12.(2025·黄山期末)对于二次三项式$x^{2} + mx + n$，如果能将常数项$n$分解成两个因数$a$，$b$，使$a$，$b$的和恰好等于一次项系数$m$，即$ab = n$，$a + b = m$，就能将$x^{2} + mx + n$分解因式。这种分解因式的方法取名为“十字相乘法”。为使分解过程直观，常常采用图示的方法，将二次项系数与常数项的因数分成两列(如图)，再交叉相乘并求和，检验是否等于一次项系数，进而进行因式分解。代数式$x^{2} + 6x - 16$因式分解的结果为
$(x + 8)(x - 2)$
。答案：12. $(x + 8)(x - 2)$
解析：
解：对于二次三项式$x^{2} + 6x - 16$，常数项$-16$可分解为$8$和$-2$，因为$8 + (-2) = 6$，恰好等于一次项系数。
$\begin{array}{c|cc} & 1 & 8 \\\hline & 1 & -2 \\\end{array}$
$1×(-2) + 1×8 = 6$，满足条件。
$\therefore x^{2} + 6x - 16=(x + 8)(x - 2)$
$(x + 8)(x - 2)$
$\begin{array}{c|cc} & 1 & 8 \\\hline & 1 & -2 \\\end{array}$
$1×(-2) + 1×8 = 6$，满足条件。
$\therefore x^{2} + 6x - 16=(x + 8)(x - 2)$
$(x + 8)(x - 2)$
13.(2025·河南信阳期末)如图，这三种规格的卡片共有9张，其中边长为$a$的正方形卡片4张，边长为$b$的正方形卡片1张，长、宽分别为$a$，$b$的长方形卡片4张。现要用这9张卡片拼成一个大正方形，则这个大正方形的边长为
$2a + b$
。答案：13. $2a + b$
14. 将多项式$x^{4} + 4$添加一个单项式后，能化成$(a + b)^{2}$的形式，添加的这个单项式可以是
答案不唯一，如 $4x^2$ 或 $-4x^2$ 或 $\frac{1}{16}x^8$
。(写一个即可)答案：14. 答案不唯一，如 $4x^2$ 或 $-4x^2$ 或 $\frac{1}{16}x^8$
解析：
$4x^2$
15. 若实数$x$满足$x^{2} - x - 1 = 0$，则$x^{3} - 2x^{2} + 21 =$
20
。答案：15. 20
解析：
由$x^{2} - x - 1 = 0$，得$x^{2}=x + 1$。
$x^{3}-2x^{2}+21=x· x^{2}-2x^{2}+21$，将$x^{2}=x + 1$代入，得：
$x(x + 1)-2(x + 1)+21=x^{2}+x-2x-2 + 21$
再将$x^{2}=x + 1$代入上式，得：
$(x + 1)-x + 19=20$
20
$x^{3}-2x^{2}+21=x· x^{2}-2x^{2}+21$，将$x^{2}=x + 1$代入，得：
$x(x + 1)-2(x + 1)+21=x^{2}+x-2x-2 + 21$
再将$x^{2}=x + 1$代入上式，得：
$(x + 1)-x + 19=20$
20
16. 在实数范围内分解因式：$4a^{2} + 4a - 1 =$
$(2a + 1 + \sqrt{2})(2a + 1 - \sqrt{2})$
。答案：16. $(2a + 1 + \sqrt{2})(2a + 1 - \sqrt{2})$
17. 设实数$x$，$y$，$z$满足$x + y + z = 2$，则代数式$3xy + 2yz + xz$的最大值为
3
。答案：17. 3
解析：
解：由$x + y + z = 2$，得$z = 2 - x - y$。
代入$3xy + 2yz + xz$，得：
$\begin{aligned}&3xy + 2y(2 - x - y) + x(2 - x - y)\\=&3xy + 4y - 2xy - 2y^2 + 2x - x^2 - xy\\=& -x^2 + 2x - 2y^2 + 4y\\=& - (x^2 - 2x) - 2(y^2 - 2y)\\=& - (x - 1)^2 + 1 - 2(y - 1)^2 + 2\\=& - (x - 1)^2 - 2(y - 1)^2 + 3\end{aligned}$
因为$- (x - 1)^2 ≤ 0$，$- 2(y - 1)^2 ≤ 0$，所以当$x = 1$，$y = 1$时，代数式取得最大值$3$。
此时$z = 2 - 1 - 1 = 0$。
故$3xy + 2yz + xz$的最大值为$3$。
3
代入$3xy + 2yz + xz$，得：
$\begin{aligned}&3xy + 2y(2 - x - y) + x(2 - x - y)\\=&3xy + 4y - 2xy - 2y^2 + 2x - x^2 - xy\\=& -x^2 + 2x - 2y^2 + 4y\\=& - (x^2 - 2x) - 2(y^2 - 2y)\\=& - (x - 1)^2 + 1 - 2(y - 1)^2 + 2\\=& - (x - 1)^2 - 2(y - 1)^2 + 3\end{aligned}$
因为$- (x - 1)^2 ≤ 0$，$- 2(y - 1)^2 ≤ 0$，所以当$x = 1$，$y = 1$时，代数式取得最大值$3$。
此时$z = 2 - 1 - 1 = 0$。
故$3xy + 2yz + xz$的最大值为$3$。
3
18. 有一个三位数，其3个数字排列组成的最大三位数与最小三位数之差恰好等于原三位数，则这个三位数是
495
。答案：18. 495
解析：
设这个三位数的三个数字为$a$、$b$、$c$，且$a≥ b≥ c$，$a≠0$。最大三位数为$100a + 10b + c$，最小三位数为$100c + 10b + a$，原三位数为$100x + 10y + z$。
由题意得：$(100a + 10b + c)-(100c + 10b + a)=100x + 10y + z$，化简得$99(a - c)=100x + 10y + z$，即原三位数是$99$的倍数。
三位数中$99$的倍数有：$198$、$297$、$396$、$495$、$594$、$693$、$792$、$891$、$990$。
$198$：最大$981$，最小$189$，$981 - 189 = 792≠198$；
$297$：最大$972$，最小$279$，$972 - 279 = 693≠297$；
$396$：最大$963$，最小$369$，$963 - 369 = 594≠396$；
$495$：最大$954$，最小$459$，$954 - 459 = 495$，符合题意；
其余数验证后均不符合。
495
由题意得：$(100a + 10b + c)-(100c + 10b + a)=100x + 10y + z$，化简得$99(a - c)=100x + 10y + z$，即原三位数是$99$的倍数。
三位数中$99$的倍数有：$198$、$297$、$396$、$495$、$594$、$693$、$792$、$891$、$990$。
$198$：最大$981$，最小$189$，$981 - 189 = 792≠198$；
$297$：最大$972$，最小$279$，$972 - 279 = 693≠297$；
$396$：最大$963$，最小$369$，$963 - 369 = 594≠396$；
$495$：最大$954$，最小$459$，$954 - 459 = 495$，符合题意；
其余数验证后均不符合。
495
19.(2025·宿城期末)分解因式：
(1)$x^{3} - 9x$；
(2)$(x^{2} + 4)^{2} - 16x^{2}$。
(1)$x^{3} - 9x$；
(2)$(x^{2} + 4)^{2} - 16x^{2}$。
答案：19. 解：(1) 原式 $= x(x^2 - 9) = x(x + 3)(x - 3)$。
(2) 原式 $= (x^2 + 4 + 4x)(x^2 + 4 - 4x) = (x + 2)^2(x - 2)^2$。
(2) 原式 $= (x^2 + 4 + 4x)(x^2 + 4 - 4x) = (x + 2)^2(x - 2)^2$。