22. (2025·宿豫一模)如图，在 $△ ABC$ 中，$O$ 是 $AC$ 的中点，过点 $O$ 作平行于 $BC$ 的直线分别与 $∠ ACB$，$∠ ACD$ 的平分线交于点 $E$，$F$，连接 $AE$，$AF$。请判断四边形 $AECF$ 的形状，并说明理由。
答案：22. 解:四边形AECF是矩形，理由:
$ \because CE,CF $分别平分$ ∠ ACB, ∠ ACD $，
$ \therefore ∠ BCE = ∠ ACE = \frac{1}{2}∠ ACB$，$ ∠ ACF = ∠ DCF = \frac{1}{2}∠ ACD $。
$ \because EF // BD$，$ \therefore ∠ OEC = ∠ BCE$，$ ∠ OFC = ∠ FCD $，
$ \therefore ∠ OCE = ∠ OEC$，$ ∠ OCF = ∠ OFC $，
$ \therefore OE = OC$，$OF = OC$，$ \therefore OE = OF $。
$ \because O $为AC的中点，$ \therefore OA = OC$，$ \therefore AC = EF $，
$ \therefore $四边形AECF是矩形。
$ \because CE,CF $分别平分$ ∠ ACB, ∠ ACD $，
$ \therefore ∠ BCE = ∠ ACE = \frac{1}{2}∠ ACB$，$ ∠ ACF = ∠ DCF = \frac{1}{2}∠ ACD $。
$ \because EF // BD$，$ \therefore ∠ OEC = ∠ BCE$，$ ∠ OFC = ∠ FCD $，
$ \therefore ∠ OCE = ∠ OEC$，$ ∠ OCF = ∠ OFC $，
$ \therefore OE = OC$，$OF = OC$，$ \therefore OE = OF $。
$ \because O $为AC的中点，$ \therefore OA = OC$，$ \therefore AC = EF $，
$ \therefore $四边形AECF是矩形。
23. (2025·宿豫期中)在正方形 $ABCD$ 中，点 $E$ 在边 $BC$ 上，作射线 $AE$，并将射线 $AE$ 绕点 $A$ 逆时针旋转 $45^{\circ}$，交边 $CD$ 于点 $F$。
(1)如图①，若 $CE=m$，$CF=n$，则 $BE+DF$ 的值为
(2)如图②，过点 $A$ 作 $AM⊥ EF$，垂足为 $M$，求证：$AM=AB$。
(1)如图①，若 $CE=m$，$CF=n$，则 $BE+DF$ 的值为
$ \sqrt{m^{2} + n^{2}} $
；(用含 $m$，$n$ 的代数式表示)(2)如图②，过点 $A$ 作 $AM⊥ EF$，垂足为 $M$，求证：$AM=AB$。
答案：
23. (1)$ \sqrt{m^{2} + n^{2}} $
(2)证明:如答图，将$ △ ADF $绕点A顺时针旋转$ 90^{\circ} $得到$ △ ABG $，则$ AF = AG$，$ ∠ ABG = ∠ D$，$ ∠ DAF = ∠ BAG $。
$ \because $四边形ABCD是正方形，
$ \therefore AB = AD$，$ ∠ BAD = ∠ D = ∠ ABC = 90^{\circ} $。
$ \therefore ∠ ABG + ∠ ABC = 180^{\circ} $，即点G,B,E共线。
$ \because ∠ EAF = 45^{\circ}$，$ \therefore ∠ BAE + ∠ DAF = ∠ BAE + ∠ GAB = ∠ GAE = 45^{\circ} = ∠ EAF $。
又$ \because AE = AE$，$ \therefore △ AEG ≌ △ AEF(SAS) $，
$ \therefore ∠ AEG = ∠ AEF $。
$ \because AM ⊥ EF$，$ \therefore ∠ AME = ∠ ABC = 90^{\circ} $。
又$ \because AE = AE$，$ \therefore △ AEB ≌ △ AEM(AAS) $，
$ \therefore AM = AB $。
23. (1)$ \sqrt{m^{2} + n^{2}} $
(2)证明:如答图，将$ △ ADF $绕点A顺时针旋转$ 90^{\circ} $得到$ △ ABG $，则$ AF = AG$，$ ∠ ABG = ∠ D$，$ ∠ DAF = ∠ BAG $。
$ \because $四边形ABCD是正方形，
$ \therefore AB = AD$，$ ∠ BAD = ∠ D = ∠ ABC = 90^{\circ} $。
$ \therefore ∠ ABG + ∠ ABC = 180^{\circ} $，即点G,B,E共线。
$ \because ∠ EAF = 45^{\circ}$，$ \therefore ∠ BAE + ∠ DAF = ∠ BAE + ∠ GAB = ∠ GAE = 45^{\circ} = ∠ EAF $。
又$ \because AE = AE$，$ \therefore △ AEG ≌ △ AEF(SAS) $，
$ \therefore ∠ AEG = ∠ AEF $。
$ \because AM ⊥ EF$，$ \therefore ∠ AME = ∠ ABC = 90^{\circ} $。
又$ \because AE = AE$，$ \therefore △ AEB ≌ △ AEM(AAS) $，
$ \therefore AM = AB $。
24. 如图，在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中，$∠ B=90^{\circ}$，$∠ BAC=30^{\circ}$，$BC=4$。点 $E$ 从点 $A$ 出发，沿 $AC$ 方向以每秒 2 个单位长度的速度向终点 $C$ 运动，同时点 $G$ 从点 $C$ 出发，沿 $CB$ 方向以每秒 1 个单位长度的速度向终点 $B$ 运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动。设点 $E$ 运动的时间是 $t$ 秒 $(t＞0)$，过点 $E$ 作 $EF⊥ AB$ 于点 $F$，连接 $FG$。
(1)用含 $t$ 的式子表示 $EF$ 的长度为
(2)求证：四边形 $EFGC$ 是平行四边形，并求当四边形 $EFGC$ 为菱形时的周长。
(3)连接 $EG$，$△ EGF$ 能否为直角三角形？若能，求出相应的 $t$ 值；若不能，请说明理由。
(1)用含 $t$ 的式子表示 $EF$ 的长度为
t
。(2)求证：四边形 $EFGC$ 是平行四边形，并求当四边形 $EFGC$ 为菱形时的周长。
(3)连接 $EG$，$△ EGF$ 能否为直角三角形？若能，求出相应的 $t$ 值；若不能，请说明理由。
答案：
24. (1)t
(2)证明:$ \because EF ⊥ AB$，$ \therefore ∠ AFE = 90^{\circ} = ∠ B$，$ \therefore EF // CG $。
又$ \because EF = CG = t $，
$ \therefore $四边形EFGC是平行四边形，$ EC = 8 - 2t $。
若四边形EFGC是菱形，则$ CE = EF $，即$ 8 - 2t = t $，
解得$ t = \frac{8}{3}$，$ \therefore 4t = \frac{32}{3} $。
$ \therefore $当四边形EFGC为菱形时的周长为$ \frac{32}{3} $。
(3)解:能。易知$ CE = 8 - 2t$，$CG = t$，$ ∠ EFG = ∠ C = 60^{\circ} $，
如答图①，若$ ∠ FEG = ∠ EGC = 90^{\circ} $，则$ CG = \frac{1}{2}CE $，
即$ t = \frac{1}{2}(8 - 2t) $，解得$ t = 2 $；
如答图②，若$ ∠ FGE = ∠ GEC = 90^{\circ} $，则$ CE = \frac{1}{2}CG $，
即$ 8 - 2t = \frac{1}{2}t $，解得$ t = 3.2 $。
综上，当$ t = 3.2 $或2时，$ △ EGF $为直角三角形。
24. (1)t
(2)证明:$ \because EF ⊥ AB$，$ \therefore ∠ AFE = 90^{\circ} = ∠ B$，$ \therefore EF // CG $。
又$ \because EF = CG = t $，
$ \therefore $四边形EFGC是平行四边形，$ EC = 8 - 2t $。
若四边形EFGC是菱形，则$ CE = EF $，即$ 8 - 2t = t $，
解得$ t = \frac{8}{3}$，$ \therefore 4t = \frac{32}{3} $。
$ \therefore $当四边形EFGC为菱形时的周长为$ \frac{32}{3} $。
(3)解:能。易知$ CE = 8 - 2t$，$CG = t$，$ ∠ EFG = ∠ C = 60^{\circ} $，
如答图①，若$ ∠ FEG = ∠ EGC = 90^{\circ} $，则$ CG = \frac{1}{2}CE $，
即$ t = \frac{1}{2}(8 - 2t) $，解得$ t = 2 $；
如答图②，若$ ∠ FGE = ∠ GEC = 90^{\circ} $，则$ CE = \frac{1}{2}CG $，
即$ 8 - 2t = \frac{1}{2}t $，解得$ t = 3.2 $。
综上，当$ t = 3.2 $或2时，$ △ EGF $为直角三角形。