \frac{1}{2}EF$，$ \therefore PE + PQ $最小。
$ \because AB = 4$，$BC = 8$，$DE = 2$，$ \therefore AE = 6$，$AM = 8$，
又$ ∠ MAE = 90^{\circ} $，
$ \therefore ME = \sqrt{6^{2} + 8^{2}} = 10$，$ \therefore FA + FE $的最小值为10。
$ \therefore PE + PQ $的最小值为5。
19. 如图，在平行四边形 $ABCD$ 中，点 $E$，$F$ 分别在 $AD$，$BC$ 上，且 $AE=CF$。求证：四边形 $BFDE$ 是平行四边形。
答案：19. 证明:$ \because $四边形ABCD是平行四边形，
$ \therefore AD // BC$，$AD = BC $。
$ \because AE = CF$，$ \therefore AD - AE = BC - CF $，即$ DE = BF $。
又$ \because DE // BF$，$ \therefore $四边形BFDE是平行四边形。
$ \therefore AD // BC$，$AD = BC $。
$ \because AE = CF$，$ \therefore AD - AE = BC - CF $，即$ DE = BF $。
又$ \because DE // BF$，$ \therefore $四边形BFDE是平行四边形。
20. 如图，已知 $□ ABCD$ 的对角线 $AC$，$BD$ 交于点 $O$，且 $∠ 1=∠ 2$。
(1)求证：平行四边形 $ABCD$ 是菱形；
(2)$F$ 为 $AD$ 上一点，连接 $BF$ 交 $AC$ 于点 $E$，且 $AE=AF$。若 $AF=3$，$AB=5$，求 $AC$ 的长。
(1)求证：平行四边形 $ABCD$ 是菱形；
(2)$F$ 为 $AD$ 上一点，连接 $BF$ 交 $AC$ 于点 $E$，且 $AE=AF$。若 $AF=3$，$AB=5$，求 $AC$ 的长。
答案：20. (1)证明:$ \because $四边形ABCD是平行四边形，$ \therefore AD // BC $。
$ \therefore ∠ 2 = ∠ ACB $。
又$ \because ∠ 1 = ∠ 2$，$ \therefore ∠ 1 = ∠ ACB $。
$ \therefore AB = BC$，$ \therefore $平行四边形ABCD是菱形。
(2)解:$ \because $四边形ABCD是菱形，$ \therefore BC = AB = 5 $。
$ \because AD // BC$，$ \therefore ∠ AFE = ∠ CBE $。
$ \because AE = AF = 3$，$ \therefore ∠ AFE = ∠ AEF $。
又$ \because ∠ AEF = ∠ CEB$，$ \therefore ∠ CBE = ∠ CEB $。
$ \therefore CE = CB = 5$，$ \therefore AC = AE + CE = 3 + 5 = 8 $。
$ \therefore ∠ 2 = ∠ ACB $。
又$ \because ∠ 1 = ∠ 2$，$ \therefore ∠ 1 = ∠ ACB $。
$ \therefore AB = BC$，$ \therefore $平行四边形ABCD是菱形。
(2)解:$ \because $四边形ABCD是菱形，$ \therefore BC = AB = 5 $。
$ \because AD // BC$，$ \therefore ∠ AFE = ∠ CBE $。
$ \because AE = AF = 3$，$ \therefore ∠ AFE = ∠ AEF $。
又$ \because ∠ AEF = ∠ CEB$，$ \therefore ∠ CBE = ∠ CEB $。
$ \therefore CE = CB = 5$，$ \therefore AC = AE + CE = 3 + 5 = 8 $。
21. 如图，在梯形 $ABCD$ 中，$AD// BC$，已知 $AD=2$，$BD=6$，$AC=BC=8$，求证：$AC⊥ BD$。
答案：
21. 证明:过点D作$ DF // AC $，交BC的延长线于点F，如答图。
$ \because AD // BC$，$ \therefore $四边形ACFD是平行四边形，
$ \therefore CF = AD = 2$，$DF = AC = 8$，$ \therefore BF = 8 + 2 = 10 $。
$ \because BD^{2} + DF^{2} = 6^{2} + 8^{2} = 100$，$BF^{2} = 10^{2} = 100 $，
$ \therefore BD^{2} + DF^{2} = BF^{2} $，
$ \therefore △ BDF $是直角三角形，且$ ∠ BDF = 90^{\circ}$，$ \therefore BD ⊥ DF $。
$ \because DF // AC$，$ \therefore AC ⊥ BD $。
21. 证明:过点D作$ DF // AC $，交BC的延长线于点F，如答图。
$ \because AD // BC$，$ \therefore $四边形ACFD是平行四边形，
$ \therefore CF = AD = 2$，$DF = AC = 8$，$ \therefore BF = 8 + 2 = 10 $。
$ \because BD^{2} + DF^{2} = 6^{2} + 8^{2} = 100$，$BF^{2} = 10^{2} = 100 $，
$ \therefore BD^{2} + DF^{2} = BF^{2} $，
$ \therefore △ BDF $是直角三角形，且$ ∠ BDF = 90^{\circ}$，$ \therefore BD ⊥ DF $。
$ \because DF // AC$，$ \therefore AC ⊥ BD $。