1.(2025·泗阳期末)下列从左到右的变形属于因式分解的是(
A.$18a^{3}bc = 3a^{2}b×6ac$
B.$(a + 3)(a - 3) = a^{2} - 9$
C.$x^{2} - 3x + 1 = x(x - 3) + 1$
D.$x^{2} + 4x + 4 = (x + 2)^{2}$
D
)A.$18a^{3}bc = 3a^{2}b×6ac$
B.$(a + 3)(a - 3) = a^{2} - 9$
C.$x^{2} - 3x + 1 = x(x - 3) + 1$
D.$x^{2} + 4x + 4 = (x + 2)^{2}$
答案：1. D
2. 下列式子中，属于$2x^{3} - x^{2} + 2x - 1$的因式的是(
A.$x^{2}$
B.$2x$
C.$2x - 1$
D.$2x + 1$
C
)A.$x^{2}$
B.$2x$
C.$2x - 1$
D.$2x + 1$
答案：2. C
3. 下列多项式中，能用完全平方公式进行因式分解的是(
A.$x^{2} - 2x - 1$
B.$4x^{2} + 2x - 1$
C.$4x^{2} + x + 1$
D.$x^{2} + 6x + 9$
D
)A.$x^{2} - 2x - 1$
B.$4x^{2} + 2x - 1$
C.$4x^{2} + x + 1$
D.$x^{2} + 6x + 9$
答案：3. D
4.(2025·泗阳期末)已知长方体的长、宽、高分别为正整数$a$，$b$，$c$，且满足$ab - 2bc = 2$，$a + c = 2b$，则长方体的表面积是(
A.20
B.22
C.24
D.26
B
)A.20
B.22
C.24
D.26
答案：4. B
解析：
由题意得：
$\begin{cases}ab - 2bc = 2 \\a + c = 2b\end{cases}$
由第二个方程得 $a = 2b - c$，代入第一个方程：
$(2b - c)b - 2bc = 2 \implies 2b^2 - bc - 2bc = 2 \implies 2b^2 - 3bc = 2$
整理得 $c = \frac{2b^2 - 2}{3b}$，因为 $b$，$c$ 为正整数，所以 $3b$ 整除 $2b^2 - 2$。
当 $b = 1$ 时，$c = 0$（舍去）；当 $b = 2$ 时，$c = \frac{8 - 2}{6} = 1$，则 $a = 2×2 - 1 = 3$。
长方体表面积 $S = 2(ab + bc + ac) = 2(3×2 + 2×1 + 3×1) = 2(6 + 2 + 3) = 2×11 = 22$。
答案：B
$\begin{cases}ab - 2bc = 2 \\a + c = 2b\end{cases}$
由第二个方程得 $a = 2b - c$，代入第一个方程：
$(2b - c)b - 2bc = 2 \implies 2b^2 - bc - 2bc = 2 \implies 2b^2 - 3bc = 2$
整理得 $c = \frac{2b^2 - 2}{3b}$，因为 $b$，$c$ 为正整数，所以 $3b$ 整除 $2b^2 - 2$。
当 $b = 1$ 时，$c = 0$（舍去）；当 $b = 2$ 时，$c = \frac{8 - 2}{6} = 1$，则 $a = 2×2 - 1 = 3$。
长方体表面积 $S = 2(ab + bc + ac) = 2(3×2 + 2×1 + 3×1) = 2(6 + 2 + 3) = 2×11 = 22$。
答案：B
5.(2025·钟楼区期末)下列各式：①$x^{2} + 4$；②$m^{2} - n^{2}$；③$-a^{2} + b^{2}$；④$-x^{2} - y^{2}$；⑤$1 - 4b^{2}$。其中在实数范围内能用平方差公式分解因式的有(
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
B
)A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
答案：5. B
解析：
②$m^{2}-n^{2}=(m+n)(m-n)$，能用平方差公式分解因式；
③$-a^{2}+b^{2}=b^{2}-a^{2}=(b+a)(b-a)$，能用平方差公式分解因式；
⑤$1 - 4b^{2}=1^{2}-(2b)^{2}=(1 + 2b)(1 - 2b)$，能用平方差公式分解因式；
①$x^{2}+4$，④$-x^{2}-y^{2}=-(x^{2}+y^{2})$，不能用平方差公式分解因式。
能用平方差公式分解因式的有3个。
B
③$-a^{2}+b^{2}=b^{2}-a^{2}=(b+a)(b-a)$，能用平方差公式分解因式；
⑤$1 - 4b^{2}=1^{2}-(2b)^{2}=(1 + 2b)(1 - 2b)$，能用平方差公式分解因式；
①$x^{2}+4$，④$-x^{2}-y^{2}=-(x^{2}+y^{2})$，不能用平方差公式分解因式。
能用平方差公式分解因式的有3个。
B
6.(2025·秦淮区期末)若$2023^{2026} - 2023^{2024} = 2024×2023^{n}×2022$，则$n$的值是(
A.2022
B.2023
C.2024
D.2025
C
)A.2022
B.2023
C.2024
D.2025
答案：6. C
解析：
$2023^{2026} - 2023^{2024} = 2023^{2024}(2023^{2} - 1) = 2023^{2024}(2023 - 1)(2023 + 1) = 2023^{2024}×2022×2024$，对比等式右边$2024×2023^{n}×2022$，可得$n = 2024$。
C
C
7.(2025·杭州期中)设$n$为某一自然数，代入代数式$n^{3} - n$计算其值时，四个学生算出了下列四个结果，其中正确的结果是(
A.121
B.210
C.335
D.505
B
)A.121
B.210
C.335
D.505
答案：7. B
解析：
$n^3 - n = n(n^2 - 1) = n(n - 1)(n + 1)$，三个连续自然数的乘积必能被6整除。
121÷6≈20.17，不能整除；
210÷6=35，能整除；
335÷6≈55.83，不能整除；
505÷6≈84.17，不能整除。
正确结果是210。
B
121÷6≈20.17，不能整除；
210÷6=35，能整除；
335÷6≈55.83，不能整除；
505÷6≈84.17，不能整除。
正确结果是210。
B
8.(2025·金坛区期末)若$a = 2024x + 2025$，$b = 2024x + 2026$，$c = 2024x + 2027$，则代数式$a^{2} + b^{2} + c^{2} - ab - ac - bc$的值是(
A.0
B.1
C.2
D.3
D
)A.0
B.1
C.2
D.3
答案：8. D
解析：
设$m = 2024x + 2026$，则$a = m - 1$，$b = m$，$c = m + 1$。
$\begin{aligned}&a^2 + b^2 + c^2 - ab - ac - bc\\=&(m - 1)^2 + m^2 + (m + 1)^2 - (m - 1)m - (m - 1)(m + 1) - m(m + 1)\\=&(m^2 - 2m + 1) + m^2 + (m^2 + 2m + 1) - (m^2 - m) - (m^2 - 1) - (m^2 + m)\\=&m^2 - 2m + 1 + m^2 + m^2 + 2m + 1 - m^2 + m - m^2 + 1 - m^2 - m\\=&(m^2 + m^2 + m^2 - m^2 - m^2 - m^2) + (-2m + 2m + m - m) + (1 + 1 + 1)\\=&0 + 0 + 3\\=&3\end{aligned}$
D
$\begin{aligned}&a^2 + b^2 + c^2 - ab - ac - bc\\=&(m - 1)^2 + m^2 + (m + 1)^2 - (m - 1)m - (m - 1)(m + 1) - m(m + 1)\\=&(m^2 - 2m + 1) + m^2 + (m^2 + 2m + 1) - (m^2 - m) - (m^2 - 1) - (m^2 + m)\\=&m^2 - 2m + 1 + m^2 + m^2 + 2m + 1 - m^2 + m - m^2 + 1 - m^2 - m\\=&(m^2 + m^2 + m^2 - m^2 - m^2 - m^2) + (-2m + 2m + m - m) + (1 + 1 + 1)\\=&0 + 0 + 3\\=&3\end{aligned}$
D
9. 因式分解：$x^{2} - 2x + 1 =$
$(x - 1)^2$
。答案：9. $(x - 1)^2$
10. 因式分解：$a + 2ab + ab^{2} =$
$a(1 + b)^2$
。答案：10. $a(1 + b)^2$
11. 因式分解：$2x^{2} - 8 =$
$2(x + 2)(x - 2)$
。答案：11. $2(x + 2)(x - 2)$